2025--2026学年安徽省肥西中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年安徽省肥西中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 从4本不同的数学书中选出2本，赠送给2位同学，每人一本，则不同的赠送方法共有（ ）
A. 4B. 6C. 12D. 24
2. 已知等差数列中，，，则等于（ ）
A. 23B. 26C. 29D. 32
3. 设，则（ ）
A. 0B. 1C. 3D.
4. 的展开式中的系数为（ ）
A. 12B. 36C. 54D. 108
5. 设离散型随机变量X的概率分布为
若随机变量，则等于（ ）
A. 0.3B. 0.4
C. 0.6D. 0.7
6. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（ ）
A. 42B. 50C. 54D. 60
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知数列的前项和为，且，则下列叙述正确的是（ ）
A. 数列是等差数列
B.
C. 数列的前项和为
D. 对于任意的正整数，都有成立
10. 对于，，下列排列组合数结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 从6名男生、5名女生中选择3人担任班长、学习委员和体育委员，则下列结论正确的是（ ）
A. 若所选的3人中有女生，则不同的选法有870种
B. 若所选的3人中恰有2名女生，则不同的选法有360种
C. 若班长由女生担任，则不同的选法有225种
D. 若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的选法有540种
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知等比数列的公比，且，若，3，成等差数列，则________.
13. 已知随机变量，且，则______．
14. 某地区有两种天气类型：晴天和雨天.气象台对第二天的天气进行预报，但预报有误差：如果实际是晴天，预报为雨天的概率是0.2，如果实际是雨天，预报为雨天的概率是0.9.已知该地区预报为雨天的总概率是0.76，现在某天气象台预报为雨天，则实际为雨天的概率是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
16. 已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求当n取何值时有最小值．
17. 已知的展开式中，二项式系数和为256.
（1）此展开式中有没有常数项？有理项的个数是几个？并说明理由；
（2）展开式中系数最大的项是第几项，并说明理由：
18. 假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相同.
（1）每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；
（2）若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.
19. 袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
（1）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
（2）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记为摸出两球中白球的个数，求的期望和方差．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 从4本不同的数学书中选出2本，赠送给2位同学，每人一本，则不同的赠送方法共有（ ）
A. 4B. 6C. 12D. 24
答案：C
解析：
思路：根据排列的知识求解.
解答过程：题意相当于从4个不同元素中选取2个的排列，方法数为.
2. 已知等差数列中，，，则等于（ ）
A. 23B. 26C. 29D. 32
答案：B
解析：
解答过程：由题意知，公差为，所以.
3. 设，则（ ）
A. 0B. 1C. 3D.
答案：C
解析：
解答过程：因为，所以.
4. 的展开式中的系数为（ ）
A. 12B. 36C. 54D. 108
答案：D
解析：
思路：由二项展开式通项公式求解.
解答过程：的展开式通项公式为，
令得的展开式中的系数为.
5. 设离散型随机变量X的概率分布为
若随机变量，则等于（ ）
A. 0.3B. 0.4
C. 0.6D. 0.7
答案：A
解析：
思路：由概率和为1求出可得答案.
解答过程：由0.15＋0.15＋0.15＋0.25＋m＝1，得m＝0.3，
所以.
故选：A.
6. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：根据导数的几何意义判断.
解答过程：从图象看，函数的增长越来越平缓，因此，而表示与间的平均变化率，因此.
7. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：因为，所以.
所以.
由，得.
所以.
8. 有5名同学，，，，参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若和都不是第1个出场，且不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（ ）
A. 42B. 50C. 54D. 60
答案：D
解析：
思路：根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论，结合排列数和组合数的计算公式，以及分类计数原理，即可求解.
解答过程：根据题意，分是第1个和不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论：
当是第1个时，此时剩余的全排列，共有种不同的排法；
当不是第1个且不是最后一个时，先排第1个，从中选一人为第1个，有种选法；
再排，有三个位置可选，有种排法，最后三人全排列，有种排法，
所以共有种不同的排法，
由分类计数原理得，共有种不同的排列情况.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知数列的前项和为，且，则下列叙述正确的是（ ）
A. 数列是等差数列
B.
C. 数列的前项和为
D. 对于任意的正整数，都有成立
答案：AD
解析：
解答过程：因为，所以，
则，
又符合上式，所以，
则，，
所以数列是以为公差的递增的等差数列，故A正确，B错误，D正确；
因为，所以，故C错误；
10. 对于，，下列排列组合数结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：AB
解析：
思路：根据题意，利用排列、组合数公式及性质，依次判断选项是否正确，即可得答案.
解答过程：，故A正确；
由组合数的性质，可得，B正确；
，，故C不对；
，，故D不对.
故选：AB
11. 从6名男生、5名女生中选择3人担任班长、学习委员和体育委员，则下列结论正确的是（ ）
A. 若所选的3人中有女生，则不同的选法有870种
B. 若所选的3人中恰有2名女生，则不同的选法有360种
C. 若班长由女生担任，则不同的选法有225种
D. 若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的选法有540种
答案：ABD
解析：
思路：由排列组合的知识求解即可.
解答过程：若所选的3人中有女生，则不同的选法有种，则A正确．
若所选的3人中恰有2名女生，则不同的选法有种，则B正确．
若班长由女生担任，则不同的选法有种，则C错误．
若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的选法有种，则D正确．
故选:ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知等比数列的公比，且，若，3，成等差数列，则________.
答案：8
解析：
思路：根据等差数列的性质求得公比，再由等比数列的通项公式计算.
解答过程：因为，3，成等差数列，所以，
又是等比数列，公比是且，所以，
因为，故解得（舍去），
所以.
13. 已知随机变量，且，则______．
答案：0.3##
解析：
解答过程：由随机变量，得，
而，则.
14. 某地区有两种天气类型：晴天和雨天.气象台对第二天的天气进行预报，但预报有误差：如果实际是晴天，预报为雨天的概率是0.2，如果实际是雨天，预报为雨天的概率是0.9.已知该地区预报为雨天的总概率是0.76，现在某天气象台预报为雨天，则实际为雨天的概率是________.
答案：
解析：
思路：利用条件概率公式与全概率公式计算即可得.
解答过程：设事件表示预报为雨天，事件表示实际为雨天，
则由题意可得，
，
所以，
解得，
则，故，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
答案：（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2），.
解析：
思路：
（1）对函数求导，求得、的解集即可得解；
（2）结合函数的单调性确定函数的极值，再与端点值比较即可得解.
解答过程：（1）因为，所以，
当或时，，所以在和上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（2）由（1）知是的极大值点，是的极小值点，
所以极大值，极小值，
又，，
所以在区间上的最大值，最小值．
16. 已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求当n取何值时有最小值．
答案：（1）
（2），当时，取得最小值
解析：
思路：（1）利用等差数列的通项公式以及求和公式，列出方程组，求解即可；
（2）等差数列的求和公式求解，再结合二次函数的性质讨论即可.
（1）解：设的公差为d，由题意得，即，
解得，
所以的通项公式为；
（2）解：由（1）得，
所以当时，取得最小值，最小值为.
17. 已知的展开式中，二项式系数和为256.
（1）此展开式中有没有常数项？有理项的个数是几个？并说明理由；
（2）展开式中系数最大的项是第几项，并说明理由：
答案：（1）此展开式中没有常数项；有理项有5个.
（2）展开式中系数最大的项是第6项和第7项.
解析：
思路：（1）先由二项式系数和公式求得n的值，再由二项式展开式中常数项和有理项分别对应的次数为0和整数进行计算判断即可；
（2）先求得展开式中系数的通项为，由增减性排除前4项，再逐个计算后5项的值比较即可.
（1）因为二项式系数和为，
所以.
原二项式展开式的通项为.
令，得，
故此展开式中没有常数项.
当时，可取，
故有理项有5个.
（2）由（1）得展开式中系数的通项为，
当时，递增；当时，递减.
同时在递增.
故前4项均不可能为最大.
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
故当或时，展开式中对应项的系数最大，为.
即展开式中系数最大的项是第6项和第7项.
18. 假设有两个密闭的盒子，第一个盒子里装有3个白球2个红球，第二个盒子里装有2个白球4个红球，这些小球除颜色外完全相同.
（1）每次从第一个盒子里随机取出一个球，取出的球不再放回，经过两次取球，求取出的两球中有红球的条件下，第二次取出的是红球的概率；
（2）若先从第一个盒子里随机取出一个球放入第二个盒子中，摇匀后，再从第二个盒子里随机取出一个球，求从第二个盒子里取出的球是红球的概率.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用对立事件的概率公式与条件概率公式，结合古典概型求解即可；
（2）利用全概率公式，结合古典概型求解即可.
（1）依题意，记事件表示第次从第一个盒子里取出红球，记事件表示两次取球中有红球，
则，
.
（2）记事件表示从第一个盒子里取出红球，记事件表示从第一个盒子里取出白球，记事件表示从第二个盒子里取出红球，
则.
19. 袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．
（1）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
（2）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记为摸出两球中白球的个数，求的期望和方差．
答案：（1）
（2），
解析：
思路：（1）由互斥事件和相互独立事件的概率公式可求解；
（2）先求白球的个数的所有可能取值，再分别求解每个取值的概率，进而可得结果.
（1）记“摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同”为事件A，
摸出一球是白球的概率为，摸出一球是黑球的概率为，
由互斥事件和相互独立事件的概率公式得到．
（2）由题意知，的可能取值为0，1，2，
当时，表示摸出两球中白球的个数为0，
当时，表示摸出两球中白球的个数为1，
当时，表示摸出两球中白球的个数为2，
∴，
．
即摸出白球个数ξ的期望和方差分别是，．X
0
1
2
3
4
P
0.15
0.15
0.15
0.25
m
X
0
1
2
3
4
P
0.15
0.15
0.15
0.25
m