2025--2026学年安徽六安第二中学河西校区高一下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年安徽六安第二中学河西校区高一下册期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ）
A. 或B. C. D.
3. 已知平面向量不共线，，，，则（ ）
A. A，B，C三点共线B. A，B，D三点共线
C. B，C，D三点共线D. A，C，D三点共线
4. 已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为（ ）.
A. B. C. D.
5. 在平行四边形ABCD中，点是对角线BD上靠近点的三等分点，设，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A. B. 3C. D.
7. 已知向量满足且向量的夹角为，则在方向上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（ ）
A. 18B. C. D. 34
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，则是钝角三角形
10. 已知向量，其中，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的值为2
B. 若，则的值为
C. 若与的夹角为锐角，则
D. 若，则与的夹角的余弦值为
11. 设复数在复平面内对应的点为，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 任何两个复数不能比较大小
B. 若，则或
C. 若，则点的集合所构成的图形的面积为π
D. 若点坐标为，且z是关于x的实系数方程的一个根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，答案需填最简形式.
12. 如图所示，正方形为一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，且，则原平面图形的面积为__________.
13. 已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为______．
14. 位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角的对边分别为，满足.
（1）求；
（2）若，求的周长.
16. 已知.
（1）若，且，求的值；
（2）若，且，求的坐标.
17. 如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.
（1）求AC；
（2）求.
18. 如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上靠近点A的三等分点，点E在线段上．
（1）求圆柱的表面积与体积；
（2）求三棱锥的体积；
（3）若D是的中点，求的最小值．
19. 如图，在中，，为的中点，与交于点设，.
（1）求
（2）试用表示；
（3）求.
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：因为，所以.
2. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ）
A. 或B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：在中，，
由正弦定理得，
由，得，所以.
3. 已知平面向量不共线，，，，则（ ）
A. A，B，C三点共线B. A，B，D三点共线
C. B，C，D三点共线D. A，C，D三点共线
答案：B
解析：
思路：根据平面向量共线定理逐一判断即可.
解答过程：A：，因为，且平面向量不共线，
所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线；
B：，因为，所以本选项三点共线；
C：，因为，且平面向量不共线，
所以不存在实数，使得，因此本选项三点不共线；
D：由上可知：，，因为，且平面向量不共线，
显然不存在实数，使得，因此本选项三点不共线，
故选：B
4. 已知球的半径为，一个平面截球所得截面圆的半径为，则截面圆的圆心与球心之间的距离为（ ）.
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据球的半径、截面圆的半径以及球心到截面圆之间的距离的关系进行求解.
解答过程：解：设截面圆的圆心与球心之间的距离为d，
则由已知
故选：A
5. 在平行四边形ABCD中，点是对角线BD上靠近点的三等分点，设，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：
由题意可知：，
则向量减法的三角形法则，可得：，
又因为，，所以.
6. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A. B. 3C. D.
答案：B
解析：
思路：设底面圆半径为，高为，根据题目条件列出关于和的方程组，解出.
解答过程：设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，
则圆锥的侧面积为，
故表面积为，得①，
又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，
得②，
联立①②得：，.
故B.
方法提示：本题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关系.
7. 已知向量满足且向量的夹角为，则在方向上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：已知 .
在 方向上的投影: .
方向的单位向量: .
则在方向上的投影向量为.
8. 如图，在棱台中，底面和为正方形，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面的夹角均为，则该棱台的表面积为（ ）
A. 18B. C. D. 34
答案：B
解析：
思路：过作底面，交底面于，过作交于，根据二面角的概念可知即为侧面与底面夹角的平面角，结合题意求出侧面梯形的高，再根据台体的面积公式求解即可.
解答过程：由题意在棱台中，底面和为正方形，各侧棱均相等，
过作底面，交底面于，过作交于，连接，
因为底面，所以，
又因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为平面平面，
所以即为侧面与底面夹角的平面角，即，
由题意可知，所以，
所以该棱台的表面积.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则
B.
C. 若，则是锐角三角形
D. 若，则是钝角三角形
答案：ABD
解析：
思路：利用三角形边角关系判断A；利用诱导公式判断B；利用余弦定理判断CD.
解答过程：对于A，在中，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，由，得，则是锐角，显然是否都是锐角无法确定，C错误；
对于D，由，得，则是钝角，是钝角三角形，D正确.
故选：ABD
10. 已知向量，其中，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的值为2
B. 若，则的值为
C. 若与的夹角为锐角，则
D. 若，则与的夹角的余弦值为
答案：ABD
解析：
思路：由向量的坐标运算可逐项判断.
解答过程：对于A，，则，故A正确；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，与的夹角为锐角，所以，
又时，与的夹角为0，
所以与的夹角为锐角，，故C错误；
对于D，，，，故D正确；
故选：ABD.
11. 设复数在复平面内对应的点为，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 任何两个复数不能比较大小
B. 若，则或
C. 若，则点的集合所构成的图形的面积为π
D. 若点坐标为，且z是关于x的实系数方程的一个根，则
答案：CD
解析：
思路：根据复数的定义判断A；根据复数模的定义判断B：根据复数的运算判断C：根据复数模的几何意义判断D.
解答过程：A：复数包含实数和虚数，虚数不能比较大小，但实数可以比较大小，故A错；
B：设，则可以得到，即，有好多种情况，例如，，，此时，故B错：
C：设，则，即，
所以的集合所构成的图形为环形，如下所示：
所以面积为.故C正确.
D：若的坐标为，则，
又是关于的实系数方程的一个根，
所以−1+3i2+p−1+3i+q=−8−p+q+(3p−6)i=0 ，
所以3p−6=0−8−p+q=0，解得p=2q=10，，故D正确；
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，答案需填最简形式.
12. 如图所示，正方形为一个水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，且，则原平面图形的面积为__________.
答案：
解析：
思路：利用斜二测画法，可得原图形是平行四边形，求得一边长及这边上的高即可求面积.
解答过程：因为正方形为一个平面图形的水平直观图，
所以可得原图形是一平行四边形，且，，，
所以平行四边形的面积为.
故答案为.
13. 已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为______．
答案：
解析：
思路：作出圆台及外接球的轴截面图，易得球心在圆台内部，再利用勾股定理可得答案.
解答过程：作出圆台及外接球的轴截面图，如图．
易得球心在圆台内部，设球心到上底面圆的距离为，
则球心到下底面圆的距离为，
由勾股定理得，解得，
则外接球的半径，表面积为．
故
14. 位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距20km的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10km的处的乙船．则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为________．
答案：##
解析：
思路：依题意画出示意图，再由余弦定理、正弦定理计算可得.
解答过程：依题意可得如下图：
其中，，，
在中，由余弦定理可得
，
由正弦定理可得即，解得
所以乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线（由观测点看目标的视线）与直线的夹角的正弦值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角的对边分别为，满足.
（1）求；
（2）若，求的周长.
答案：（1）；
（2）.
解析：
思路：（1）由正弦边角关系及三角形内角的性质化简条件得，即可求；
（2）由余弦定理及已知得，进而即得.
（1）由及正弦边角关系得，
而，整理得，
因为，所以；
（2）由余弦定理，得，
进而得，得，
所以的周长为.
16. 已知.
（1）若，且，求的值；
（2）若，且，求的坐标.
答案：（1）
（2）或
解析：
思路：（1）根据向量坐标运算可得，再结合题意建立关于的方程并求解；
（2）根据向量共线设，再结合向量的模的坐标运算求解即可.
（1）已知，解得，.
由，代入坐标得：，
则，解得：；
（2）设（为实数），
由，可得：
解得，即或，
所以或.
17. 如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.
（1）求AC；
（2）求.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据面积公式可得，再根据余弦定理求解可得；
（2）根据内接四边形可得 ，再根据正弦定理求解即可
（1）因为的面积为，所以.
又因为，，所以.
由余弦定理得，，
，所以.
（2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以.
18. 如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上靠近点A的三等分点，点E在线段上．
（1）求圆柱的表面积与体积；
（2）求三棱锥的体积；
（3）若D是的中点，求的最小值．
答案：（1）表面积，体积
（2） （3）
解析：
思路：（1）根据题意，结合圆柱的表面积和体积公式，即可求解；
（2）根据题意，得到为直角三角形，且，结合棱锥的体积公式，即可求解；
（3）将平面绕旋转到和平面共面，得到点在的延长线上，设为点，当三点共线时，取最小值，结合余弦定理，即可求解.
（1）圆柱的底面直径，故半径，且高，
可得圆柱的表面积为，
圆柱的体积为．
（2）因为点是圆柱底面圆周上靠近点的三等分点，且，
而为直角三角形，
从而，得，，
所以．
（3）解：将平面绕旋转到和平面共面，此时点在的延长线上，
设为点，可得，
即当三点共线时，取最小值，
由题意，，
所以，
故的最小值为．
19. 如图，在中，，为的中点，与交于点设，.
（1）求
（2）试用表示；
（3）求.
答案：（1）2 （2）
（3）解析：
思路：（1）根据线性运算用表示，，再结合数量积的运算律运算求解；
（2）由题意可设：，根据三点共线分析可得，进而可得结果；
（3）根据数量积的运算律可得，进而可得结果.
（1）由题意可得：，，
又因为，可得，
所以.
（2）由（1）可知：，
由题意可设：，
由于，，三点共线，则，解得，
可得，
所以.
（3）由题意可得：，
且，
，
所以.