2025--2026学年安徽六安第二中学河西校区高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年安徽六安第二中学河西校区高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. 24B. 27C. 36D. 42
2. 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书.从书架上任取数学书和语文书各1本，不同的选取方法有（ ）
A. 6种B. 30种C. 5种D. 11种
3. 某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们身体状况的某项指标，按照老、中、青三个年龄层次进行分层抽样．已知在青年人中抽了18人，那么该单位抽取的样本容量为（ ）
A. 27B. 36C. 54D. 81
4. 已知随机变量的分布列如下：
则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
5. 为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）.若已求得一元线性回归方程，则下列选项中不正确的是（ ）
A. 由题中数据可知，变量与正相关
B.
C. 当时，的预估值为2.1
D. 去掉样本点后，与的样本相关系数必会改变
6. 设，为两个事件，已知，，，则等于（ ）
A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.7
7. 一个质点在随机外力的作用下，从数轴上数字所对应的位置出发，每隔秒向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为，则秒后质点最有可能落在数轴上（ ）所对应的位置.
A. B. C. D.
8. 江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（ ）
参考数据：若，则，，
A. 若出门，则开私家车不会迟到
B. 若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
C. 若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
D. 若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记录每次朝上的点数，设事件为“没有出现3点”，事件为“至少出现一次5点”，事件为“两个点数之和为7”，则下列说法正确的有（ ）
A. 与不互斥B. C. D.
10. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 对于一个方格图，定义“连续完美分割”：当且仅当方格图可被互不重叠且连通的四个形状相同的区域完全分割，且每个区域恰含有1个M和1个N．给出下列方格图，可“连续完美分割”的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. x−1x−2x−3x−4x+5的展开式中，含有的项的系数是______.
13. 已知随机变量取所有的值1，2，…，n是等可能的，且，则______.
14. 3成人2小孩乘船游玩，1号船最多乘3人，2号船最多乘2人，3号船只能乘1人，他们任选2只船或3只船但小孩不能单独乘一只船，这5人共有______种乘船方法.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为了解高一（5）班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的列联表
已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
附，.
16. 将6本不同的书按照下列不同的要求进行操作，求不同要求下的分法种数.
（1）分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本；
（2）甲得1本，乙得2本，丙得3本；
（3）一人得1本，一人得2本，一人得3本（注意：请写出式子再写计算结果）
17. 袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量.
（1）求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率；
（2）求的分布列和期望.
18. 小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐.学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复.
（1）求该同学第二天中午选择食堂就餐的概率：
（2）记该同学第天选择食堂就餐的概率为；
①证明：为等比数列；
②当时，恒成立，求取值范围.
19. 我校数学IMATH社团计划在周六和周日各举行一次主题不同的数学作图活动，分别由乐舒老师和艳菲老师负责，已知该社团共有位学生，每次活动均需该社团位学生参加（和都是固定的正整数）.假设乐舒老师和艳菲老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团位学生，且所发信息都能收到.记该社团收到乐舒老师或艳菲老师所发活动通知信息的学生人数为
（1）若该社团有位学生，每次活动选择位学生参加，求学生甲没有收到所发活动通知的概率；
（2）求该社团学生甲收到乐舒老师或艳菲老师所发活动通知信息的概率；
（3）求使取得最大值的整数.
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. 24B. 27C. 36D. 42
答案：C
解析：
解答过程.
2. 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书.从书架上任取数学书和语文书各1本，不同的选取方法有（ ）
A. 6种B. 30种C. 5种D. 11种
答案：B
解析：
解答过程：先从6本不同的数学书取出1本数学书，有6种方法，再从5本不同的语文书取出1本语文书，有5种方法，
由分步乘法计数原理，不同的选取方法有种.
3. 某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们身体状况的某项指标，按照老、中、青三个年龄层次进行分层抽样．已知在青年人中抽了18人，那么该单位抽取的样本容量为（ ）
A. 27B. 36C. 54D. 81
答案：B
解析：
思路：由分层抽样中某一层的人数，计算样本总量的方法，结合题意即可求得该单位抽取的样本容量.
解答过程：样本容量
故选：B.
4. 已知随机变量的分布列如下：
则（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
答案：C
解析：
思路：根据概率之和为1求出，再根据期望公式求解即可.
解答过程：由题意知，，解得，
所以，
故.
5. 为了研究关于的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）.若已求得一元线性回归方程，则下列选项中不正确的是（ ）
A. 由题中数据可知，变量与正相关
B.
C. 当时，的预估值为2.1
D. 去掉样本点后，与的样本相关系数必会改变
答案：D
解析：
思路：对于A：根据回归方程结合正相关的概念分析判断即可；对于B：根据线性回归方程过样本中心点运算求解；对于C：代入运算即可；对于D：根据相关系数的公式分析判断即可.
解答过程：由题意可知：，，
则样本中心点为.
对于选项A：因回归方程斜率为正值，则变量与正相关，故A正确；
对于选项B：因为线性回归方程过样本中心点，
则，解得，故B正确；
对于选项C：由选项B可知：，
当时，的预估值为，故C正确；
对于选项D：由相关系数公式知，去掉样本中心点后，与的样本相关系数不会改变，故D错误.
故选：D.
6. 设，为两个事件，已知，，，则等于（ ）
A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.7
答案：C
解析：
思路：根据对立事件概率及条件概率的公式计算即可得解.
解答过程：因为，所以，
因为，
所以，解得.
7. 一个质点在随机外力的作用下，从数轴上数字所对应的位置出发，每隔秒向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为，则秒后质点最有可能落在数轴上（ ）所对应的位置.
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：设质点向右移动次，可得最终落在，根据，求出时概率最大，即可求出答案.
解答过程：设质点向右移动次，则向左移动次，最终落在，
质点向右移动服从二项分布，
令，其中
即，
即，
整理得，解得，
所以当时，，
当时，，
则最大，
即质点最有可能向右移动次，最终落在，
所以秒后质点最有可能落在数轴上所对应的位置.
故选：B.
8. 江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（ ）
参考数据：若，则，，
A. 若出门，则开私家车不会迟到
B. 若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
C. 若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
D. 若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到
答案：D
解析：
思路：对于A，由即可判断；对于BC，分别计算开私家车及乘坐地铁不迟到的概率即可判断；对于D，计算即可判断
解答过程：对于A，当满足时，
江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故A错误；
对于，若出门，
①江先生开私家车，
当满足时，
此时江先生开私家车不会迟到；
②江先生乘坐地铁，
当满足时，
此时江先生乘坐地铁不会迟到；
此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故B错误；
对于C，若出门，
①江先生开私家车，
当满足时，
此时江先生开私家车不会迟到；
②江先生乘坐地铁，
当满足时，此时江先生乘坐地铁不会迟到；
此时两种上班方式，显然江先生开私家车不迟到的可能性更大，故C错误；
对于D，若出门，
江先生乘坐地铁上班，
当满足时，江先生乘坐地铁不会迟到，
此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故D正确.
故选：D.
方法提示：关键点点睛：本题解决的关键是分别分析得江先生使用不同交通工具在路上所花时间，结合正态分布的对称性求得其对应的概率，从而得解.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，记录每次朝上的点数，设事件为“没有出现3点”，事件为“至少出现一次5点”，事件为“两个点数之和为7”，则下列说法正确的有（ ）
A. 与不互斥B. C. D.
答案：AD
解析：
解答过程：根据题意，抛掷两次，则样本空间
Ω=1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,3,1,
3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6,5,1,5,2,5,3，
5,4,5,5,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，共有36个样本点.
事件的样本空间1,1,1,2,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,4,2,5,2,6,
4,1,4,2,4,4,4,5,4,6,5,1,5,2,5,4,5,5,5,6,6,1,6,2,6,4,6,5,6,6；
事件的样本空间1,5,2,5,3,5,4,5,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,5；
事件的样本空间；
因为事件的样本空间1,5,2,5,4,5,5,1,5,2,5,4,5,5,5,6,6,5，
事件与事件能同时发生，所以与不互斥，故A正确：
事件有11个样本点，所以，故B错误；
事件有6个样本点，所以，故C错误；
因为事件的样本空间2,5,5,2，有2个样本点，所以，故D正确.
10. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：BCD
解析：
思路：根据二项式展开式的通项，令，可求得，判断A；令，求得，利用赋值法令，得，从而求得，判断B；利用赋值法，令，，可判断C；对展开式两边求导，再令，可判断D.
解答过程：的展开式的通项为.
令，得展开式中的常数项，所以A错误；
令，得展开式中的系数，
令，得，
所以，所以B正确；
当为奇数时，的系数为负数；当为偶数时，的系数为正数.
令，得，
即，
所以，所以C正确；
对两边求导，
得，
令，得，所以D正确.
11. 对于一个方格图，定义“连续完美分割”：当且仅当方格图可被互不重叠且连通的四个形状相同的区域完全分割，且每个区域恰含有1个M和1个N．给出下列方格图，可“连续完美分割”的是（ ）
A. B. C. D.
答案：ACD
解析：
思路：根据已知新定义判断A，C，D，再根据连续完美分割得出图形判断B.
解答过程：A，C，D可“连续完美分割”如图：
对于B，对于4×4的方格，其可行的“连续完美分割”，仅有以下5种情形或其旋转图形，
经验证，符合条件的分割方式不存在.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中，含有的项的系数是______.
答案：
解析：
解答过程：在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数,
所以含的项为.
所以展开式中，含的项的系数是.
13. 已知随机变量取所有的值1，2，…，n是等可能的，且，则______.
答案：18
解析：
解答过程：由题意可得，
则，解得，
所以，
所以.
14. 3成人2小孩乘船游玩，1号船最多乘3人，2号船最多乘2人，3号船只能乘1人，他们任选2只船或3只船但小孩不能单独乘一只船，这5人共有______种乘船方法.
答案：27
解析：
解答过程：由题意分四类：第1类，1号船乘2个大人和1个小孩，2号船乘1个大人和1个小孩，有种方法；
第2类，1号船乘1个大人和2个小孩，2号船乘2个大人，有3种方法；
第3类，1号船乘1个大人和2个小孩，2号船乘1个大人，3号船乘1个大人，有种方法；
第4类，1号船乘1个大人和1个小孩，2号船乘1个大人和1个小孩，3号船乘1个大人，有种方法.
故这5人共有种乘船方法.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为了解高一（5）班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的列联表
已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为.
（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
附，.
答案：（1）
（2）能，理由见解析解析：
思路：（1）根据抽到喜爱打篮球的学生的概率求出喜爱打篮球的人数，从而可求出不喜爱打篮球的人数，然后结合列联表中的数据可将列联表补充完整；
（2）根据列联表中的数据，结合公式求出，然后根据临界值分析判断即可.
（1）在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为，
则喜爱打篮球的有人，则不喜爱打篮球的有人，
所以列联表补充如下：
（2）零假设为：喜爱打篮球与性别无关，
计算得χ2=4822×10−6×10228×20×32×16≈4.286>3.841=x0.05，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜爱打篮球与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
16. 将6本不同的书按照下列不同的要求进行操作，求不同要求下的分法种数.
（1）分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本；
（2）甲得1本，乙得2本，丙得3本；
（3）一人得1本，一人得2本，一人得3本（注意：请写出式子再写计算结果）
答案：（1）60 （2）60
（3）360
解析：
思路：（1）是非平均分组，按规定中的各组中元素的个数，直接分组即可；
（2）是确定了方案的非平均分配问题，利用分步乘法计数原理求解即可；
（3）利用非平均分组分为三个组，再将三个组排序分给三个人即可.
（1），共有60种不同的分法.
（2），所以6本不同的书甲得1本，乙得2本，丙得3本共有60种不同的分法.
（3）由于谁得1本、2本、3本未定，所以除了要将书作非平均分组外，还要再乘以，故有，
所以6本不同的书一人得1本，一人得2本，一人得3本共有360种不同的分法.
17. 袋中有5个除了颜色外完全相同的小球，其中有1个红球，2个黑球，2个白球.现从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都有取到时停止，记停止时取出的球的个数为随机变量.
（1）求第二次取出的是黑球的情况下第三次取出的是红球的概率；
（2）求的分布列和期望.
答案：（1）
（2）分布列见解析，
解析：
思路：（1）利用条件概率公式求解即可；
（2）求出随机变量可能的取值及对应的概率，即可求解分布列，进而利用数学期望公式求解即可.
（1）记事件“第二次取出的是黑球”，事件“第三次取出的是红球”，
事件可分为“第一次取出的是黑球”和“第一次取出的不是黑球”两种情况，
故，
事件“第二次取出的是黑球，第三次取出的是红球“，
可分为”第一次取出的是黑球“和”第一次取出的是白球"两种情况，
故，
故所求.
（2）易知随机变量可能的取值为，
当时，前三次分别取出1个红球､1个黑球和1个白球，
，
当时，前四次分别取出2个黑球和2个白球，
，
当时，，
故随机变量的分布列为：
期望为.
18. 小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐.学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复.
（1）求该同学第二天中午选择食堂就餐的概率：
（2）记该同学第天选择食堂就餐的概率为；
①证明：为等比数列；
②当时，恒成立，求取值范围.
答案：（1）
（2）①证明见解析；②
解析：
思路：（1）设为“第1天选择食堂”，为“第2天选择食堂”，根据条件求出，，，，再利用全概率公式，即可求解；
（2）①设为“第天选择食堂”，根据条件得到，，，利用全概率公式得到，即可证明结果；
②由①得到，再对分类讨论，利用单调性，即可求解.
（1）设为“第1天选择食堂”，为“第2天选择食堂”，则为“第1天不选择食堂”，
根据题意，，，，
由全概率公式得.
（2）①设为“第天选择食堂”，则，，
根据题意，，
由全概率公式得：Pn+1=PAn+1=PAnPAn+1An+PAnPAn+1An=14Pn+121−Pn=−14Pn+12，
因此，因为，
所以是以为首，为公比的等比数列.
②由①可得，
当为大于1的奇数时，
当为正偶数时，
因此，当时，，所以.
19. 我校数学IMATH社团计划在周六和周日各举行一次主题不同的数学作图活动，分别由乐舒老师和艳菲老师负责，已知该社团共有位学生，每次活动均需该社团位学生参加（和都是固定的正整数）.假设乐舒老师和艳菲老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团位学生，且所发信息都能收到.记该社团收到乐舒老师或艳菲老师所发活动通知信息的学生人数为
（1）若该社团有位学生，每次活动选择位学生参加，求学生甲没有收到所发活动通知的概率；
（2）求该社团学生甲收到乐舒老师或艳菲老师所发活动通知信息的概率；
（3）求使取得最大值的整数.
答案：（1）
（2） （3）当能被整除时，故在和处达到最大值；当不能被整除时，在处达到最大值.（注：表示不超过的最大整数）.
解析：
思路：（1）利用独立事件同时发生的概率乘法公式求解即可；
（2）由于A和B是相互独立PA=PB=Cn−1k−1Cnk=kn，没有收到信息的概率正好是1−kn2，利用对立事件的概率公式求解即可；
（3）要从和两个角度考虑问题，进而计算可得结论.
（1）学生甲没有收到乐舒老师的消息，没有收到艳菲老师的信息，
则没有收到消息的概率为
（2）设事件：“学生甲收到乐舒老师所发信息”，事件：“学生甲收到艳菲老师所发信息”，
由题意和是相互独立的事件，则与相互独立，
而PA=PB=Cn−1k−1Cnk=kn，
所以PA=PB=1−kn，
因此，学生甲收到活动通知信息的概率为P=1−1−kn2=2kn−k2n2.
（3）当时，只能取，有PX=m=PX=n=1 ，
当，整数满足，其中是和中的较小者.
“乐舒老师和艳菲老师各自独立、随机地发活动通知信息给位同学”所包含的基本事件总数为.
当时，同时收到乐舒老师和艳菲老师转发信息的学生人数恰为，仅收到乐舒老师或仅收到艳菲老师转发信息的学生人数为，则由乘法计数原理知：事件所含基本事件数为
此时PX=m=CnkCk2k−mCn−km−kCnk2=Ck2k−mCn−km−kCnk
当，PX=m≤PX=m+1⇔Ckm−kCn−km−k≤Ckm+1−kCn−km+1−k
化简解得m≤2k−k+12n+2.
假如k≤2k−k+12n+2