2025--2026学年四川仁寿第一中学校（北校区）高二下册5月期中考试数学试题 [含答案]

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1. 乘积展开后共有（ ）项
A. B. C. D.
2. 函数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数在处可导，且，则（）
A. B. C. D.
4. 函数的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. ，D. ，
5. 函数在处有极值为7，则
A. -3或3B. 3或-9C. 3D. -3
6. 已知函数是定义在上的偶函数，为的导函数，且，且当时，，则解集是（ ）
A. B.
C. D.
7. 在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，若有且只有两个整数解使成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
9. 若，则下列选项是正确的有（ ）
A. 二项式系数之和为B. 展开式中含的系数为
C. 系数之和为D.
10. 将名女生和名男生排成一排，则下列选项是正确的有（ ）
A. 女生全排在一起，共有种排法B. 女生都不相邻，共有种排法
C. 甲必须排在乙前面，共有种排法D. 甲不站左端乙不站右端，共有种排法
11. 设是三次函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．设函数，则以下说法正确的（ ）
A. 当，，时，则的图象关于点对称
B. 当时，函数有两个极值
C. 过的拐点有三条切线
D. 当，时，若方程有三个不等实数根，则实数的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上）
12. 在的展开式中，第项的系数是_____
13. 饺子是我国古代传统食物，由东汉末年医学家张仲景发明，最初作为药用．在包饺子时，人们常常将红糖、花生、枣和硬币等包进馅里，红糖代表日子甜美，花生代表健康长寿，枣代表早生贵子，硬币代表财源不断．已知小江一家过年时，在一盘饺子（20个）中，含有红糖、花生的各2个，含枣、硬币的饺子各1个，则小江随机夹的3个饺子中，吃到1个含有硬币的饺子的前提下，吃到2个含有不同特殊馅的饺子的概率为______．
14. （）的两个极值点，满足，则的取值范围为___
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 2025年11月呼和浩特市有甲､乙､丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有，，的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人.
（1）求这个人是阳性患者的概率；
（2）若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率.
16. 在二项式的展开式中，给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数和等于；②若展开式中第项为常数项．试在上面两个条件中选择一个补充在下面的横线上，并且完成下列问题：
我选： （填序号）
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求的展开式的有理项；
（3）求的展开式中的常数项．
17. 已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）试讨论函数的单调性；
（3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值．
18. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当，时，证明：；
（3）证明：（）．
19. 已知函数及其导函数的定义域都为．若对任意，有，则称为“卓越函数”．
（1）判断是否为“卓越函数”？
（2）已知为“卓越函数”，求实数的取值范围；
（3）已知为“卓越函数”，且存在唯一正实数，使得，求实数的取值范围．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 乘积展开后共有（ ）项
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据分步乘法计数原理求解.
解答过程： 得到展开式的一项分两步：
第一步从第一个括号中任选1项，有种不同的选法；
第二步从第二个括号中任选1项相乘，有种不同的选法；
故展开后不同的项共有项.
2. 函数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：因为，则，故.
3. 已知函数在处可导，且，则（）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：根据导数定义，，
已知，所以，
令，当时，，则，
因此，解得.
4. 函数的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. ，D. ，
答案：C
解析：
解答过程：由题设f′(x)=2x+x−3=x2−3x+2x=x−1x−2x，且，
若，则或，
所以函数的单调递增区间为，.
5. 函数在处有极值为7，则
A. -3或3B. 3或-9C. 3D. -3
答案：C
解析：
思路：题意说明，，由此可求得
解答过程：，
∴，解得或，
时，，当时，，当时，，是极小值点；
时，，不是极值点．
∴．
故选C．
方法提示：本题考查导数与极值，对于可导函数，是为极值的必要条件，但不是充分条件，因此由求出参数值后，一般要验证是否是极值点．
6. 已知函数是定义在上的偶函数，为的导函数，且，且当时，，则解集是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：构造函数，结合导数运算与题目条件可得单调性及其奇偶性，结合计算即可得的解集.
解答过程：令，则，
故当时，，即在上单调递减，
由函数是定义在上的偶函数，
则，
故函数是定义在上的奇函数，
则在上单调递减，
由，则g−1=−f−1=0 ，g1=−g−1=0 ，
则当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
综上可得：的解集是.
7. 在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据组合数的性质求解.
解答过程：展开式中，含的项的系数是，
根据公式，可知上式为.
8. 已知，若有且只有两个整数解使成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：计算可得，分、两种情况讨论，令，利用导数分析函数的单调性，数形结合可求得实数的取值范围.
解答过程：因为，
①当时，由可得，令，
则，由，可得或（舍），
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
且，无解；
②当时，由可得，
令，则，
由，可得（舍）或，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
因为，因为，，如下图所示：
因为有且只有两个整数解使成立，
所以，，即.
综上所述，.
故选：A.
方法提示：关键点点睛：本题考查利用函数不等式的整数解的个数，解题的关键在于利用参变量分离法以及数形结合思想可得出参数的取值范围.
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
9. 若，则下列选项是正确的有（ ）
A. 二项式系数之和为B. 展开式中含的系数为
C. 系数之和为D.
答案：ACD
解析：
思路：根据二项式定理的相关性质结论，计算二项式系数之和、特定项系数、各项系数绝对值之和以及系数和，最后分别对各选项进行分析判断.
解答过程：对于A，根据二项式系数之和为，
在中，，所以二项式系数之和为，故A正确.
对于B，在中，其展开式的通项为，
令，则，故B错误.
对于C，令，可得，故C正确，
对于D，由题意得表示的各项系数的绝对值之和，
即表示的各项系数之和，
令，可得，即，故D正确.
10. 将名女生和名男生排成一排，则下列选项是正确的有（ ）
A. 女生全排在一起，共有种排法B. 女生都不相邻，共有种排法
C. 甲必须排在乙前面，共有种排法D. 甲不站左端乙不站右端，共有种排法
答案：BC
解析：
解答过程：选项A：先把3名女生捆绑成1个整体，共有种排法，
再把这个整体与5名男生共6个元素全排列，有种，
共有种排法，故A错误；
选项B：先把5名男生全排列，共有种排法，
在5名男生形成的6个空位中插入3名女生，有种，
共有种排法，故B正确；
选项C：8人任意排列有种排法，
甲在乙前面的概率为，共有种排法，故C正确；
选项D：8人总排法为种，甲站左端排法为，乙站右端排法为，
甲站左端且乙站右端的排法为，
故总排法为：种，故D错误．
11. 设是三次函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．设函数，则以下说法正确的（ ）
A. 当，，时，则的图象关于点对称
B. 当时，函数有两个极值
C. 过的拐点有三条切线
D. 当，时，若方程有三个不等实数根，则实数的取值范围为
答案：ABD
解析：
思路：根据拐点的定义，判断A，根据的根的情况判断B，列举具体的三次函数，求拐点处的切线方程，判断C，利用导数判断函数的单调性和极值，根据零点个数，列不等式，判断D.
解答过程：A.，，，
得，，所以函数的拐点是，则函数关于点对称，故A正确；
B.f′x=3x2+2ax+b=0 ，其中Δ=4a2−12b=4a2−3b>0 ，则函数有2个变号零点，
所以函数有2个极值点，2个极值，故B正确；
C.当时，，，f″x=6x=0 ，得，，
此时函数的拐点是，设过点的切线的切点为，
则切线方程为，过点，所以，得，只有1个切点，所以只有1条切线，故C错误；
D. ，，得，
，得或，，得，
所以的单调递增区间是和，单调递减区间是，
函数的极大值是，极小值是，若方程有3个不等的实数根，
则且，得，故D正确.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上）
12. 在的展开式中，第项的系数是_____
答案：
解析：
思路：借助二项式的展开式的通项公式计算即可得.
解答过程：Tr+1=C5r⋅x5−r⋅2x2r=2r⋅C5r⋅x5−5r2，，
则T3=22⋅C52⋅x5−5×22=40x−52，故展开式中第项的系数是.
13. 饺子是我国古代传统食物，由东汉末年医学家张仲景发明，最初作为药用．在包饺子时，人们常常将红糖、花生、枣和硬币等包进馅里，红糖代表日子甜美，花生代表健康长寿，枣代表早生贵子，硬币代表财源不断．已知小江一家过年时，在一盘饺子（20个）中，含有红糖、花生的各2个，含枣、硬币的饺子各1个，则小江随机夹的3个饺子中，吃到1个含有硬币的饺子的前提下，吃到2个含有不同特殊馅的饺子的概率为______．
答案：
解析：
思路：由条件概率的计算公式进行求解.
解答过程：记事件为“小江随机夹的3个饺子中吃到1个含有硬币的饺子”，
事件为“小江随机夹的3个饺子中吃到2个含有不同特殊馅的饺子”，
所以，
所以．
故答案为.
14. （）的两个极值点，满足，则的取值范围为___
答案：3,5ln2
解析：
思路：根据函数极值点的定义可得出，可得出，令，则，可得出，，可得出x1+2x2=lntt−1+2tlntt−1=1+2tlntt−1，构造函数gx=1+2xlnxx−110 ，
所以在上单调递增，所以，
从而，所以在单调递增，
又gx=1+2xlnxx−1=2lnx+3x−1lnx,1