2025--2026学年陕西省咸阳市高新一中高二下册期中阶段性质量检测数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年陕西省咸阳市高新一中高二下册期中阶段性质量检测数学试题 [含答案]，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 书架上有5本不同的理科类书籍，4本不同的文科类书籍，现从书架上取一本书，不同的取法总数有（ ）
A. 9种B. 45种C. 种D. 20种
2. 若，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
3. 设随机变量X的概率分布列为
则（ ）
A. B. C. D.
4. 设，且，则（ ）
A. 0.3B. 0.35C. 0.4D. 0.45
5. 孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数，使得是素数．素数对称为孪生素数对．从8个数对，，，，，，，中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为，则（ ）
A. B. C. D. 3
6. 在数学兴趣小组的活动中，甲、乙、丙三位同学计划从三个专题中各自随机选择一个专题进行深入研究.事件：甲、乙选择的专题不同；事件：乙、丙选择的专题相同，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
8. 将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现2次正面朝上”的概率记为，现采用随机模拟的方法估计的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，，若出现“恰有2次正面朝上”的频率记为，则（ ）
A. B. C. D. 0
二、多选题：
9. 若离散型随机变量X的分布列如下表所示，则（ ）
A. B. C. D.
10. 用0，1，2，3，4，5，6这7个数字，可以组成（ ）
A. 180个无重复数字的三位数B. 75个无重复数字且为奇数的三位数
C. 30个无重复数字且能被25整除的四位数D. 480个无重复数字且比1300大的四位数
11. 将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，下列说法正确的是（ ）
A. 共有256种放法
B. 若每个盒子都有小球，则有24种放法
C. 若恰好有一个空盒，则有144种放法
D. 若每个盒内放一个小球，且恰好有一个小球的编号与盒子的编号相同，则有24种放法
三、填空题：
12. 已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为，则的数学期望为_______.
13. 已知的取值如下表：
根据表中的数据求得关于的回归直线方程为，则表中第2个记录数据的残差__________.
14. 甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为_____，该次品来自乙机床的概率为_____．
四、解答题：
15. 用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：
（1）各位数字互不相同的三位数有多少个？
（2）可以排出多少个不同的三位数？
16. 高二（3）班的3个男生，2个女生（含学生甲、乙）在寒假期间参加社会实践活动.（用数字作答下列问题）
（1）社会实践活动有5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方案的种数；
（2）活动后5人排成一排拍照，求甲不在中间，乙不在排头的排法种数.
17. 若，且.
（1）求的展开式中二项式系数最大的项；
（2）求的值.
18. 李连贵熏肉大饼是吉林省四平市极具传统特色的美味小吃，有着悠久的历史，创始于1908年，距今已经有着一百多年的历史了.李连贵熏肉大饼的制作方法十分考究，选用猪肉和面粉为主要原料，将猪肉制作成熏肉，在加上公丁香，肉䓕，沙仁等几十种配料謷煮，最后加入调料抹在饼内，夹肉而食，吃起来外酥里软，美味可口，是一道集美味和药膳于一体的美味佳肴，很多外地游客慕名前往四平品尝.某调查机构从年龄在岁的游客中随机抽取100人，对是否有意向购买熏肉大饼进行调查，结果如下表：
（1）若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为购买熏肉大饼与人的年龄有关?
（2）用样本估计总体，用频率估计概率，从年龄在的所有游客中随机抽取3人，设这3人中打算购买熏肉大饼的人数为，求的分布列和数学期望.
【参考数据及公式】，其中.
19. 某企业对员工进行技能测试，测试成绩（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）为优秀.
（1）若该企业共有30000名员工参加测试，试估计该企业测试成绩80分以上（含80分）的员工人数（结果四舍五入保留到整数）；
（2）从该企业所有参加测试的员工中随机抽取3人，设3人中测试成绩优秀的人数为，求的分布列和期望.
附：若随机变量，则，，.
数学
分值：150分
一、单选题：
1. 书架上有5本不同的理科类书籍，4本不同的文科类书籍，现从书架上取一本书，不同的取法总数有（ ）
A. 9种B. 45种C. 种D. 20种
答案：A
解析：
思路：由分类加法计数原理可得.
解答过程：由分类加法计数原理，可知不同的取法有种．
故选：A
2. 若，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
答案：D
解析：
思路：根据可以直接求解.
解答过程：由，得，解得（舍去）
故选：D．
3. 设随机变量X的概率分布列为
则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据随机变量的概率和为，即可求得的值，再将的概率相加，即可得解.
解答过程：，
则.
故选：B．
4. 设，且，则（ ）
A. 0.3B. 0.35C. 0.4D. 0.45
答案：A
解析：
思路：应用正态分布的对称性有，，即可求概率.
解答过程：由对称性质知，且，
又，
所以.
故选：A
5. 孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数，使得是素数．素数对称为孪生素数对．从8个数对，，，，，，，中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为，则（ ）
A. B. C. D. 3
答案：C
解析：
思路：根据题意得随机变量服从超几何分布，进而根据超几何分布求概率，进而求期望.
解答过程：解：由题知8个数对中有，，，共4对孪生素数对，
所以的可能取值为
故，，
，，
所以
故选：C
6. 在数学兴趣小组的活动中，甲、乙、丙三位同学计划从三个专题中各自随机选择一个专题进行深入研究.事件：甲、乙选择的专题不同；事件：乙、丙选择的专题相同，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：事件：甲、乙选择的专题不同，甲有3种选法.
乙有2种选法，丙有3种选法，所以.
事件：甲、乙不同且乙、丙相同.先选乙的专题，有3种.
丙的选法和乙相同，甲有2种选法，所以，
因此.
7. 已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
答案：C
解析：
思路：根据第项的二项式系数为，求出，再根据二项展开式的通项，即可求出其有理项.
解答过程：由题知，又，
所以，展开式通项为，令，
则，所以展开式中有4项的有理项.
故选：C
8. 将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现2次正面朝上”的概率记为，现采用随机模拟的方法估计的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，，若出现“恰有2次正面朝上”的频率记为，则（ ）
A. B. C. D. 0
答案：B
解析：
思路：根据二项分布概率公式计算，根据已知数据计算频率，再作差求解即可.
解答过程：一枚质地均匀的硬币连掷三次,正面朝上的次数的二项分布，
所以，恰出现2次正面朝上的概率，
20组随机数中，出现“恰有2次正面朝上”的有：011、101、101、011、011、101，共6组，故频率，
所以.
故选：B
二、多选题：
9. 若离散型随机变量X的分布列如下表所示，则（ ）
A. B. C. D.
答案：ABD
解析：
思路：根据概率之和为1求出判断A；然后结合均值和方差的概念计算判断B，C，应用均值性质求解新的离散型随机变量的均值判断D.
解答过程：由题意得，解得，A正确；
由，B选项正确；
，故D选项正确；
因为，故C选项错误；
10. 用0，1，2，3，4，5，6这7个数字，可以组成（ ）
A. 180个无重复数字的三位数B. 75个无重复数字且为奇数的三位数
C. 30个无重复数字且能被25整除的四位数D. 480个无重复数字且比1300大的四位数
答案：AB
解析：
思路：根据分步乘法原理，由选项中的限制条件，逐项计算，可得答案.
解答过程：对于A，无重复数学的三位数的情况数为，故A正确；
对于B，为奇数的三位数的个位可选的数字有，则无重复数学且为奇数的三位数的情况数为，故B正确；
对于C，能被整除的四位数的最后两位有，则无重复数字且能被整除的四位数的情况数有，故C错误；
对于D，当千位比大的无重复数字的四位数的情况数有；
当千位为且百位比大的无重复数字的四位数的情况数有；
当千位为、百位为且十位比大的无重复数字的四位数的情况数有；
当千位为、百位为、十位为且个位比大的无重复数字的四位数的情况数有.
综上可得，故D错误.
故选：AB.
11. 将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，下列说法正确的是（ ）
A. 共有256种放法
B. 若每个盒子都有小球，则有24种放法
C. 若恰好有一个空盒，则有144种放法
D. 若每个盒内放一个小球，且恰好有一个小球的编号与盒子的编号相同，则有24种放法
答案：ABC
解析：
解答过程：对于A：每个小球有4种放法，所以共有种放法，故A正确；
对于B：若每个盒子都有小球，则有种放法，故B正确；
对于C：先从4个小球中任选2个放入其中1个盒子中，有种放法，
再在剩下的3个盒子中任选2个放入剩下的2个小球，有种放法，所以共有种放法，故C正确；
对于D：先从4个小球中任选1个，放入编号相同的盒子中，有种放法，
再将剩下的3个小球放入编号不同的盒子中，有2种放法，所以共有种放法，故D错误.
三、填空题：
12. 已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为，则的数学期望为_______.
答案：##
解析：
解答过程：由题设可取，
又，，
，
故.
13. 已知的取值如下表：
根据表中的数据求得关于的回归直线方程为，则表中第2个记录数据的残差__________.
答案：##
解析：
思路：利用回归方程求出时的预测值，再求出残差作答.
解答过程：关于的回归直线方程为，当时，，
所以表中第2个记录数据的残差.
故
14. 甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为_____，该次品来自乙机床的概率为_____．
答案： ①. 0.1## ②. 0.3##
解析：
思路：利用全概率公式和贝叶斯公式求解即可.
解答过程：记为事件“零件为第台车床加工”，
则，，，
B为事件“任取一个零件为次品”，由全概率公式得：
，
由贝叶斯公式得.
故0.1；0.3.
四、解答题：
15. 用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：
（1）各位数字互不相同的三位数有多少个？
（2）可以排出多少个不同的三位数？
答案：（1）120 （2）216
解析：
思路：根据排列定义及分步乘法的计算原理即可求解结果．
（1）解：三位数的每位上数字均为1，2，3，4，5，6之一．
第一步，得首位数字，有6种不同结果；
第二步，得十位数字，有5种不同结果；
第三步，得个位数字，有4种不同结果．
故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个)；
（2）三位数，每位上数字均可从1，2，3，4，5，6六个数字中得一个，
共有这样的三位数有6×6×6＝216(个)．
16. 高二（3）班的3个男生，2个女生（含学生甲、乙）在寒假期间参加社会实践活动.（用数字作答下列问题）
（1）社会实践活动有5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方案的种数；
（2）活动后5人排成一排拍照，求甲不在中间，乙不在排头的排法种数.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）通过排列的方法求分配方案的种数；
（2）用分类法或排除法求排法种数.
解答过程：（1）5个人做5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，不同的分配方案总数为种.
（2）方法一：甲不在中间，乙不在排头的排法可以分两类：
①甲在排头，其他4人随机排，则有种排法；
②甲不在排头也不在中间，甲有3个位置可以选择，乙不在排头，有3个位置可以选择，其他3人随机排，则有种排法.
综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种.
方法二：5人随机排有种排法，其中甲在中间，其他4人随机排，有种排法，乙在排头，其他4人随机排，有种排法，甲在中间，乙在排头，其他3人随机排，有种排法.
综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种.
17. 若，且.
（1）求的展开式中二项式系数最大的项；
（2）求的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据展开式的通项公式为，令，结合，即可求出的值，判断出的展开式中二项式系数最大的项，根据通项公式即可求解；
（2）根据赋值法，令，可求出；令，得，两式相减可得，即可求解.
（1）展开式的通项公式为，
所以令得.
又，所以，化简整理得，解得或（舍）.
故的展开式中二项式系数最大的项为第5项，为；
（2）令，可知，
令，得，
所以，
故.
18. 李连贵熏肉大饼是吉林省四平市极具传统特色的美味小吃，有着悠久的历史，创始于1908年，距今已经有着一百多年的历史了.李连贵熏肉大饼的制作方法十分考究，选用猪肉和面粉为主要原料，将猪肉制作成熏肉，在加上公丁香，肉䓕，沙仁等几十种配料謷煮，最后加入调料抹在饼内，夹肉而食，吃起来外酥里软，美味可口，是一道集美味和药膳于一体的美味佳肴，很多外地游客慕名前往四平品尝.某调查机构从年龄在岁的游客中随机抽取100人，对是否有意向购买熏肉大饼进行调查，结果如下表：
（1）若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为购买熏肉大饼与人的年龄有关?
（2）用样本估计总体，用频率估计概率，从年龄在的所有游客中随机抽取3人，设这3人中打算购买熏肉大饼的人数为，求的分布列和数学期望.
【参考数据及公式】，其中.
答案：（1）列联表见解析，购买熏肉大饼与人的年龄有关
（2）分布列见解析，
解析：
思路：（1）根据所给列表，写出列联表，计算，利用独立性检验的基本思想，判断即购买熏肉大饼与人的年龄是否有关；
（2）根据二项分布的计算公式，写出它的分布列，计算期望值(可直接用二项分布的期望值公式计算）.
（1）列联表如下：
零假设为购买熏肉大饼与人的年龄无关.
根据表中数据计算得：，
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即购买熏肉大饼与人的年龄有关，该推断犯错误的概率不超过.
（2）由已知得，，，
，，
，.
所以随机变量的分布列为:
所以.
19. 某企业对员工进行技能测试，测试成绩（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）为优秀.
（1）若该企业共有30000名员工参加测试，试估计该企业测试成绩80分以上（含80分）的员工人数（结果四舍五入保留到整数）；
（2）从该企业所有参加测试的员工中随机抽取3人，设3人中测试成绩优秀的人数为，求的分布列和期望.
附：若随机变量，则，，.
答案：（1）25241人
（2）解析：
思路：（1）根据正态分布的性质可知，从而可求出；
（2）首先求出，再根据服从二项分布可得分布列及数学期望.
（1）因为，所以，，
所以，
则，
所以估计该公司测试成绩80分以上（含80分）的员工人数为25241人.
（2）因为，且，
所以，
依题意，
所以，，
，，
故随机变量的分布列为：
所以随机变量的期望.X
1
3
5
7
P
0.4
0.3
0.2
m
1
2
3
4
32
48
72
88
年龄/岁
抽取人数
有意向购买熏肉大饼的人数
年龄低于岁的人数
年龄不低于岁的人数
总计
有意向购买熏肉大饼的人数
无意向购买熏肉大饼的人数
总计
X
1
3
5
7
P
0.4
0.3
0.2
m
1
2
3
4
32
48
72
88
年龄/岁
抽取人数
有意向购买熏肉大饼的人数
年龄低于岁的人数
年龄不低于岁的人数
总计
有意向购买熏肉大饼的人数
无意向购买熏肉大饼的人数
总计
年龄低于
岁的人数
年龄不低于
岁的人数
总计
有意向购买熏肉大饼的人数
无意向购买熏肉大饼的人数
总计
0
1
2
3
0.729
0.243
0.027
0.001
0
1
2
3
0.729
0.243
0.027
0.001