2025--2026学年陕西咸阳市实验中学高二下册期中质量检测数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年陕西咸阳市实验中学高二下册期中质量检测数学试题 [含答案]，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 二项式的展开式中所有二项式系数和为64，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
2. 已知双曲线C的焦点在y轴上，其渐近线方程为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
3. 设，，向量，，，则（ ）
A. B. C. D. 1
4. 将5名志愿者分配到4个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区进行志愿服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A. 180B. 240C. 360D. 480
5. 已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（ ）
A. 在上为增函数
B. 的最小值为
C. 的极大值为，极小值为
D. 的极小值点为0，极大值点为1
6. 已知随机事件、，，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知点，，点在圆:上运动，则（ ）
A. 直线与圆相离
B. 的最大值为
C. 的面积的最小值为
D. 圆半径为2
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 某公交车上有6位乘客，沿途4个车站，乘客下车的可能方式有种
B. 用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成156个无重复数字的四位数偶数
C. 英文单词“sentence”由8个字母构成，将这8个字母组合排列，且两个不相邻一共可以得到英文单词的个数为2520个（可以认为每个组合都是一个有意义的单词）
D. 6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有216种
11. （多选）如图，棱长均为2的正三棱柱中，分别是的中点，则（ ）

A. 异面直线与所成角为
B. 平面
C. 平面平面
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是等差数列，，，则___________．
13. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”现提供6种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有__________种.（用数字作答）

14. 已知恰能被13整除，则的最大负整数取值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 设是等比数列，公比不为1．已知，且成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）若数列设的前n项和为，求；
16. 若，求：
（1）求的值；
（2）；
（3）．
17. 如图，在四棱锥中，，，底面，，，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
18. 已知函数，．
（1）求的极值；
（2）若在单调递增，求实数a的取值范围；
（3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围．
19. 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，点是上一点，，且的面积为．
（1）求的方程．
（2）过的直线与交于，两点，与直线交于点，设，，证明：为定值．
数学
本试卷共4页，满分150分，时间120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 二项式的展开式中所有二项式系数和为64，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
答案：C
解析：
思路：根据给定条件，利用二项式展开式的二项式系数的性质求解.
解答过程：二项式的展开式中所有二项式系数和为，所以.
故选：C
2. 已知双曲线C的焦点在y轴上，其渐近线方程为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
答案：D
解析：
思路：根据渐近线方程可得，进而可得离心率，注意双曲线的焦点在y轴上.
解答过程：因为双曲线C的焦点在y轴上，则其渐近线方程为，
又已知双曲线C的渐近线方程为，
则，所以双曲线的离心率．
故选：D.
3. 设，，向量，，，则（ ）
A. B. C. D. 1
答案：C
解析：
思路：利用空间向量共线的坐标表示列式求出即可.
解答过程：向量，，由，得，解得，
所以.
故选：C
4. 将5名志愿者分配到4个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区进行志愿服务，则不同的分配方法种数为（ ）
A. 180B. 240C. 360D. 480
答案：B
解析：
思路：利用分步乘法计数原理即可求解.
解答过程：符合要求的分配方法可分为两步完成，
第一步，将5名志愿者分成一个组人数为2，三个组人数都为1的四组，该步有种完成方法，
第二步，将4组志愿者分派到4个社区，此步有种完成方法，
由分步乘法计数原理可得符合要求的派法种数为.
5. 已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（ ）
A. 在上为增函数
B. 的最小值为
C. 的极大值为，极小值为
D. 的极小值点为0，极大值点为1
答案：D
解析：
思路：根据图象先判断的单调性，然后逐项判断即可.
解答过程：由图像可知，当时，，所以.
所以，所以在上为减函数，A错误；
当时，，所以.
所以，所以在上为增函数，
当时，，所以.
所以，所以在上为减函数，所以的最小值为或，B错误；
因为在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数，
所以的极大值为，极小值为，极大值点为1，极小值点为0，所以C错误D正确；
故选：D.
6. 已知随机事件、，，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用条件概率公式可得出的值，进而可求得的值，再由可求得结果.
解答过程：因为，，，所以，
由条件概率公式可得，
因此.
故选：C.
7. 已知是定义在的偶函数，当时，，且，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：构造函数，利用导数，结合题目所给条件可得单调性及其奇偶性，再利用，可得，则可得及时的的取值范围，再分与计算即可得解.
解答过程：令，则，
由时，，故，
即在上单调递减，又为偶函数，则，
则也是定义在的偶函数，
由，则，
则当时，，且，
当时，，且，
令，则有或，
对，解得；对，解得，
故的解集为.
故选：A.
8. 已知，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：法一：由单调性，得到，进而得到，再构造函数，求导确定单调性即可求解；法二：由单调性，得到，进而得到，再构造函数，求导确定单调性即可求解.
解答过程：解法1：因为是上增函数，
则即为，
所以，.
令，则，当时，；
当时，.
所以在单调递减，在单调递增，
故，因此，
即的取值范围是，
故选：B.
解法2：因为是上增函数，
则即为，
所以，.
令，则，
当时，；当时，.
故在单调递减，在单调递增，
，因此，
即的取值范围是，
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知点，，点在圆:上运动，则（ ）
A. 直线与圆相离
B. 的最大值为
C. 的面积的最小值为
D. 圆半径为2
答案：ACD
解析：
思路：由圆的方程求出圆心和半径，可判断D；由直线方程的截距式，表示出直线的方程，求出圆心到直线的距离大于半径，即可判断A；由两点间距离公式求出，，计算即可判断B；先求，再利用两点间距离公式求出，利用面积公式计算即可.
解答过程：
对于A ，圆的方程为，
圆心的坐标为，半径为，
，，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离，
直线与圆相离，故A正确；
对于B，，，
，故B错误；
对于C，，，
，
圆心到直线的距离，
点到直线的距离的最小值为，
面积的最小值为，故C正确；
对于D，圆的方程为，
圆心的坐标为，半径为，故D正确.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 某公交车上有6位乘客，沿途4个车站，乘客下车的可能方式有种
B. 用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成156个无重复数字的四位数偶数
C. 英文单词“sentence”由8个字母构成，将这8个字母组合排列，且两个不相邻一共可以得到英文单词的个数为2520个（可以认为每个组合都是一个有意义的单词）
D. 6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有216种
答案：BC
解析：
解答过程：对于A，由分步乘法计数原理，乘客下车的可能方式有种；
对于B，符合要求的四位偶数可分为两类：第一类，0在个位时有个，
第二类，2或4在个位时，首位从不为0且不为个位数的其他数字中选择（有种情况），
十位和百位从余下的数字中选（有种情况），于是有个，
由分类加法计数原理知，共有四位数偶数；
对于C，英文单词“sentence”中字母e有3个，字母n有2个，字母s、t、c各有一个，
优先考虑无限制的字母，注意重复字母需除去顺序，共有种，
再插入2个字母，共有种，所以一共有种；
对于D，先将丙丁看作一个整体，与另外两名同学全排列，有种方法，此时产生4个空位，再将甲、乙两人插入这4个空位，有种方法，最后将丙丁排列，有种方法，由分步计数原理，可得不同排法数为：种.
11. （多选）如图，棱长均为2的正三棱柱中，分别是的中点，则（ ）

A. 异面直线与所成角为
B. 平面
C. 平面平面
D. 点到平面的距离为
答案：ACD
解析：
思路：以中点为原点，分别以所在直线为轴，以过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断即可.
解答过程：如图根据正三棱柱的性质，以中点为原点，分别以所在直线为轴，以过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，，
所以，，，，，
设平面的法向量为，
则即，故可取，
对于A，因为，则有，故A正确；
对于B，因为，所以与平面不平行，故B错误；
对于C，解法一：因为，，，
由，可得，
又平面，所以平面，
所以为平面的一个法向量，
由，可知平面平面，故C正确；
解法二：因为平面，平面，所以，
又因为三角形为等边三角形，且为边中点，所以，
又因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，故C正确.
对于D，解法一：因为平面的一个法向量为，，
所以点到平面的距离为；
解法二：因为为中点，所以点到平面的距离为点到平面的距离，
由选项C，平面平面，又因为平面平面，
易知直角三角形全等于直角三角形，所以，
所以，即，
由选项C，平面平面，又因为平面平面，平面，
所以平面，
设与交于，则点到平面的距离为线段的长，
在直角三角形中，，
又，解得，故D正确；
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是等差数列，，，则___________．
答案：1011
解析：
解答过程：设等差数列的公差为，依题意，，
则.
13. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”现提供6种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有__________种.（用数字作答）

答案：1560
解析：
思路：分别用3种颜色、4种颜色、5种颜色涂色即可.
解答过程：如图所示，

用3种颜色涂色，则①、③⑤同色、②④同色，所以涂色方案有种，
用4种颜色涂色，则①、③、⑤、②④同色或①、③⑤同色、②、④，所以涂色方案有种，
用5种颜色涂色，则①、③、⑤、②、④异色，所以涂色方案有种，
所以涂色方案共有种.
故1560.
14. 已知恰能被13整除，则的最大负整数取值为______.
答案：
解析：
思路：利用二项式定理展开，根据整除性即可确定.
解答过程：因
，
因是整数，恰能被13整除，
则，故的最大负整数取值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 设是等比数列，公比不为1．已知，且成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）若数列设的前n项和为，求；
答案：（1）；（2）；
解析：
思路：
（1）由，，成等差数列，可得，代入解出即可得出．
（2）利用等比数列和等差数列的前项和公式分组求和即可得出．
解答过程：（1）解：，，成等差数列，，，
解得．
．
（2）．
方法提示：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式前项和公式及分组求和的应用，属于基础题．
16. 若，求：
（1）求的值；
（2）；
（3）．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用二项展开式的通项公式可求的值；
（2）利用赋值法可求系数和；
（3）同（2）利用赋值法可求系数和.
（1）二项式展开式的通项为，
其中．
因为，所以．
（2），
令，解得；
令，整理得，
故．
（3）的展开式通项为，则，
其中且，当为偶数时，；当为奇数时，．
所以
令可得，
所以．
17. 如图，在四棱锥中，，，底面，，，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值．
答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：
思路：（1）取的中点通过题中条件证得四边形为平行四边形，从而得到，利用线面平行判定定理得到平面.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设与平面所成的角为，利用向量的数量积求出，
利用公式求出，即为直线与平面所成角的余弦值.
（1）取的中点，连接，.
为的中点，且，
又，，，，且，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面.
（2）以为原点，直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，，
，，，，，，
，，
，，
设平面的法向量为，
则有，取，则，，
则平面的法向量为，
则，.
设与平面所成的角为，
则有，
，
，
直线与平面所成角的余弦值为.
18. 已知函数，．
（1）求的极值；
（2）若在单调递增，求实数a的取值范围；
（3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围．
答案：（1）的极小值为0，无极大值
（2） （3）
解析：
思路：（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可；
（2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解.
（3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解.
（1），求导得，，
因为时，，所以在上单调递增，
因为时，，所以在上单调递减，
又，故在处取极小值0，无极大值．
（2）函数，
求导得，由在单调递增，
得在上恒成立，即在上恒成立，因此，，
设，，，则在上单调递增，
于是，即，所以的取值范围为.
（3）若对任意的，总存在，使得，
则当时，，
当时，，
即在上单调递增，，
函数，，，
求导得，
由，得，函数在上单调递减，
则，因此，解得，
所以的取值范围为.
19. 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，点是上一点，，且的面积为．
（1）求的方程．
（2）过的直线与交于，两点，与直线交于点，设，，证明：为定值．
答案：（1） （2）证明见解析
解析：
思路：（1）由椭圆的定义及直角三角形的性质，列出关于的方程组，求解可得；
（2）设直线的方程为，设，直线的方程与椭圆方程联立，得；与直线联立，得点的坐标；根据向量的坐标运算，得，化简可得为定值．
（1）设椭圆的焦距为，则，
解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）由题可知，，直线的斜率存在.
设直线的方程为，，
由，得，
所以.
由，得.
由，，
得，
所以，即，
所以
，
即为定值，定值为.