2025--2026学年陕西商洛市山阳县高一下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年陕西商洛市山阳县高一下册期中考试数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 复数在复平面上对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ）
A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知非零向量，满足，若，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 若向量满足，且，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
6. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、设，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 已知向量，，且与的夹角为，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 若复数（i为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
11. 在中，内角的对边分别为，下面判断正确的是（ ）
A. 若，则中最大的角为
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，则的外接圆面积为
D. 若，则为钝角三角形
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上)
12. 复数的虚部为______．
13. 已知在中，，，，是的平分线，则=_____．
14. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为__________.
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 已知复数，为虚数单位，为实数．
（1）若复数为纯虚数，求的值；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围．
16. 已知向量与，，．
（1）设与的夹角为，求的值；
（2）若向量与互相平行，求的值．
（3）若，求的最小值．
17. 设锐角的内角的对边分别为，
（1）求角；
（2）若边，面积为，求的周长．
18. 已知，， ．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）设的内角的对边分别为，且，，边上的中线，求的面积．
19. 如图，在菱形中，．
（1）用表示；
（2）求；
（3）若是菱形内（含边界）一动点，求的取值范围．
数学
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 复数在复平面上对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：A
解析：
思路：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限.
解答过程：∵复数=,∴复数对应的点的坐标是（）,
∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.
2. 如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ）
A. 三棱锥B. 四棱锥C. 三棱柱D. 组合体
答案：B
解析：
思路：根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．
解答过程：三棱台中，沿平面截去三棱锥，
剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．
故选：B
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据平面数量积中向量垂直的坐标表示，列出等式计算即可.
解答过程：由得，
即，解得.
故选：A
4. 已知非零向量，满足，若，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：借助投影向量定义计算即可得.
解答过程：，
故向量在向量方向上的投影向量为.
5. 若向量满足，且，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
答案：B
解析：
思路：根据给定条件，利用垂直关系的向量表示和数量积的运算律列式求解.
解答过程：由，得，
因此，所以.
故选：B
6. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据题意利用正弦定理可得.
解答过程：由正弦定理得，得．
故选：A.
7. 如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、设，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用、、三点共线，可求出的值.
解答过程：连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则，
即，所以，，
又因为，，则，
因为、、三点共线，设，则，
所以，，且、不共线，
所以，，，故，因此，.
故选：C.
8. 某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据已知条件得到为等腰三角形，得出，根据正弦定理得出，因为，所以为直角三角形，所以.
解答过程：已知，则.
所以，即为等腰三角形.
所以.
根据正弦定理.
因为，所以，为直角三角形.
所以.
故选：D.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 已知向量，，且与的夹角为，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：BD
解析：
思路：根据向量的坐标运算法则、向量的模的计算公式、向量的共线的判定方法和向量的夹角公式，逐项判定，即可求解.
解答过程：对于A中，由 ，所以A不正确；
对于B中，由，，所以B正确；
对于C中，由，，可得，所以C不正确；
对于D中，由向量的夹角公式，可得，所以D正确．
故选：BD．
10. 若复数（i为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
答案：ACD
解析：
思路：借助共轭复数与模长定义计算即可得A；虚数不能比较大小可得B；借助共轭复数定义计算可得C；借助共轭复数定义及复数乘法运算法则计算可得D.
解答过程：对A：，则，故A正确；
对B：虚数不能比较大小，故B错误；
对C：z⋅z=322+122=1 ，故C正确；
对D：，则zi=32−12ii=12+32i ，故D正确.
11. 在中，内角的对边分别为，下面判断正确的是（ ）
A. 若，则中最大的角为
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，则的外接圆面积为
D. 若，则为钝角三角形
答案：ACD
解析：
思路：利用余弦定理判断A，由锐角三角形可得，再由正弦函数的性质判断B，由正弦定理求出外接圆的半径，即可判断C，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理判断即可.
解答过程：解：对于A：由余弦定理，
因为，所以，故A正确；
对于B：因为为锐角三角形，所以，即，
又在上单调递增，所以，故B错误；
对于C：设的外接圆的半径为，则，所以，
所以的外接圆的面积为，故C正确；
对于D：由，所以，即，
所以，所以为钝角，所以为钝角三角形，故D正确.
故选：ACD
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上)
12. 复数的虚部为______．
答案：5
解析：
思路：利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，可得出该复数的虚部.
解答过程：因为复数，
所以该复数的虚部为5．
故5.
13. 已知在中，，，，是的平分线，则=_____．
答案：
解析：
解答过程：因为，，，
所以，
因为平分，所以，
设，则，，
因为，所以，解得，即.
14. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为__________.
答案：
解析：
思路：利用平面向量的加减法运算和数量积的运算律求解即可.
解答过程：由题可得，，
，
所以
，
，
，
所以，
故答案为: .
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 已知复数，为虚数单位，为实数．
（1）若复数为纯虚数，求的值；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围．
答案：（1）2 （2）
解析：
思路：（1）根据纯虚数的概念可得出关于的等式与不等式，进而可求得实数的值；
（2）根据条件得出该复数的实部和虚部都为正数，则可得出关于实数的不等式组，进而求解即可．
（1）由复数为纯虚数，得，解得.
（2）因为复数在复平面内对应的点位于第一象限，
所以，解得，
即的取值范围为．
16. 已知向量与，，．
（1）设与的夹角为，求的值；
（2）若向量与互相平行，求的值．
（3）若，求的最小值．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
（1）因为，，所以2a→+b→=0,1，
csθ=2a→+b→⋅b→2a→+b→⋅b→=11×5=55.
（2）ka→+b→=k(1,0)+(−2,1)=k−2,1，a→+kb→=(1,0)+k(−2,1)=1−2k,k，
因为向量与互相平行，所以k−2k−1×1−2k=0 ，
化简可得，解得.
（3）a→−tb→=a→2−2ta→·b→+t2b→2=5t2+4t+1=5(t+25)2+15≥55，
因此a→−tb→min=55.
17. 设锐角的内角的对边分别为，
（1）求角；
（2）若边，面积为，求的周长．
答案：（1）；
（2）20.
解析：
思路：（1）由正弦定理得到，求出；
（2）由三角形面积得到，根据余弦定理得到，从而得到周长.
（1）由及正弦定理，得，
又，得，
所以，又为锐角，所以；
（2）由（1）得，则，
由余弦定理，得，
所以，所以，
所以的周长为．
18. 已知，， ．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）设的内角的对边分别为，且，，边上的中线，求的面积．
答案：（1）；2kπ−5π6,2kπ+π6，k∈Z ．
（2）解析：
（1），
因此最小正周期，
令−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ,k∈Z ，解得，
所以的单调递增区间为2kπ−5π6,2kπ+π6，k∈Z ．
（2），即，
因为，所以，
因此，即，
因为，两边平方可得AB2+AC2+2AB⋅AC=4AM2，
即c2+b2+2cbcsπ3=c2+b2+cb=4222=32 ，
由余弦定理可得，
联立可得b2+c2+bc=32b2+c2−bc=16，解得，
所以.
19. 如图，在菱形中，．
（1）用表示；
（2）求；
（3）若是菱形内（含边界）一动点，求的取值范围．
答案：（1），．
（2） （3）
解析：
思路：（1）借助平面向量线性运算法则计算即可得；
（2）结合（1）中所得，利用转化法计算即可得解；
（3）借助转化法可得，从而只需计算范围即可得解，由图可得与重合时，最小，此时，与重合时，最大，此时可借助余弦定理求出最大值，即可得解.
（1）由，
则，；
（2）由（1）可知，，
则
，
因为，，则，
则，
故；
（3）由题可知，
则．
由图可知，当与重合时，，此时取得最小值为，
当与重合时，最大，取得最大值．
如图连接，在中，由余弦定理，
得，
所以的最大值为，
故的取值范围为.