2025--2026学年陕西商洛市山阳县高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年陕西商洛市山阳县高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，则（ ）
A. 20B. 30C. 42D. 56
2. 某款车型有8种外观颜色，4种内饰颜色可供选择.若车主自由选择车的外观和内饰颜色，则不同的选法共有（ ）
A. 4种B. 8种C. 32种D. 12种
3. 已知函数，则（ ）
A. 12B. 6C. 3D.
4. 设 则的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
5. 函数 的导函数在区间上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知曲线 在处的切线方程为，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 设 ，则，，大小关系是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则c的值可以为（ ）
A. B. C. 16D. 2
10. 下列结论正确的是（ ）
A.
B. （m，n为正整数且）
C.
D. 满足方程的x值可能为1或5
11. 定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”，则下列函数只有一个“新不动点”的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12. 2男3女站成一排拍照，若左、右两端恰好是一男一女，则不同的排法种数为__________ .
13. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是________.
14. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，，则不等式的解集为________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 某班有5名同学报名参加校运会的4个比赛项目，求满足下列情况的不同的报名方法种数.（用数字回答）
（1）每项限报一人，且每人至多参加一项，每个项目均有人参加；
（2）每人限报一项，每人均参加，且每个项目均有人参加.
16. 设函数 ，其中.已知在处取得极值.
（1）求的解析式;
（2）求在上的最值.
17. 用0，1，2，3，4这5个数字组成无重复数字的五位数.
（1）可以组成多少个五位数?
（2）可以组成多少个能被 2整除的五位数?
（3）将组成的五位数按从小到大的顺序排列，第49个数是多少?
18. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
19. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）讨论函数的极值；
（3）证明：当时，．
数学
满分: 150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，则（ ）
A. 20B. 30C. 42D. 56
答案：B
解析：
解答过程：由，可得，则.
2. 某款车型有8种外观颜色，4种内饰颜色可供选择.若车主自由选择车的外观和内饰颜色，则不同的选法共有（ ）
A. 4种B. 8种C. 32种D. 12种
答案：C
解析：
解答过程：第一步：选外观颜色，有8种选法；第二步：选内饰颜色，有4种选法.
所以不同的选法共有（种）.
3. 已知函数，则（ ）
A. 12B. 6C. 3D.
答案：C
解析：
思路：先求导计算出，再由导数的定义得，即可求解
解答过程：∵，∴，
∴．
故选：C
4. 设 则的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先求出导函数，再根据导函数为正得出单调增区间即可.
解答过程：的定义域为，，
由，可得，所以的单调递增区间为.
5. 函数 的导函数在区间上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
解答过程：因为，所以,
所以,
所以为偶函数，由此可排除,
又因为，排除D，故适合题意.
6. 已知曲线 在处的切线方程为，则 （ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：对函数求导，求出切线斜率和切点处的函数值，进而求出结果.
解答过程：对函数求导得，可得曲线在处的切线斜率为，
由切线方程为，可得，即，
又，故切点坐标为，将其代入切线方程中得，
所以，所以.
7. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：由函数在上单调递减，得在上恒成立，再由指数函数的性质可得.
解答过程：因为在上，单调递减，且，
所以恒成立，即在上恒成立，
因为函数在上单调递增，所以，所以，解得.
所以实数的取值范围为.
8. 设 ，则，，大小关系是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：构造函数，求导后可得其单调性，利用单调性判断即可得解.
解答过程：令，则，
当时，，故在上单调递增，
又，故，即，
又，故，即.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则c的值可以为（ ）
A. B. C. 16D. 2
答案：BC
解析：
解答过程：因为，
令，解得或；令，解得；
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，
所以的极大值为，极小值为.
又的图象与x轴恰有两个公共点，
所以只需满足或，即或
即或16.
10. 下列结论正确的是（ ）
A.
B. （m，n为正整数且）
C.
D. 满足方程的x值可能为1或5
答案：AB
解析：
思路：根据组合数公式和性质判断选项.
解答过程：对于A，由公式可知A正确；
对于B，，，
所以（m，n为正整数且），故B正确；
对于C，因，故C错误；
对于D，因为，所以，解得，
当时，，成立，故D错误.
11. 定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”，则下列函数只有一个“新不动点”的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：AB
解析：
思路：利用定义分别判断的解的个数即可得出答案.
解答过程：对于A，，由，
得，解得，
∴只有一个“新不动点”；
对于B，，
由，得，解得，
∴只有一个“新不动点”；
对于C，
由，得，
同除以得，不是方程的根，
故可得： （x＞0），
由的图象在上有两个交点，
∴有两个“新不动点”；
对于D，，
由，得，
即，易知方程有无数个解，
∵有无数个“新不动点”．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12. 2男3女站成一排拍照，若左、右两端恰好是一男一女，则不同的排法种数为__________ .
答案：72
解析：
解答过程：由2男3女站成一排拍照，左、右两端恰好是一男一女，
先排左、右两端，有（种）排法，
再排中间3个位置，有（种）排法，
所以不同的排法种数为种.
13. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是________.
答案：
解析：
思路：首先求函数的导数，利用导函数有2个零点，求参数的取值范围.
解答过程：因为有两个不同的极值点，所以在有2个不同的零点，所以在有2个不同的零点，所以，解得.
所以的取值范围是.
14. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，，则不等式的解集为________.
答案：
解析：
思路：将原等式变形，根据导数的定义得到，进而求得函数解析式，然后化简不等式求得解集即可.
解答过程：由题意得，所以.
令，则，因为，所以，
所以，所以不等式等价于，解得.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 某班有5名同学报名参加校运会的4个比赛项目，求满足下列情况的不同的报名方法种数.（用数字回答）
（1）每项限报一人，且每人至多参加一项，每个项目均有人参加；
（2）每人限报一项，每人均参加，且每个项目均有人参加.
答案：（1）120 （2）240
解析：
思路：（1）应用排列数公式计算求解；
（2）应用排列数及组合数结合分步计算原理计算求解.
（1）在5人中任选4人，安排其参加4个比赛项目，故共有（种）报名方法.
（2）根据题意，分两步进行分析：①将5人分成4组，有（种）分组方法.
②将分好的四组安排参加4项比赛，有（种）情况.
所以共有（种）报名方法.
16. 设函数 ，其中.已知在处取得极值.
（1）求的解析式;
（2）求在上的最值.
答案：（1）
（2）最大值为40，最小值为12.
解析：
思路：（1）对函数求导，根据极值点求出参数即可.
（2）对函数求导，求出极值点，判断单调性，进而确定最值.
16.对函数求导得，因为在处取得极值，
所以，解得.
所以.
17.由（1）可知，令，
则，解得或.
，所以在上的最大值为40，最小值为12.
17. 用0，1，2，3，4这5个数字组成无重复数字的五位数.
（1）可以组成多少个五位数?
（2）可以组成多少个能被 2整除的五位数?
（3）将组成的五位数按从小到大的顺序排列，第49个数是多少?
答案：（1）96 （2）60
（3）30124
解析：
思路：（1）先排首位，其他位全排列，即可求解；
（2）个位分为0或2或4三种情况，分类求解；
（3）首先求出首位为1和2的个数，再判断第49个数.
（1）先排首位，有（种）排法，再排其它位，有（种）排法，
根据分步乘法计数原理得，可以组成（个）五位数.
（2）能被2整除的五位数的个位数是0或2或4，若个位数是0，则有个满足题意的五位数；
若个位数是2或4，则先排首位，0不作为首位，则首位有种排法，其余位置有种排法，
此时有个满足题意的五位数.故共有＋（个）满足题意的五位数.
（3）首位数字不能为0，首位数字为1的五位数有（个），首位数字为2的五位数有（个），
此时共有（个）五位数，故第49个数是30124.
18. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可.
（1）当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2）解法一：因为的定义域为，且，
若，则对任意恒成立，
可知在上单调递增，无极值，不合题意；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，
由题意可得：，即，
构建，则，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为；
解法二：因为的定义域为，且，
若有极小值，则有零点，
令，可得，
可知与有交点，则，
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，符合题意，
由题意可得：，即，
构建，
因为则在内单调递增，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为.
19. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）讨论函数的极值；
（3）证明：当时，．
答案：（1）的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）当时，，单调递增，无极值；
②当时，在处取极大值，无极小值．
（3）证明见解析
解析：
思路：（1）先求函数定义域，再用商的导数法则求导，根据导数的正负判断函数的单调递增、递减区间。
（2）先化简目标函数，再求导，根据参数a的取值范围分类讨论导数的符号，判断函数单调性，进而分析函数的极值情况。
（3）先将原不等式等价变形，再利用和的条件进行放缩，将问题转化为证明，通过构造函数并求其最大值来完成证明．
（1）的定义域为，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）令，
则，
①当时，，单调递增，无极值；
②当时，令，解得，
时，，单调递增；时，，单调递减，
所以，在处取极大值，无极小值．
（3）由题意可得，
当时，因为，所以，
先证，
设，
则，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
又因为，
所以，即．
x
1
2
＋
0
－
0
＋
单调递增
13
单调递减
12
单调递增