2025--2026学年云南玉溪第一中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年云南玉溪第一中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2. 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
3. 若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点，则该椭圆的标准方程为
A. B. C. D.
4. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D. 3
5. 如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 若曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 10
8. 若恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线l过点，且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论中正确的是（ ）
A. 直线l与直线的斜率互为相反数B. 直线l与直线的倾斜角互补
C. 直线l在y轴上的截距为D. 这样的直线l有两条
10. 已知椭圆是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若椭圆的焦点在轴上，则
B. 若椭圆的离心率，则或
C. 当且时，的面积为
D. 当时存在点使得
11. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 数列是递减数列B. 当时，最大
C. 使得成立的最小自然数D. 数列中的最小项为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的导函数___________.
13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________.
14. 已知N为抛物线上的任意一点，M为圆上的一点，，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知圆圆心在轴上，且过点两点.
（1）求圆的方程；
（2）设点，以线段为直径的圆与圆交于两点，求线段长度的最小值.
16. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
17. 已知抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与交于，两点，，AB的中垂线经过点.
（1）若过点且垂直于轴的直线与交于M，N两点，求；
（2）求的方程；
（3）记，AB的中点为，外接圆上有一点，求的取值范围.
18. 已知数列的前n项和为，，．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和为；
（3）若对任意恒成立．求实数的取值范围．
19. 已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设点，，若直线与线段没有公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由直线方程可判断直线的斜率和经过的定点，结合题意作图，需使成立，解之即得.
解答过程：由可知直线的斜率为，且经过定点，
由点，可得直线的斜率分别为：，
作图如下，由图知，要使直线与线段没有公共点，
需使，解得.
故选：C.
2. 若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
解答过程：由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
方法提示：本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
3. 若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点，则该椭圆的标准方程为
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：先由题意得到，求出，再由椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为： ，将代入方程，即可求出结果.
解答过程：因为焦距为，所以，即；
又椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆方程为： ，
又椭圆过点，所以，解得，
因此所求椭圆的方程为.
故选D
方法提示：本题主要考查由椭圆的焦距与椭圆所过的点求椭圆方程，熟记椭圆的标准方程，用待定系数法求解即可，属于常考题型.
4. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D. 3
答案：A
解析：
思路：设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
解答过程：设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
5. 如图，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，准线与对称轴交于点M，若，且，则p为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：B
解析：
思路：分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，根据抛物线的定义以及图象可得，结合已知条件求得，即可.
解答过程：如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，
设，则由已知得，由抛物线的定义得，
故，
在直角三角形中，，，
又因为，
则，从而得，
又因为，
所以.
故选：B.
6. 设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据等差数列的性质及等差数列前n项和的性质，逐步化简，即可得到本题答案．
解答过程：由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，
∴＋＝＝＝＝＝＝
故选：C．
7. 若曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 10
答案：D
解析：
思路：根据切线的斜率与切点处导数值的关系，即可求解代入求值.
解答过程：由曲线在点处的切线方程为可知，
设函数，则，则，故曲线在点处的切线斜率为10．
故选：D
8. 若恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：将变形为，通过构造函数，对求导，利用导数与函数的单调性间的关系，得到在区间单调递增，从而得到，进而将恒成立转化成恒成立，也即恒立，构造函数，再对进行求导，求出的单调区间，即可求出结果.
解答过程：易知，，由，
得到，可变形为，
即，
所以恒成立，即恒成立，
令，则，
令，则，
当时，，时，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，即在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增，
又，所以恒成立，也即恒成立，
又，所以恒立，
令，则，
当时，，当时，，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故，所以，
故选：A.
方法提示：关键点晴：将变形为，通过构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，得到恒立，再转化成求函数的最值即可解决问题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线l过点，且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则下列结论中正确的是（ ）
A. 直线l与直线的斜率互为相反数B. 直线l与直线的倾斜角互补
C. 直线l在y轴上的截距为D. 这样的直线l有两条
答案：ABC
解析：
思路：根据题意，得到与的倾斜角互补，斜率互为相反数，故选项A，B均正确；由直线的点斜式方程，可得C选项正确；过定点斜率确定的直线唯一，可判定D选项错误．
解答过程：因为直线与及轴围成一个底边在轴上的等腰三角形，
所以与的倾斜角互补，斜率互为相反数，故选项A，B均正确；
由直线的斜率为2，知直线的斜率为，可得直线的方程为，令，可得在轴上的截距为，故选项C正确；
过且斜率为的直线只有一条，故选项D错误．
故选：ABC
10. 已知椭圆是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若椭圆的焦点在轴上，则
B. 若椭圆的离心率，则或
C. 当且时，的面积为
D. 当时存在点使得
答案：BCD
解析：
思路：根据椭圆的焦点位置，结合椭圆方程及离心率公式判断A、B；由确定椭圆参数，再在焦点三角形中应用椭圆的有界性及余弦定理判断C、D.
解答过程：A：由椭圆方程，若的焦点在轴上，则，故错误；
B：当椭圆焦点在轴上时，，可得，
当椭圆焦点在轴上时，，可得，故正确；
C、D：由题设，则，
当，则，
所以，而，则，
所以，C正确，
当为椭圆上下顶点时，，则，
此时，在中，故最大角可达到，
所以存在点使得，D正确.

故选：BCD
11. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 数列是递减数列B. 当时，最大
C. 使得成立的最小自然数D. 数列中的最小项为
答案：ABD
解析：
思路：由条件分析出，，，求出公差，即可判断A，B；由等差数列的前项和公式求出，即可判断C；分别判断当，，时，的正负，再结合数列的单调性确定最小项，即可判断D.
解答过程：由，可得，
由，可得，即，又因为，所以.
因为数列是等差数列，所以，所以数列是递减数列，
故A正确；
由A知数列是递减数列，且，，所以当时，最大，
故B正确；
由等差数列的前项和公式可知，，
，
所以使得成立的最小自然数，故C错误；
当时，；
当时，；
当时，，
.
因为，所以，
又因为，所以， 所以，
所以，所以在时为增函数，
所以数列中的最小项为，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的导函数___________.
答案：
解析：
思路：利用导函数的乘法公式和复合函数求导法则进行求解
解答过程：
故
13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________.
答案：
解析：
思路：根据投影向量的定义，应用空间向量夹角的坐标运算求夹角余弦值，进而求即可.
解答过程：，
所以向量在向量上的投影向量为.
故
14. 已知N为抛物线上的任意一点，M为圆上的一点，，则的最小值为__________．
答案：
解析：
思路：根据题意画出示意图，由图中几何关系取线段中点，中点，连接，可证得所以，即，可得，即可将转化为，然后根据当、、三点不共线时，，当、、三点共线时，，将问题转化为的最小值即为的最小值，再根据两点间距离公式求出的最小值即可.
解答过程：
根据题意可得抛物线与圆都关于轴对称，且圆的圆心坐标为，半径为.
因为，圆下方与轴交点坐标为，
取线段中点，中点，可得，连接，画出示意图如上图所示.
因为、分别为和的中点，
所以，，所以，
又因为，，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
当且仅当、、三点共线时取到等号，此时点为线段与圆的交点.
所以的最小值即为的最小值.
因为N为抛物线上的任意一点，设，，
因为，
则，
当时，，
即的最小值为.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知圆圆心在轴上，且过点两点.
（1）求圆的方程；
（2）设点，以线段为直径的圆与圆交于两点，求线段长度的最小值.
答案：（1）；
（2）.
解析：
思路：（1）设出圆的方程，利用待定系数法求出方程.
（2）求出线段为直径的圆的方程，进而求出直线的方程，再利用圆的弦长公式建立函数关系并求出最小值.
（1）依题意，设圆的方程为，
由圆过点，得 ，解得，
所以圆的方程为.
（2）由（1）知，圆：的圆心，半径，而点，
以PD为直径的圆的方程为：，整理得，
于是直线EF的方程为：，
点D到直线EF的距离为，，
，函数，
则当，即时，，即当时，，
所以线段EF长度的最小值为
16. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
答案：（1）证明见详解；
（2）；
（3）存在，.
解析：
思路：（1）取中点，连接、，可得四边形为平行四边形，所以，再根据线面平行的判定定理，即可证明；
（2）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，先求得平面和平面的法向量，再结合面面角的向量求法，即可求解；
（3）假设存在点，且，根据空间点到面的距离的向量求法，列出方程，求解即可.
（1）取中点，连接、，
又是的中点，所以，且，
又，，，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）因为平面，平面，平面，
所以，，
又，所以以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
所以，，，，
令平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以平面的法向量为，
令平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以平面的法向量为，
设平面与平面所成角为，
所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为；
（3）设且，则，由（2）可得，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以平面的法向量为，
又，点到平面的距离为，
所以，即，解得，
所以在线段上存在点，使得点到平面的距离为，且.
17. 已知抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与交于，两点，，AB的中垂线经过点.
（1）若过点且垂直于轴的直线与交于M，N两点，求；
（2）求的方程；
（3）记，AB的中点为，外接圆上有一点，求的取值范围.
答案：（1）；
（2）；
（3）.
解析：
思路：（1）求出过且垂直于轴的直线，此直线与抛物线联立方程组求出的值，即可得到的值，根据题中条件求出，从而得到的值；
（2）设，，易知，的斜率存在且不为0.设的方程为，则的中垂线斜率为.联立 ，消去，得到关于的一元二次方程，由判别式大于0，得到的范围，根据根与系数的关系得到和，求出，从而得到的中点坐标，利用点斜式得到的中垂线方程，将代入直线计算得到的值，利用弦长公式求出，利用已知条件得到，从而得到的方程.
（3）写出，，的坐标，，得到的外接圆圆心为的中点，从而得到圆心坐标，利用两点间的距离公式求出半径和圆心到的距离，从而得到的取值范围.
（1）联立，得，，故，
而，故.
（2）设，，易知，的斜率存在且不为0.
设的方程为，则的中垂线斜率为.
联立，可得，
故，即，
且，，则，
故的中点为，
的中垂线方程为，
代入可得，即，
故，
可得，故的方程为.
（3）依题意，，又，则，
故的外接圆圆心为的中点，即，
其半径，
而圆心到的距离.
故的取值范围为.

18. 已知数列的前n项和为，，．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和为；
（3）若对任意恒成立．求实数的取值范围．
答案：（1）证明见解析，；
（2）；
（3）.
解析：
思路：（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式；
（2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求；
（3）将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围.
（1）由，则，又，
所以数列是首项、公差均为的等差数列，则，
所以.
（2）由，则，
所以，
所以.
（3）由（1）（2），则，整理得恒成立，
令，则，
当时，当时，当时，
所以，即的最小值为，
综上，.
19. 已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
答案：（Ⅰ）（i）；（ii）函数g(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)；的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.
解析：
思路：(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；
(ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；
（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.
解答过程：(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
(ii) 依题意，.
从而可得，
整理可得：，
令，解得.
当x变化时，的变化情况如下表：
所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；
g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.
（Ⅱ）证明：由，得.
对任意的，且，令，则
. ①
令.
当x>1时，，
由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即.
因为，，，
所以
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即，
故 ③
由①②③可得.
所以，当时，任意的，且，有
.
方法提示：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
单调递减
极小值
单调递增