云南省玉溪市玉溪一中2025^2026学年高二上学期开学考试数学试题[有解析]

这是一份云南省玉溪市玉溪一中2025^2026学年高二上学期开学考试数学试题[有解析]，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
. . . .
2.已知命题；命题，则（ ）
.和都是真命题 .和都是真命题
.和都是真命题 .和都是真命题
3.如图是某函数的部分图像，则该函数最有可能的解析式是（ ）
.
.
.
.
4.设，若关于的不等式在上有解，则（ ）
. . . .
5.已知函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
. .
. .
6.已知，，则（ ）
. . . .
7.已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
. . . .
8.已知的内角的对边分别为，若为锐角三角形，，且，求面积的取值范围（ ）
. . . .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数在处取得最小值，与此最小值点最近的图象的一个对称中心为，则下列结论正确的是（ ）
.
.将的图象向左平移个单位长度即可得到的图象
.在区间上单调递减
.在区间上的值域为
10.从某次知识竞赛成绩中随机抽取容量为100的样本，由样本数据绘制的频率分布直方图如图所示，则下列估计结论正确的有（ ）
.成绩的众数为75
.成绩的上四分位数为84
.成绩的极差为60
.已知落在的平均成绩是54，方差为2,；
落在的平均成绩为66，方差为5，则两组成绩的总标准差为6
11.已知函数，以下说法正确的是（ ）
.对，，都有
.若，且，则
.若有4个不相等的实根，则的范围是
.函数有4个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.函数的定义域为 .
13.已知平行四边形中，，，.若点满足，点为中点，则 .
14.将半径为2的四个球堆成如图所示的“三角垛”，则由球心构成的四面体的外接球的表面积为 ，若该三角垛能放入一个正四面体容器内，则该容器棱长的最小值为
.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）在中，角的对边分别为，且.
（1）求角；
（2）若外接圆的半径为，求面积的最大值.
16.（15分）如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
17.（15分）随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变.消费层次不断提升，“银发经济”称为社会热门话题之一，被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层抽样调查.已知抽取了年龄在，的老年人500人.年龄在的老年人300人.现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图（如图所示）：

（1）根据频率分布直方图，若每个区间取中点值为代表，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第95百分位数；
（2）已知年龄在的老年人年收入的方差为3，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在的老年人年收入的方差.（请先推导出必要的公式，再代值计算）
18.（17分）已知函数为偶函数.
（1）求函数的解析式；
（2）设，若函数与函数的图象有且仅有一个公共点，求实数的值.
19.（17分）设函数.
（1）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；
（2）解关于的不等式.
答案解析
一、选择题
1.A 解析：∵，解得，∴，又，∴.
2.A 解析：，显然成立，∴是真命题，是假命题.
当时，，∴是真命题，是假命题.
3.D 解析：对于A，函数的定义域为，不符合图象，故A错误；
对于B，，则，在上为增函数，故B错误；
对于C，当时，；当时，，不符合图象，故C错误；排除法，D正确.
4.C 解析：由不等式在上有解，得在上有解，
则，∵，又在上单调递增，
故当时，取最大值为，故.
5.B 解析：当时，，∴外函数是单调递减的指数函数，
此时要使得函数在区间上单调递增，
则满足二次函数在区间上单调递减，
即满足对称轴，解得，结合，可得；
当时，，∴外函数是单调递增的指数函数，
此时要使得函数在区间上单调递增，
则满足二次函数在区间上单调递增，
即满足对称轴，解得，结合，可得；
综上可得的取值范围是或.
6.B 解析：∵，∴，①
∵，∴，②
联立①②解得：，
故.
7.A 解析：设⊙半径为，球的半径为，依题意，得，∴，
∵为等边三角形，由正弦定理得：，
∴，根据球的截面性质平面，
∴，，
∴球的表面积.
8.B 解析：∵在中，，，∴.
又∵为锐角三角形，∴，解得.
又∵，∴由正弦定理可得：，
∴
.
又∵，∴，则，
故，即，
∴面积的取值范围是.
二、选择题
9.ABD 解析：对于A，由题知，设的最小正周期为，
则，∴，∴.
∵，∴，
则，∴，又，∴，
∴，故A正确；
对于B，∵，
∴其图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，故B正确；
对于C，由得，则在区间上不单调，故C错误；
对于D，∵，∴，∴，
∴，故D正确.
10.ABD 解析：由频率分布直方图可知，，
解得.
对于A，由图可以看出众数在区间内，∴众数为，故A正确；
对于B，上四分位数指的是第75百分位数，∵，
而.
∴第75百分位数位于区间内.
设上四分位数为，则，故B正确；
对于C，成绩的极差通过频率分布直方图只能估计，估计极差值为，
故C错误；
对于D，由频率分布直方图可求得的样本数为，
的样本数为.
∴总的平均数为，
总的方差为，
∴总的标准差为6，故D正确.
11.AC 解析：画出函数的图象，如图所示：
对于A，由，可得，
且，可得，
因此对，，都有，故A正确；
对于B，若，且，
可知
，
∴，故B错误；
对于C，若有4个不相等的实根，由图可知，
不妨设，可得关于对称，即，
且，，且，即，
则，
因此可得的范围是，故C正确；
对于D，令，可得或，
显然与的图象仅有3个交点，和与的图象各有1个交点，
即函数有5个零点，故D错误.
三、填空题
12. 解析：根据题意，由，解得且，因此函数的定义域为.
13. 解析：由题意可得：，
，
，
∴
.
14.； 解析：由球心构成的四面体是正四面体，其棱长为4，
将正四面体补形成一个正方体，正方体的棱长为，
正四面体的棱是正方体各面的对角线，如图所示，
则正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即外接球的半径，
外接球的表面积为.
对于正四面体，若边长为，为正四面体外接球球心，是正四面体底面三角形的中心，如图所示，
由于为的中点，∴，
则，，
设外接球的半径为，则，
在中，，解得，∴，
即正四面体的中心到正四面体底面的距离为，
半径均为2的四个球堆成的“三角垛”，由球心构成的四面体，棱长为4，
该三角垛能放入一个正四面体容器内，
则该容器棱长取最小值时，每个小球均与正四面体的切，任意两个小球外切，
设这个正四面体容器棱长为，则有，解得，
则该容器棱长的最小值为.
四、解答题
15.解：（1）由得：，
∴，又，∴，
∴，∵，∴.
（2）由外接圆的半径为，则得，
由余弦定理得，，即，
∴，解得.
∴，故面积的最大值为.
16.解：（1）∵四边形为菱形，∴，
∵平面平面，平面平面，
又正方形中，,∴面，
又面，∴,
∵,平面，∴平面.
（2）过作于，则平面，
过作于，连接，
∵平面，则，
又平面，，故平面，
又平面，∴，故为二面角的平面角，
在中，设，则，，
∴，，，
∴.即二面角的余弦值为.
17.解：（1）根据频率分布直方图，平均数为：
.
由于，
，
故第95百分位数在区间第95百分位数内，设其为.
则，得.
∴第95百分位数为.
（2）先证明一个结论：对，设数据的平均值和方差分别为，
数据的平均值和方差分别为，
则数据,的平均值和方差分别为和.
证明：设数据,的平均值和方差分别为，则

.
∵方差，
故，
，
且，
∴

=
.
这就证明了结论.
本题中，，，，，.
代入数值即知所求方差为：
.
18.解：（1）由为偶函数，，∴，
即，∴，解得.
经检验，当时，满足，符合题意，
因此函数的解析式为.
（2）由题意知有且只有一个实数解，
∴有且只有一个实数解，
令，则关于的方程有且只有一个大于0的解，
即关于的方程有且只有一个大于0的解，
则函数的图象与直线有且只有一个横坐标大于0的公共点，
与函数的图象得，此公共点为，可得.
19.解：（1）不等式对一切实数恒成立，等价于，恒成立.
当时，不等式可化为，不满足题意.
当时，有，即，解得，∴的取值范围是.
（2）依题意，等价于，
当时，不等式可化为，∴不等式的解集为；
当时，不等式为，此时，
∴不等式的解集为；
当时，不等式化为，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为；
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.