2025--2026学年云南玉溪第一中学（北校区）高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年云南玉溪第一中学（北校区）高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 等比数列的公比为，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，若，则|（ ）
A. 2B. C. 3D.
3. 在中，已知，，，则（ ）
A. B. C. 12D. 28
4. 一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为9，则该圆台的体积为（ ）
A. B. 2πC. D. 7π
5. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则（ ）

A. 8B. 4C. D.
7. 规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
8. 设a∈R,b∈R, 若函数mx=a−xlg2x+b+1≤0 ，则（ ）
A. -2B. -1C. 0D. 1
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则圆和圆相离
B. 若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是
C. 若圆和圆外切，则
D. 若圆和圆内切，则
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的周期为
B. 的图像关于直线对称
C. 在区间上单调递减
D. 是的一个对称中心
11. 1688年，笛卡尔根据塔索研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程，则下列选项中正确的是（ ）
A. 笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点
B. 笛卡尔叶形线关于直线对称
C. 当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为
D. 当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______.
13. 函数的最小值为________.
14. 笼子里有6只蝴蝶，每次打开笼子随机地飞出一只蝴蝶，再把飞出的蝴蝶放回笼子，重复3次，记至少飞出一次的蝴蝶的只数为，则数学期望_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，若，求.
16. 海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为.
（1）请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量；
（2）（i）完成上述残差表；
（ii）在统计学中，常用决定系数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，并用它来说明响应变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，计算决定系数，并判断模型的拟合效果.(计算中数据精确到0.01)
(附：残差，决定系数)
17. 在正三棱锥中，平面，垂足为点O，过O作平面与棱，，，交于点D，E，F，G.
（1）求证：E，O，F三点共线；
（2）若四边形为平行四边形，求的值.
18. 已知函数.
（1）求证：；
（2）若函数无零点，求a的取值范围.
19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动点为椭圆外一点，过P作椭圆C的切线，切点分别为M，N，直线OP与椭圆交于A，B两点（点A在PO延长线上）．
（ⅰ）求直线MN的方程；
（ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出此时动点P的轨迹，若不存在，请说明理由．
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 等比数列的公比为，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：利用等比数列通项公式可得：
.
2. 已知向量，，若，则|（ ）
A. 2B. C. 3D.
答案：D
解析：
思路：根据平面向量垂直的坐标运算可得，进而利用向量的线性坐标运算求得的坐标，代入模的运算公式即可求解.
解答过程：因为向量，，且，所以，解得，
所以，所以．
3. 在中，已知，，，则（ ）
A. B. C. 12D. 28
答案：A
解析：
解答过程：由余弦定理，，
所以.
4. 一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为9，则该圆台的体积为（ ）
A. B. 2πC. D. 7π
答案：D
解析：
思路：首先求圆台的高，再代入体积公式，即可求解.
解答过程：设圆台的高为，由题意可知，，得，
圆台的体积.
故选：D
5. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：对于对数函数和指数函数的值比较大小，通常可以利用函数的单调性以及中间值来进行判断.
解答过程：因为，
又因为对数函数在上单调递增，且，
所以，即.
，，由于，，且函数在上单调递增，
所以，即.
综合以上两个比较结果，可得.
故选：A
6. 如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则（ ）

A. 8B. 4C. D.
答案：D
解析：
思路：根据求出直线方程，与抛物线联立求出点横坐标，再根据抛物线定义求解即可.
解答过程：抛物线的焦点.
设，
因为，所以，直线方程为，
与联立整理得，，
即，解得或，
所以点横坐标或，
当时，，不符合题意，舍去.
所以，
所以.
故选：D
7. 规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据，求得的值，即可得到的值，，化简整理，取以10为底的对数，计算即可得到所求最小值．
解答过程：因为过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，
根据题设，得，，可得，所以，，
由，得，
两边取10为底对数，整理得，
，，
因此，至少还需过滤20小时，
故选：B.
8. 设若函数，则（ ）
A. -2B. -1C. 0D. 1
答案：C
解析：
解答过程：由题意可知：的定义域为−b−1，+∞，
令解得；令解得；
则当x∈(−b−1,−b) 时，lg2x+b+10 ，故，所以；
故， 所以.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则圆和圆相离
B. 若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是
C. 若圆和圆外切，则
D. 若圆和圆内切，则
答案：BD
解析：
思路：把圆的方程化成标准方程，明确圆心和半径，借助两圆的位置关系进行判断.
解答过程：圆：，圆心，半径；
圆：，圆心，半径.
对A：当时，，因为故两圆相交，故A错误；
对B：当时，两圆相交，公共弦所在直线方程为：，即，故B正确；
对C：由两圆外切，得，故C错误；
对D：由，故D正确.
故选：BD
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的周期为
B. 的图像关于直线对称
C. 在区间上单调递减
D. 是的一个对称中心
答案：ABC
解析：
思路：先用倍角公式合并，再作出图像，利用图像性质进行判断.
解答过程：，画出函数图像，如图所示：

根据图像得，
函数周期，故A正确；
过最值点和零点的垂线都是对称轴，，
所以的图像关于直线对称，故B正确；
当时，，此时，且单调递减，故C正确.
，则是的一个对称轴，无对称中心，故D错误；
11. 1688年，笛卡尔根据塔索研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程，则下列选项中正确的是（ ）
A. 笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点
B. 笛卡尔叶形线关于直线对称
C. 当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为
D. 当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为4
答案：ABD
解析：
思路：令，计算可判断A；将点代入方程计算可判断B；结合题意根据B，令，得出点坐标计算可判断C；结合基本不等式计算可判断D.
解答过程：对于A，在中，令，得，令，得，
所以笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点，故A正确；
对于B，在中，将点代入可得，
显然方程不变，所以笛卡尔叶形线关于直线对称，故B正确；
对于C，当时，方程，
由B可知，笛卡尔叶形线关于直线对称，
将代入曲线可得，解得，即，
此时点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，，故C错误；
对于D，当时，方程，
由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，
所以，解得，此时，
经检验，点在曲线上，所以的最大值为4，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______.
答案：##
解析：
解答过程：在三棱柱中，，
所以异面直线与所成的角即或其补角，
因为，，所以，
因为，，，平面，平面，
所以平面，又，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，所以，
因为异面直线所成角的范围是，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
13. 函数的最小值为________.
答案：3
解析：
思路：先分离变量，再用均值不等式
解答过程：，，
由均值不等式，
当且仅当，即时等号成立.
14. 笼子里有6只蝴蝶，每次打开笼子随机地飞出一只蝴蝶，再把飞出的蝴蝶放回笼子，重复3次，记至少飞出一次的蝴蝶的只数为，则数学期望_________.
答案：
解析：
思路：确定的可能取值，求得对应概率，即可求解.
解答过程：依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为，
其中：三次飞出同一只蝴蝶，选择蝴蝶的情况有6种，
故PX=1=6216=136，
：恰好两只不同蝴蝶飞出（即一只飞出两次，另一只飞出一次），
选取飞出两次的蝴蝶有6种方式，选取飞出一次的蝴蝶有5种方式，
其中选取飞出一次的蝴蝶的位置有3种可能，故事件的可能情况有种，
故PX=2=90216=1536=512，
：三只不同蝴蝶飞出，
由排列数可知事件的可能情况有种，
故PX=3=120216=2036=59，
所以EX=1×PX=1+2×PX=2+3×PX=3=1×136+2×512+3×59.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前n项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，若，求.
答案：（1）
（2）当为偶数时，；当为奇数时，
解析：
思路：（1）由的关系，通过作差法即可求解；
（2）通过裂项相消法即可求解.
（1）数列中，，
当时，an=Sn−Sn−1=12n2+12n−12(n−1)2−12(n−1)=n ，
而满足上式，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）得，
Pn=−b1b3+2b3b5−3b5b7+⋯+(−1)nnb2n−1b2n+1=k=1n−1kk2k−12k+1，
而，
因此Pn=14[−11−13+13+15+−15−17+⋯+(−1)n12n−1+12n+1] ，
故当为偶数时，；
当为奇数时，.
16. 海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为.
（1）请你估计：当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量；
（2）（i）完成上述残差表；
（ii）在统计学中，常用决定系数来刻画回归效果，越大，模型拟合效果越好，并用它来说明响应变量与解释变量的相关性.你能否利用以上表格中的数据，计算决定系数，并判断模型的拟合效果.(计算中数据精确到0.01)
(附：残差，决定系数)
答案：（1）吨.
（2）残差表见解析；，拟合效果较好.
解析：
思路：（1）先求出平均数，代入经验回归方程即可求出b，从而求解.
（2）（i）根据经验回归方程求解，从而可得；
（ii）根据公式求出决定系数，进而判断.
（1）根据题中数据可知，，
将样本中心点的坐标代入经验回归方程得
，解得，
所以经验回归方程为.
当时，，
即当浇灌海水浓度为8‰时，该品种海水稻的亩产量为吨.
（2）（i）由经验回归方程可得
，；
，；
，；
，；
，.
所以残差表如下：
（ii）由上数据可知，
，
所以决定系数，与1比较接近，
所以拟合效果较好.
17. 在正三棱锥中，平面，垂足为点O，过O作平面与棱，，，交于点D，E，F，G.
（1）求证：E，O，F三点共线；
（2）若四边形为平行四边形，求的值.
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）因为是平面与平面的交线，由平面基本事实即可得E，O，F三点共线；
（2）由线面平行的性质结合条件可得，易得为重心，则，进而可.
（1）因为平面，平面，所以平面.
同理平面，所以平面平面.
又因为平面，平面，所以.
即E，O，F三点共线.
（2）若四边形为平行四边形，则.
又平面，平面，所以平面.
又平面，平面平面，所以.
在正三棱锥中，平面，
则为正三角形的中心，即为重心.
连接并延长交于点Q，则.
由（1）可知，.又，则.
所以.
18. 已知函数.
（1）求证：；
（2）若函数无零点，求a的取值范围.
答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：
思路：（1）求出，讨论其符号后可得函数的单调性，结合原函数的最值可得不等式成立.
（2）分三种情况讨论，当时求出，利用导数可得函数最大值，根据无零点建立不等式求解，当时，可得满足无零点.
（1），
则当时，，当时，，
故在上为增函数，在上减函数，
故即.
（2），故，
当时，在定义域上无零点;
当时，，故，
所以当时，，当时，，
故在上为增函数，在上减函数，
因为函数无零点，故，即；
当时，因为，所以，
即，
所以在定义域上无零点.
综上，的取值范围是.
19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动点为椭圆外一点，过P作椭圆C的切线，切点分别为M，N，直线OP与椭圆交于A，B两点（点A在PO延长线上）．
（ⅰ）求直线MN的方程；
（ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出此时动点P的轨迹，若不存在，请说明理由．
答案：（1）；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，.
解析：
思路：（1）根据给定条件，结合离心率的意义求出即可.
（2）（ⅰ）求出椭圆在其上一点处的切线方程，由在点处切线都过点求出直线方程；（ⅱ）联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式及点到直线距离公式求出面积的函数关系，利用导数求出最大值即可.
（1）由椭圆的离心率为，短轴长为2，得，，
解得，所以椭圆C的方程为.
（2）（ⅰ）设点，
当时，设以点为切点的椭圆的切线方程为，
由消去得，，
，
，则，切线方程为，
又，整理得，当时，切线方程为，满足上式，
因此以点为切点的椭圆的切线方程为，
同理以点为切点的椭圆的切线方程为，
而点在上述两条切线上，即，，
于是点的坐标是方程的两个解，
所以直线的方程为.
（ⅱ）由消去得，
，当时，，
，当时，满足上式，
显然关于原点对称，则，即，
则，解得，点到直线的距离，
当时，
，当时，满足上式，
因此，的面积
，令函数，
求导得，当时，；
当时，，函数在上递增，在上递减，
，则当时，，，
所以的面积存在最大值，此时动点P的轨迹为.
海水浓度（‰）
3
4
5
6
7
亩产量 (吨)
0.62
0.58
0.49
0.4
0.31
残差





海水浓度（‰）
3
4
5
6
7
亩产量 (吨)
0.62
0.58
0.49
0.4
0.31
残差





海水浓度（‰）
3
4
5
6
7
亩产量 (吨)
0.62
0.58
0.49
0.4
0.31
残差