新高考物理二轮复习易错重难点讲与练易错03 力与曲线运动（6易错点错因剖析）（2份，原卷版+解析版）

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易错点1 小船渡河混淆 “船头方向” 与 “实际运动方向”
易错典题
【例1】025·江苏省通州高级中学二模）如图所示，一条小船渡河，河宽为，河水流速，船在静水中速度，船头方向与河岸垂直，关于小船的运动，下列说法正确的是( )
A.小船的实际运动轨迹与河岸垂直
B.小船相对于河岸的速度大小为
C.小船过河后航行到了河对岸下游处
D.若小船行驶到河中央时，水流急速加快，则运动时间也会随之变短
【错因分析】混淆 “船头方向” 与 “实际运动方向”，误将船头垂直河岸等同于实际轨迹垂直河岸，忽略水流的漂流运动，导致轨迹判断错误；
合速度计算失误，未按平行四边形定则合成垂直河岸与沿河岸的分速度，直接代数相加求合速度大小；误以为水流速变化会影响渡河时间，忽略 “渡河时间仅由垂直河岸的分速度决定”，水流速仅影响沿河岸的偏移距离，不改变垂直方向运动时间
答案：C
解析：A.小船参与了两个运动，一个是垂直于河岸的运动，另一个是顺水漂流，因此小船的运动应该是这两个运动的合运动，斜向河的下滶，A错误；
B.小船相对于河岸的速度应该是两个分速度的合速度，大小为B错误；
C.小船的过河时间到对岸后向下游移动的距离C正确：
D.若小船行驶到河中央时，水流急速加快，只会影响沿河方向的速度，不会影响在垂直河岸方向的速度，因此不会影响过河时间，D错误。
故选C。
避错攻略
【知识链接】 1.小船渡河模型中的合运动与分运动
2.求解小船渡河问题思路
举一反三
【变式1-1】（2025·广东珠海实验中学模拟） 2025月24日，“世荣兆业杯”2025年广东省龙舟公开赛暨斗门龙舟邀请赛在珠海斗门黄杨河圆满落下帷幕。超1.6万名观众齐聚河畔，共同见证这场传统龙舟赛事的激情与魅力。。假设一只小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后到达对岸下游处；若船头保持与河岸成角向上游航行，出发后到达正对岸。以下说法正确的是（ ）
A．水流的速度大小为
B．船头与河岸间的夹角为
C．小船在静水中的速度大小为
D．河的宽度为
【答案】AD
【解析】船的航行方向即船头指向，是分运动；船的运动方向是船的实际运动方向，是合运动，船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示。由，得水流的速度大小为，选项A正确；B船头保持与河岸成角航行时，如图乙所示，
由图甲可得，联立解得船头与河岸间的夹角为，，，选项BC错误，D正确。
2.（2025山东省实验中学sak中)某次英雄小伙子救人的过程，可用下图去描述：落水孩童抓住绳索停在A处，对面河岸上的小伙子从B处沿直线匀速游到A处，成功把人救起。河宽和间距如图中标注，假定河水在各处的流速均为，则（ ）
A. 小伙子如果面对垂直于河岸的方向游，是不可能到达A点的
B. 小伙子渡河的时间为8s
C. 小伙子在静水中游泳的速度至少应为，才能成功把人救起
D. 只有小伙子总面对着A处游，才可能把人救起
【答案】C
【解析】由题可知，设小伙子在静水中的游泳的速度为，小伙子的合运动方向是从B到A，作出小伙子游泳时合速度与两个分速度的关系，如图所示
当与合速度垂直时有最小值，设AB与河岸的夹角为，根据几何关系有
解得，即游泳时小伙子面对的方向是与合速度方向垂直，此时最小的速度为
C正确；小伙子如果面对垂直于河岸的方向游，当相对于静水的速度
恰好到达A点。A错误；只有小伙子在静水中速度垂直于河岸时，小伙子渡河的时间为
小伙子在静水中的速度不与河岸垂直时，小伙子渡河的时间不等于8s。
B错误；若小伙子总面对着A处游，且速度一定时，由于两个匀速直线运动的合运动仍然为匀速直线运动，可知，其轨迹为一条直线，根据运动的合成可知，此时其合速度方向指向A点右侧，即到达不了A处，D错误。
【变式1-3】(2025山西省太原市尖草坪区第一中学校模拟）如图所示，老师组织物理兴趣小组同学到游乐园一段两岸平行、宽度为的河面上驾驶电动小游船进行学习体验游戏，水流的速度为，其大小可以通过闸门调节；游船在静水中的速度为，其方向决定于船头的朝向。游戏时，小组同学驾驶小游船从河的一边渡到河对岸，，。求：
（1）若，，则当小游船过河时间最短时，其运动轨迹与河岸夹角及经过的距离为多少？
（2）若，，则当小游船过河距离最短时，其船头朝向与河岸的夹角及过河时间为多少？
（3）若，，则当小游船过河距离最短时，其过河通过的最短距离为多少？
【答案】（1），100m；（2），20s；（3）100m
【解析】（1）船头的指向垂直于河岸方向时，过河时间最短，即分速度的方向垂直于河岸，水流速度为，速度矢量图如图甲所示。
由图甲可求轨迹与河岸夹角，有
得
过河经过的距离为
（2）小游船的实际速度即合速度v垂直于河岸时，过河距离最短，速度矢量图如图乙所示。由图可知，船头的指向即的方向指向上游方向与河岸夹角，有
得
过河时间为
由图可得
联立解得
（3）由于小于，只有当合速度v的方向与河岸夹角最大，即与c的方向垂直时，过河距离最小，速度矢量图如图内所示。根据几何关系有
得
所以最短距离为
易错点2 不会运用 “逆向思维” 将斜抛运动等效为平抛运动
易错典题
)【例2】（2025·江苏省通州高级中学学业水平合格考二模)如图所示，在某次罚球过程中，运动员先后两次以速度投球，方向与竖直方向间的夹角分别为α、β。两次投球的位置在同一竖直线上，篮球均垂直撞到竖直篮板上的同一位置C，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A.α可能小于β
B.大小可能相等
C.篮球两次运动时间可能相等
D.与篮板碰撞前瞬间，篮球动能可能相等
【错因分析】不会运用 “逆向思维” 将斜抛运动等效为平抛运动，直接正向分析导致无法建立高度、时间与速度分量的关系；
误判速度与夹角的关系，认为夹角 α、β 的大小直接决定初速度大小，忽略水平分速度与竖直分速度的合成逻辑，导致 A 选项判断错误；
忽略 “垂直撞篮板” 意味着撞板时水平分速度不变、竖直分速度反向，误将竖直方向运动当作匀速，导致运动时间和动能判断错误
答案：B
解析：将篮球的运动反向看成平抛运动，由图可知，第一次运动过程中的运动高度较小，所以运动时间较短。两次运动在水平方向做匀速直线运动，水平距离相等，但第一次用的时间较短，故第一次水平分速度较大，即篮球第一次与篮板碰撞前的速度较大，动能较大，选项C、D错误。运用逆向思维，篮球在竖直方向上做自由落体运动，由图可知，第一次速度的竖直分量较小，水平分量较大，有，同理，可见，第一次抛出时速度的竖直分量较小，水平分量较大，第二次抛出时速度的竖直分量较大，水平分量较小，所以的大小可能相等，选项A错误，B正确。
避错攻略
【知识链接】逆向思维法处理斜抛运动
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动；分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题
举一反三
【变式2-1】(2025·辽宁·三模）如图所示，辽篮某球员在比赛中进行投篮。已知A、B、C是篮球运动轨迹中的三个点，其中A为球抛出点，B为球运动轨迹的最高点，C为球落入篮框的点，且A、B连线垂直于B、C连线，A、B连线与水平方向的夹角为，不计空气阻力。则篮球从A到B与从B到C的运动时间之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】将篮球从A到B运动的逆过程与从B到C运动的过程看作两个平抛运动，将AB过程沿水平和竖直方向分解，如图所示
水平方向则有
竖直方向则有
由几何知识可得
解得
同理可得
故
根据数学知识，
解得
则
故
故选B。
【变式2-2】（2025·重庆·三模）用题图甲所示的足球发球机在球门正前方的、两个相同高度的位置发射同一足球，情景如题图乙所示，两次足球都水平击中球门横梁上的同一点，不计空气阻力。则（ ）
A．两次击中横梁的速度相同
B．足球两次运动的速度变化量相同
C．从位置发射的足球初速度较大
D．从位置发射的足球在空中的运动时间长
【答案】B
【详解】A．将足球发射到水平击中球门横梁，看成逆向的平抛运动，根据平抛运动规律有，
解得
由于两次的水平位移不相等，高度相等，所以两次的水平分速度不相等，即两次击中横梁的速度不相同，故A错误；
BD．根据，由于两次足球在空中的高度相等，所以两次足球在空中的运动时间相等，再根据，则足球两次运动的速度变化量相同，故B正确，D错误；
C．足球发射的初速度大小为，由于两次高度相等，所以两次足球发射的初速度竖直分量相等，由于从B位置发射的足球水平位移较小，则从B位置发射的足球水平分速度较小，从B位置发射的足球初速度较小，故C错误。
故选B。
【变式2-3】(2025广东省肇庆市高三一模）如图甲为一种名为“喊泉”的游乐设施，游客对着池边的话筒大声呼喊时，水池中的喷口就会有水倾斜喷出（可认为水恰好从水面喷出）。如图乙，某次呼喊时，水柱在空中的射高为11.25 m，已知喷口与水面的夹角为45°，重力加速度取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A. 在最高点的水的速率不为零
B. 在最高点的水的重力的瞬时功率不为零
C. 水在空中运动时先超重后失重
D. 水柱的水平射程为22.5 m
【答案】A
【解析】水喷出后做的是斜抛运动，竖直方向上做竖直上抛运动，由
可求得从射出到最高点的过程用时1.5 s，射出时水在竖直方向的分速度大小
水在水平方向做匀速直线运动，在水平方向的分速度大小
水在最高点时竖直方向的分速度变为0，只有水平方向的分速度15 m/s，A正确；
在最高点时速度沿水平方向，与重力方向垂直，其重力的瞬时功率为零，B错误；
水在空中的加速度一直向下，所以一直处于失重状态，C错误；根据斜抛运动的对称性可知，水柱在空中的运动时间为3 s，所以水平射程为，D错误
易错点3 不会分析落点有约束条件的平抛运动
易错典题
【例3】（不判断落点的临界点而出现错误）（原创）一乘雪橇的滑雪运动员滑雪进行训练，从高为ℎ=5m跳台边缘处以不同的初速度水平滑出。
已知斜面有倾角为450 ，重力加速度取g＝10m/s2．
由于水平初速度过大，滑雪运动员沿虚线运动落到水平面。落点到斜面底端的距离与台高相等，求滑雪运动员着地时速度方向与水平方向间的夹角；
当水平初速度为v=3m/s时，求滑雪运动员着地时速度大小。
【错因分析】忽略这一临界条件的判断，盲目认为运动落在水平面上而出现错误
【答案】（1） 102m/s，450 ；（2）35m/s
【解析】(1)落点到斜面底端的距离与台高相等，所以滑雪运动员沿虚线运动的水平位移是恰好落在实线的斜面底端的二倍，落地的时间由高度决定，两次运动的时间相等，由水平方向上有可知，运动员沿虚线运动的水平速度v1=10m/s
vy=gt=10m/s
则有：v=v12+vy2=102m/s
得：θ=45°
（2）当水平初速度为v=3m/s时，不知运动员是落在水平面上还是落在斜面上，先求出恰好落在实线的斜面底端时的水平速度。设运动员以初速度v0水平滑出时恰好落在实线的斜面底端。（易错运动员由到做平抛运动，水平方向上有
竖直方向上有
又有yx=tan450
联立解得v0=5m/s
因初速度为v=3m/shAD（点拔：隐含已知两次的位移，分解可求出水平和和竖直位移）
且有hAC=，hAD=
可得t1>t2，故B错误；设AC和AD在水平方向上的长度分别为xAC和xAD，则有xAC＜xAD ，xAC=v1t1 xAD=v2t2，可得v1＜v2，故A正确；
连接OD，如图所乙示，

设∠DOB=θ，则有Rsinθ= ，R＋Rcsθ=v2t2
可得
若速度方向垂直于圆弧，则速度方向与水平方向的夹角也为θ，则有（点拔：利用反证法）
则有
整理得csθ=1，即θ=
这说明小球从A点抛出后速度方向没有发生过改变，显然这是不可能的，所以小球落到D点时，速度方向不可能垂直于圆弧，故C错误；
小球落到C点时，设小球的位移偏转角为α，即AC与水平方向的夹角为α，则有
，可得α=45°
根据平抛运动规律，设小球的速度偏转角为β，即小球落到C点时速度方向与水平方向的夹角为β，满足tanβ=2tanα=2
说明β一定大于45°，则速度与水平方向的夹角一定大于45°，故D正确。
易错点4 不会分析抛体运动中的对称问题或临界问题
易错典题
【例4】（2025.·安徽省合肥市合肥皖智高级中学高三第二次阶段性检测）如图1为一个网球场的示意图，一个网球发球机固定在底角处，可以将网球沿平行于地面的各个方向发出，发球点距地面高为1.8m，球网高1m。图2为对应的俯视图，其中，。按照规则，网球发出后不触网且落在对面阴影区域（包含虚线）内为有效发球。图中虚线为球场的等分线，则发球机有效发球时发出网球的最小速率为（忽略一切阻力 重力加速度g=10m/s2）（ ）
A. B. C. D.
【错因分析】误认为发球机有效发球时发出网球的最小速率在中点的边界上，而正确是在球应恰好到达有效区域的边缘。
【答案】 A
【解析】当发球机有效发球且发出网球的速率最小时，球应恰好到达有效区域的边缘，如图所示
网球从A点发出后落在C点。网球从A点发出后，在竖直方向做自由落体运动，有
，解得
若网球恰不触网，则有
解得
网球在水平方向上做匀速直线运动，即
因与为相似三角形，则有
因、，可得，
则发球机有效发球时发出网球的最小速率为，A项正确
避错攻略
【知识链接】】1.临界点的确定
（1）若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点.
（2）若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点.
（3）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点.
2.求解平抛运动临界问题的一般思路
（1）找出临界状态对应的临界条件.
（2）分解速度或位移.
（3）若有必要，画出临界轨迹.
举一反三
【变式4-1】 （2025·甘肃白银·三模）2025年2月28日，2025年全国青少年网球积分排名赛（广州南沙站）在广州南沙国际网球中心收拍。若在某次网球比赛中，某运动员在O点击球，网球沿水平方向飞出，第一次网球落在己方场地上B点后弹跳起来，刚好擦网而过，落在对方场地的A点处，第二次网球沿水平方向飞出，直接擦网而过，恰好落在A点，如图所示。已知网球与水平场地的碰撞是弹性碰撞，不计网球与场地的碰撞时间，忽略空气阻力，则（ ）
A．网球第一次和第二次飞出的水平速度之比为1∶3
B．从O到A，网球第一次和第二次运动的时间之比为1∶3
C．网球两次到达A点时重力的瞬时功率不相等
D．运动员击球点离地的高度与网的高度之比为4∶3
【答案】AD
【详解】AB．两球被击出后都做平抛运动，据平抛运动的规律知，两球被击至各自第一次落地的时间是相等的。从O到A，网球第一次和第二次运动的时间之比为1∶3，由题意结合图可知，两球从击出至第一次落地的水平射程之比为
则网球两次飞出时的初速度之比
故A正确，B错误；
C．第一次和第二次网球到达A点时，有相同的竖直分速度，根据
可知网球两次到达A点时重力的瞬时功率相同，故C错误；
D．令抛出点到地面的距离为H，网高为h

由图可知第一个球落地后反弹做斜抛运动，据运动的对称性可知，DB段的逆过程和OB段是相同的平抛运动，则两只球下落相同高度后，水平距离
根据、、
可得
又
则
又有、
则
解得
故D正确。
故选AD。
【变式4-2】（2025·甘肃省民乐县第一中学高三第一次诊断考)如图所示，每一级台阶的高度，宽度，将一小球从最上面台阶的边沿以某初速度水平抛出。取重力加速度大小，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A. 若小球的初速度大小为，则小球落在台阶1上
B. 若小球的初速度大小为，则小球落在台阶1上
C. 若小球落在台阶3上，则小球的初速度大小可能为
D. 若小球落在台阶3上，则小球的初速度大小可能为
【答案】AC
【解析】根据平抛运动的规律，若小球落在台阶1的最右边，则有，
解得,落在台阶1上，（
速度小于2m/s，选项A正确、B错误；
若小球恰好落到台阶2的右边沿，则有
解得，,解得
若小球恰好落到台阶3的右边沿，则有
解得，,解得（点拔：假设法求解临界状态再判断）故小球的初速度大于且小于或等于时，才可能落在台阶3上，选项C正确、D错误。
【变式4-3】 （2025·山东省济南市高三开学统考)如图所示，排球场地长为，中间球网高度为。某次比赛中，甲同学在右侧球场距离中间球网线处跳起，在距离地面高处将球水平击出，球的初速度与右侧边界线垂直，不计空气阻力，取重力加速度，
（1）要保证排球落在对方球场内，球的初速度大小需满足的范围；
（2）若球的初速度大小为，乙同学在离地处将排球热起，热起前、后球的速度大小相等，方向相反。已知排球质量，因垫起过程时问很短，重力的冲量可以忽略，求甲、乙两同学之间的水平距离以及接球过程中乙同学对排球作用力的冲量大小。

【答案】（1）；（2），
【解析】（1）刚好不出左侧边界（易错：考虑不周全，只求这个速度得出结论）
竖直方向，解得
刚好不擦网（易错：忽略这个最小速度误认为最小速度大于零）
竖直方向，解得
初速度范围。
（2）初速度为时，，
解得
竖直方向速度，合速度
根据，解得
易错点5 不会分析水平圆周运动中的临界问题
易错典题
【例5】（2025·山东省济南市期10月校级联考）如图所示，相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上。当圆盘绕中心轴转动时，a、b始终相对圆盘静止。已知a、b到圆心的距离之比为。下列关于a、b所受的摩擦力f大小随圆盘角速度的平方的变化关系图像可能正确的是（ ）

A. B.
C. D.
；
【错因分析】不知道最大静摩擦力提供向心力是静摩擦力突变的临界条件；不知道拉力为零的临界角速度）
【答案】BC
【解析】设，当绳子没有拉力时，静摩擦力提供向心力

最大静摩擦力为（解得绳子没有拉力时圆盘的最大角速度：可知当，a、b所受的摩擦力f大小随圆盘角速度的平方成正比，（点拔：拉力为零，静摩擦力提供向心力）
当，对物块b根据牛顿第二定律有
可知当时物块b的摩擦力等于最大静摩擦力，大小不变，
当物块a的摩擦力为零时有 ，解得（易错：不知道摩擦力为零的临界角速度）
当时，对物块a、b根据牛顿第二定律有（点拔：耱出两种情况的临界角速度后，再分区间讨论）
，可得
可知当，随着角速度的增大，绳子拉力逐渐增大，物块a的静摩擦力逐渐减小，
当时，对物块a、b根据牛顿第二定律有
，可得
可知当，随着角速度的增大，绳子拉力逐渐增大，物块a的静摩擦力逐渐增大。故B、C的图象符合要求。
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【知识链接】1．常见的临界情况
(1)水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间恰好达到最大静摩擦力．
(2)物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(3)绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直意味着绳上无弹力；绳上拉力恰好为最大承受力等．
2．分析方法
分析圆周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态．确定了物体运动的临界状态和临界条件后，选择研究对象进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解．
举一反三
【变式5-1】 （2025·甘肃省民乐县第一中学第一次诊断考试） 如图所示，叠放在水平转台上的物体 A、B及物体 C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C 的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A 和B、C离转台中心的距离分别为r和1.5r。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A. B对A的摩擦力一定为3μmg
B. B对A的摩擦力一定为3mω2r
C. 转台的角速度需要满足
D. 若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是A物体
【答案】B
【解析】由于物体 A、B及物体 C能随转台一起匀速转动，则三个物体受到的均为静摩擦力，则B对A的摩擦力有（易错：误认为静摩擦力大小与角速度无关）由于角速度大小不确定，B对A的摩擦力不一定达到最大静摩擦力3μmg，物体做匀速圆周运动，由静摩擦力提供向心力，则
A错误，B正确；若物体A达到最大静摩擦力，则，解得（点拔：A物体受到的静摩擦力达到最大时，A相对B刚好滑动）
若转台对物体B达到最大静摩擦力，对AB整体有（点拔：B物体受到的静摩擦力达到最大时，A相对转台刚好滑动）
解得；若物体C达到最大静摩擦力，则，解得；可知，由于物体 A、B及物体 C均随转台一起匀速转动，则转台的角速度需要满足，该分析表明，当角速度逐渐增大时，物体C所受摩擦力先达到最大静摩擦力，即若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是C物体，C、D错误。
【变式5-2】（2025·湖南省长沙市雅礼中学月考）如图，水平圆盘上放置一个质量为m的小物块，物块通过长为L的轻绳连接到竖直转轴上的定点O，此时轻绳恰好伸直，与转轴成角。现使整个装置绕转轴缓慢加速转动（轻绳不会绕到转轴上），角速度从零开始缓慢增加，直到物块刚好要脱离圆盘。已知物块与圆盘间动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，，。则轻绳的弹力大小和物块受到的摩擦力大小随变化的图像正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】较小时，绳子无弹力，静摩擦力提供向心力，有
当达到最大静摩擦力时，解得
此时绳子刚好开始产生弹力 （易错：注意产生绳子拉力的临界条件是物块刚好达到最大静摩擦力）
继续增大角速度，轻绳弹力增大，静摩擦力减小，最终物块刚好要脱离圆盘，此时摩擦力为0，（易错：注意物块思铂睿好脱离圆盘的临界条件是物块受到的摩擦力为零）
有 ，解得
此时 ，故选项A、D正确。
【变式5-3】（2025·吉林省长春市东北师范大学附属中学一模）如图所示，一根长为的轻质细线，一端系着一个质量为的小球（可视为质点）另一端固定在光滑圆锥体顶端，圆锥顶角的一半（，），g取。求：
（1）整个系统静止时，小球受到绳子的拉力与圆锥体支持力的大小；
（2）当小球随圆锥体围绕其中心轴线一起做匀速圆周运动，小球与圆锥体接触但是支持力为零时，小球的角速度、以及受到绳子的拉力的大小。

【答案】（1），；（2），
【解析】（1）整个系统静止时，小球受力平衡，设绳子对小球的拉力为T，圆锥体对小球的支持力为N，如图：

由平衡条件得，，解得，
（2）小球与圆锥体接触但是支持力为零时，有（易错：注意小球与圆锥体刚好分离的临蜀条件是支持力为零）
受力如图：

有，
解得，
易错点6 混淆两种竖直平面内的圆周运动模型
易错典题
【例6】如图所示，我国男子体操运动员用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动已知运动员的质量为m，重心到手支撑点的距离为L，运动员在竖直面内做圆周运动且刚好能通过最高点，重力加速度为g，下列说法错误的是（ ）
A. 运动员在最高点时速度为0
B. 运动员在最高点时向心力为0
C. 若运动员在最低点速度变大，则他对单杠的作用力可能减小
D. 若运动员在最高点速度变大，则他对单杠的作用力可能增大，也可能减小
【错因分析】求解此题常见的错误是把男子体操运动员当成了“绳线”模型
【答案】C
【解析】运动员在竖直面内做圆周运动且刚好能通过最高点，此时运动员的重力和单杠对他的支持力平衡，则在最高点时速度为0，向心力为0，故A错误，B正确；运动员在最低点时，向心力，即
解得单杠对他的作用力
可知，当运动员在最低点速度变大时，单杠对他的作用力增大，根据牛顿第三定律可知，他对单杠的作用力增大，故C错误；若运动员最高点，恰好由重力提供向心力，即
，解得此时运动员的速度
当时，有，速度v增大，F减小；当时，
速度v增大，F增大，故D正确。
确。
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【知识链接】
竖直面内圆周运动的两类模型
2.解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程；
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两位置间的速度关系；
(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。
举一反三
【变式6-1】 .(2025广东广州实验中学第一次模拟） 如图小球A在竖直平面内做圆周运动，恰能过最高点，不计任何阻力，从某次经过最高点开始计时，转过的角度记为。下列能正确反映轻绳的拉力F或小球速度大小v变化的图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】小球A在竖直平面内做圆周运动，恰能过最高点，有
解得，从某次经过最高点开始计时，初始的速度不为0，且小球A向下运动的的过程中，重力做正功，速度增大，CD错误；小球A在竖直平面内做圆周运动，有
与成正比，而是轻绳的拉力F与小球重力沿绳子方向分量的矢量和，则轻绳的拉力F与不成正比关系，B错误；小球A恰能过最高点，则最高点重力提供向心力，轻绳的拉力F=0，运动到最低点时速度最大，向心力最大，此时有
解得最低点时向心力最大，轻绳的拉力F达到最大值；运动一周即转过后小球回到最高点，轻绳的拉力F=0，A正确。
【变式6-2】 （２０２5湖北楚才高中模拟）如图所示，在倾角为α=30°的光滑斜面上有一长L=0.8m的轻杆，杆一端固定在O点，可绕O点自由转动，另一端系一质量为m=0.05kg的小球，小球在斜面上做圆周运动，g取10m/s2。要使小球能到达最高点A，则小球在最低点B的最小速度是（ ）
A. 4m/sB. 2m/s
C. 2m/sD. 2m/s
【答案】A
【解题思路】小球恰好到达A点时的速度大小为vA=0，此时对应B点的速度最小，设为vB
对小球从A到B的运动过程，由动能定理有
解得，故选项A正确。
【变式6-3】（ 如图所示为风靡小朋友界的风火轮赛车竞速轨道的部分示意图。一质量为的赛车（视为质点）从A处出发，以速率驶过半径的凸形桥B的顶端，经CD段直线加速后从D点进入半径为的竖直圆轨道，并以某速度v2驶过圆轨的最高点E，此时赛车对轨道的作用力恰好为零。重力加速度g取10m/s2，试计算：
（1）赛车在B点受到轨道支持力的大小；
（2）若赛车以2v2的速率经过E点，求轨道受到来自赛车的弹力。
【答案】（1）4.95N；（2）15N，方向竖直向上。
【解析】（1）根据牛顿第二定律，B处的赛车满足
即赛车在B点受到的支持力为
（2）赛车以某速度v2驶过圆轨的最高点E时，对轨道的作用力恰好为零，根据牛顿第二定律
即赛车的速率为
显然以过E点时，会受到轨道对其指向圆心的压力，故根据牛顿第二定律，E处的赛车满足
即
根据牛顿第三定律，赛车对轨道的弹力
方向竖直向上。
1.（2025·四川德阳·模拟预测）如图所示，消防员正在宽度为d=100m，河水流速为 的河流中进行水上救援演练，可视为质点的冲锋舟距离下游危险区的距离为x=75m，其在静水中的速度为v2，则（ ）
A．若冲锋舟以在静水中的初速度为零，船头垂直于岸的加速度为a=0.9m/s²匀加速冲向对岸，则能安全到达对岸
B．为了使冲锋舟能安全到达河对岸，冲锋舟在静水中的速度v2不得小于3m/s
C．若冲锋舟船头与河岸夹角为30°斜向上游且以速度 匀速航行，则恰能到达正对岸
D．冲锋舟匀速航行恰能安全到达对岸所用的时间t=25s
【答案】A
【详解】A．冲锋舟的运动分解为沿船头与沿水流两个方向，有
解得
沿水流方向的位移为
能安全到达对岸。故A正确；
BD．冲锋舟沿OP方向匀速航行恰能安全到达对岸，如图所示
设冲锋舟的合速度与水流速度夹角为，则冲锋舟在静水中的速度至少应为
由几何知识，可得
联立，解得
由图可知
冲锋舟以最小速度匀速航行恰能安全到达对岸所用的时间为
故BD错误；
C．若冲锋舟船头与河岸夹角为30°斜向上游且以速度 匀速航行，则有
可知冲锋舟的合速度不指向正对岸，所以不能到达正对岸。故C错误。
故选A。
2．（2025·辽宁·模拟预测）解放军某部在某次登岛演习过程中，要渡过一条宽度为d的小河。现有甲、乙两个战斗小组分别乘两只小船渡河，船头朝向如图所示，渡河时两小船船头与河岸夹角都是θ角，两船在静水中的速率都为v，水流速率为v0，此时甲船恰好能到小河正对岸的A点，则（ ）
A．甲船渡河时间为
B．乙船比甲船更早到达对岸
C．靠岸时两船间距增大了
D．如果河水流速增大，甲船不改变船头方向也能到达A点
【答案】C
【详解】AB．将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，根据分运动和合运动具有等时性，可知甲、乙两船到达对岸的时间均为
故两船同时到达对岸，故AB错误；
C．靠岸时两船间距增大了
故C正确；
D．水流速率为v0，此时甲船恰好能到小河正对岸的A点，则
故如果河水流速增大，要使甲船到达A点，小船船头与河岸夹角应减小，故D错误。
故选C。
3．（2025·广东清远·一模）一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图所示。已知：船在静水中行驶的速度为v1 ，水流速度为 v2，河宽为d。则下列判断正确的是（ ）
A．船渡河时间为
B．船渡河时间为
C．船渡河过程被冲到下游的距离为
D．船渡河过程被冲到下游的距离为
【答案】C
【详解】AB．船渡河时间为
选项AB错误；
CD．船渡河过程被冲到下游的距离为
选项C正确，D错误；
故选C。
4.（2025·海南·三模）如图所示，将质量为m的小球从倾角为的斜面顶端以速度沿水平方向抛出，忽略空气阻力，斜面足够长。已知重力加速度为g，对于小球落到斜面前的运动，以下说法正确的是（ ）
A．小球的速度与斜面平行时最小
B．小球的速度变化越来越快
C．小球从抛出到落在斜面上所用时间为
D．经时间，小球动能为
【答案】C
【详解】A．小球落到斜面前的运动为平抛运动，速度一直在增大，所以刚抛出时的速度最小，故A错误；
B．小球在空中的加速度为重力加速度，所以小球的速度变化快慢恒定不变，故B错误；
C．小球从抛出到落在斜面上，有
解得所用时间为
故C正确；
D．经时间，小球的竖直分速度为
则此时小球动能为
故D错误。
故选C。
5.（2025.·山东省济南市高三一模）如图所示，弹珠发射器（可视为质点）固定于足够高的支架顶端，支架沿着与竖直墙壁平行的方向以速度v1水平运动，同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对发射器速度大小为v2（v2>v1）的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为x，竖直方向位移为y。已知发射器到墙壁的垂直距离为L，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A. x的最小值为B. x的最小值为
C. y的最小值为D. y的最小值为
【答案】C
【解析】 弹珠在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，当v2垂直竖直墙壁射出时，弹珠运动时间最短
y的最小值为，C项正确，D项错误；由于
则弹珠水平方向的合速度可以垂直竖直墙壁，合速度大小为
此时x的最小值为L，A、B项错误。
6.小明家建造坯房时窗户开口竖直高度H=2.25m，已知墙壁的厚度d=0.35m。小明在离墙壁距离L=1.4m，距窗子上沿高h=0.2m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，取g=10m/s2，则v的取值范围约为（ ）
A．v>2m/sB．v>2.5m/s
C．2m/s