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新高考物理二轮复习讲与练专题1.3 力与曲线运动（讲）（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份新高考物理二轮复习讲与练专题1.3 力与曲线运动（讲）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考物理二轮复习讲与练专题13力与曲线运动讲原卷版doc、新高考物理二轮复习讲与练专题13力与曲线运动讲解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
一、考情分析
二、思维导图
三、讲知识
一、曲线运动
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．
2．运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．
3．曲线运动的条件：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上．
二、运动的合成与分解
1．运算法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动和分运动的关系
(1)等时性：合运动与分运动经历的时间相等．
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响．
(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果．
三、平抛运动
1．性质：平抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
2．规律：以抛出点为原点，以水平方向(初速度v0方向)为x轴，以竖直向下的方向为y轴建立平面直角坐标系，则
(1)水平方向：做匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t.
(2)竖直方向：做自由落体运动，速度：vy＝gt，位移：y＝eq \f(1,2)gt2.
(3)合运动
①合速度：v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))，方向与水平方向夹角为θ，则tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0).
②合位移：x合＝eq \r(x2＋y2)，方向与水平方向夹角为α，则tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0).
二、斜抛运动
1．性质
加速度为g的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线．
2．规律(以斜向上抛为例说明，如图所示)
(1)水平方向：做匀速直线运动，vx＝v0cs θ.
(2)竖直方向：做竖直上抛运动，vy＝v0sin θ－gt.
三、匀速圆周运动和非匀速圆周运动的比较
四、竖直平面内圆周运动的“轻杆、轻绳”模型
1．模型特点
在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接、小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”．
2．模型分析
绳、杆模型常涉及临界问题，分析如下：
四、讲重点
重点1 曲线运动和运动的合成与分解
曲线运动
1．曲线运动的理解
(1)曲线运动是变速运动，速度方向沿切线方向；
(2)合力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在速度方向与合力方向之间，合力的方向指向曲线的“凹”侧．
2．曲线运动的分析
(1)物体的实际运动是合运动，明确是在哪两个方向上的分运动的合成．
(2)根据合外力与合初速度的方向关系判断合运动的性质．
(3)运动的合成与分解就是速度、位移、加速度等的合成与分解，遵守平行四边形定则．
运动的合成与分解
1．物体做曲线运动的条件：当物体所受合外力的方向跟它的速度方向不共线时，物体做曲线运动．合运动与分运动具有等时性、独立性和等效性．
2．解决运动的合成和分解的一般思路
(1)明确合运动或分运动的运动性质．
(2)确定合运动是在哪两个方向上的合成或分解．
(3)找出各个方向上已知的物理量(速度、位移、加速度等)．
(4)运用力与速度的关系或矢量的运算法则进行分析求解．
3．关联速度问题的解题方法
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
4.小结
重点2 平抛运动和类平抛运动的规律及应用
1．基本方法：运动的合成与分解
水平方向上：匀速直线运动；竖直方向上：自由落体运动．
2．基本规律
3．两个重要推论
(1)若速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则 tan α＝2tan θ.
(2)平抛运动到任一位置A，过A点作其速度方向的反向延长线交Ox轴于C点，有OC＝eq \f(xA,2)(如图所示)．
(3)任何一段时间内，速度变化量为Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下；连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向的位移差不变为Δy＝g(Δt)2，在平抛运动轨迹上找几个点，使x1＝x2＝…，利用y2－y1＝g(Δt)2可求重力加速度．
4．和斜面相关的平抛运动解题技巧
5．研究平抛（类平抛）运动的常用方法
（1）分解速度
设平抛运动的初速度为v0，在空中运动时间为t，则平抛运动在水平方向的速度为：vx＝v0，在竖直方向的速度为：vy＝gt，合速度为：v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))，合速度与水平方向夹角θ满足tanθ＝eq \f(vy,vx).
（2）分解位移
平抛运动在水平方向的位移为：x＝v0t，在竖直方向的位移为：y＝eq \f(1,2)gt2，相对抛出点的位移(合位移)为：s＝eq \r(x2＋y2)，合位移与水平方向夹角φ满足tanφ＝eq \f(y,x).
（3）分解加速度
对于有些问题，过抛出点建立适当的直角坐标系，把重力加速度g正交分解为gx、gy，把初速度v0正交分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解，可以避繁就简，化难为易．
重点3 圆周运动问题
1.圆周运动问题的求解步骤
“一、二、三、四”求解圆周运动问题
2．圆周运动的一些典型模型的处理方法
3．解决圆周运动力学问题要注意以下几点：
(1)要进行受力分析，明确向心力的来源，确定圆心以及半径．
(2)列出正确的动力学方程F＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝mωv＝mreq \f(4π2,T2).结合v＝ωr、T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2πr,v)等基本公式进行求解．
4．抓住“两类模型”是解决问题的突破点
(1)模型1——水平面内的圆周运动，一般由牛顿运动定律列方程求解．
(2)模型2——竖直面内的圆周运动(绳球模型和杆球模型)，通过最高点和最低点的速度常利用动能定理(或机械能守恒)来建立联系，然后结合牛顿第二定律进行动力学分析求解．
5．竖直平面内圆周运动的两种临界问题：
(1)绳固定，物体能通过最高点的条件是v≥eq \r(gR).
(2)杆固定，物体能通过最高点的条件是v>0.
6、常见的圆周运动模型
重点4 平抛与圆周运动组合问题
1．一个物体平抛运动和（圆周）直线运动先后进行，要明确直线运动的性质，关键抓住速度是两个运动的衔接点．
2．两个物体分别做平抛运动和（圆周）直线运动，且同时进行，则它们运动的时间相等，同时满足一定的空间几何关系．
3.对于多过程问题首先要搞清各运动过程的特点，然后选用相应规律．
4．要特别注意运用有关规律建立两运动之间的联系，把转折点的速度作为分析重点．
5.程序法在解圆周平抛（直线）组合模型中的应用
所谓“程序法”是指根据题意按先后顺序分析发生的运动过程，并明确每一过程的受力情况、运动性质、满足的规律等等，还要注意前后过程的衔接点是具有相同的速度．
6.两类思维流程
(1)单个质点的连续运动的思维流程
(2)质点和圆盘的独立运动的思维流程
7.解决平抛与圆周运动组合问题的“四个关键”
(1)运动阶段的划分，如例题中分成三个阶段(圆周→平抛→圆周)。
(2)运动阶段的衔接，尤其注意速度方向，如例题中，小球运动到B点的速度。
(3)两个运动阶段在时间和空间上的联系。
(4)对于平抛运动或类平抛运动与圆周运动组合的问题，应用合成与分解的思想分析，这两种运动转折点的速度是解题的关键。
重点1 曲线运动和运动的合成与分解
例1：（2023·北京通州区高三上学期期中）某些手机上安装有某种软件，能测量手机的加速度。建立如图所示的三维坐标系，手机沿任意方向移动一下，便可显示沿x、y、z轴三个维度各自加速度大小随时间的变化图像。现将手机竖直向上抛出，手机运动过程中未翻滚（平动），发现只有x轴方向有示数，由此可知手机运动过程中的姿态为（ ）
A. B. C. D.
训1：（2023·山西临汾市高三上学期期中）下列关于曲线运动说法正确的是（ ）
A. 做曲线运动物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一直线上
B. 物体在恒力作用下不可能做曲线运动
C. 做圆周运动的物体速度和向心力一定变化
D. 速度变化的运动必定是曲线运动
重点2 平抛运动和类平抛运动的规律及应用
例2：（2023·山东潍坊市高三上学期期中）将一弹性小球从距地面高度h处的P点以某一速度 SKIPIF 1 < 0 水平抛出，与前方的一面竖直墙弹性碰撞，且碰撞满足光的反射定律（碰后小球竖直速度不变，水平速度大小不变，与墙壁的夹角不变）。已知 SKIPIF 1 < 0 与竖直墙面的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，小球落地后不再反弹。落地点到墙面的距离为 SKIPIF 1 < 0 ；若小球从P点以 SKIPIF 1 < 0 的初速度沿原方向水平抛出，落地点到墙面的距离为 SKIPIF 1 < 0 。已知重力加速度为g，则小球第一次抛出的初速度 SKIPIF 1 < 0 和P点到墙面的距离s为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
训2：（2023·福建宁德市高三上学期期中）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为53°的斜面AC，A、B两点与圆环BC的圆心 SKIPIF 1 < 0 等高，现将甲、乙小球分别从A、B两点以初速度 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力），已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A. 初速度 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 大小之比为3：4
B. 若仅增大 SKIPIF 1 < 0 ，则两球不再相碰
C. 若 SKIPIF 1 < 0 大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点D
D. 若只抛出甲球并适当改变 SKIPIF 1 < 0 大小，甲球不可能垂直击中圆环BC
重点3 圆周运动问题
例3：（2023·湖北黄冈市高三上学期期中）如图所示，两个小球 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 通过一根刚性轻杆固定连接，沿半圆形凹槽下滑。在两球滑动过程中.下列说法正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两球的角速度大小相等
B. SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两球的线速度相同
C. 球 SKIPIF 1 < 0 的向心加速度大于球A的向心加速度
D. SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两球所受向心力大小相等
训3：（2023·湖北十堰市县区普通联合体高三上学期期中）汽车试车场中有一个检测汽车在极限状态下的车速的试车道，试车道呈锥面（漏斗状），侧面图如图所示。测试的汽车质量m＝1 t，车道转弯半径r＝150 m，路面倾斜角θ＝45°，路面与车胎的动摩擦因数μ为0.25，设路面与车胎的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，求：
(1)若汽车恰好不受路面摩擦力，则其速度应为多大？
(2)汽车在该车道上所能允许的最小车速。
重点4 平抛与圆周运动组合问题
例4：（2023·山东菏泽市高三上学期期中）某游戏装置由弹丸发射器，固定在水平地面上倾角为37°的斜面以及放置在水平地面上的光滑半圆形挡板墙构成。如图，游戏时调节发射器，使弹丸（可视为质点）每次从M点水平发射后都能恰好无碰撞地进入到斜面顶端N点，继续沿斜面中线下滑至底端P点，再沿粗糙水平地面滑至Q点切入半圆形挡板墙。已知弹丸质量 SKIPIF 1 < 0 ，弹丸与斜面间的摩擦力 SKIPIF 1 < 0 ，弹丸与水平地面的摩擦力 SKIPIF 1 < 0 ，弹丸发射器距水平地面高度 SKIPIF 1 < 0 ，斜面高度 SKIPIF 1 < 0 ，半圆形挡板墙半径 SKIPIF 1 < 0 ，不考虑P处碰撞地面时的能量损失，g取 SKIPIF 1 < 0 。
（1）求弹丸从发射器M点射出的动能 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）向左平移半圆形挡板墙，使P、Q重合，求弹丸刚进入半圆形轨道Q点时受到弹力的大小；
（3）左右平移半圆形挡板墙，改变PQ的长度，要使弹丸最后不会滑出半圆挡板墙区域，设停止位置对应转过的圆心角为 SKIPIF 1 < 0 （弧度制），求圆心角 SKIPIF 1 < 0 与PQ的距离x满足的关系式。
训4：（2023届·山东淄博实验中学高三上学期开学考试）如图所示，长为 SKIPIF 1 < 0 的细线拴一质量为 SKIPIF 1 < 0 的物块在水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆），摆线与竖直方向的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，不计空气阻力，当物块运动到P点时绳子断了，一段时间后物块恰好从光滑圆弧ABC的A点沿切线方向进入圆弧，进入圆弧时无机械能损失，已知圆弧的半径 SKIPIF 1 < 0 ，圆心角 SKIPIF 1 < 0 ，物块经光滑地面从C点滑上顺时针转动的倾斜传送带CD，滑上C点前后瞬间速率不变。传送带CD与地面的倾角37°，其速度为 SKIPIF 1 < 0 。已知物块与传送带间的动摩擦因数为0.5（g取10m/s2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）求：
（1）物块运动到P点时的速度 SKIPIF 1 < 0 大小
（2）物块在圆弧轨道B点所受支持力大小
（3）若传送带CD部分长 SKIPIF 1 < 0 ，求物块从C运动到D的时间
近3年考情分析
考点要求
等级要求
考题统计
2022
2021
2020
曲线运动和运动的合成与分解
Ⅱ
2022·湖南卷·T5
2021·辽宁卷·T1
2020·北京卷·T14
2020·山东卷·T16
平抛运动和类平抛运动的规律及应用
Ⅱ
2022·重庆卷·T14
2022·上海卷·T8
2022·广东卷·T6
2022·广东卷·T3
2022·山东卷·T11
2022·全国甲卷·T24
2021·浙江1月卷·T9
2021·海南卷·T2
2021·河北卷·T2
2021·江苏卷·T9
2021·山东卷·T11
2020·海南卷·T12
2020·全国 = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II卷·T16
2020·浙江1月卷·T5
2020·江苏卷·T8
2020·北京卷·T17
圆周运动问题
Ⅱ
2022·北京卷·T8
2022·上海卷·T6
2022·辽宁卷·T13
2022·山东卷·T8
2022·全国甲卷·T14
2021·全国甲卷·T15
2021·广东卷·T4
2021·河北卷·T9
2021·山东卷·T3
2020·全国 = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I卷·T16
2020·浙江7月卷·T2
2020·江苏卷·T22
平抛与圆周运动组合问题
Ⅱ
考情总结
1．高考对平抛运动与圆周运动知识的考查，多集中在考查平抛运动与圆周运动规律的应用及与生活、生产相联系的命题，多涉及相关物理量的临界和极限状态的求解，或考查平抛运动与圆周运动组合题，常会涉及功能关系．
2．单独命题常以选择题的形式出现，考查平抛运动的基本规律考查了运动的合成与分解思想；与牛顿运动定律、功能关系、电磁学知识相综合的命题常以计算题的形式出现．
3.本专题解决的是抛体运动、圆周运动的问题．高考对本专题的考查一般以单一命题或运动的组合为线索。考查的主要内容有：①曲线运动的条件和运动的合成与分解；②平抛运动规律；③圆周运动规律；④平抛运动与圆周运动的多过程组合问题等。用到的主要物理思想和方法有：运动的合成与分解思想、应用临界条件处理临界问题的方法、建立类平抛运动模型方法等。
应考策略
熟练掌握平抛、圆周运动的规律，对平抛运动和圆周运动的组合问题，要善于由转折点的速度进行突破；灵活应用运动的合成与分解的思想，解决平抛、类平抛运动问题。
项目
匀速圆周运动
非匀速圆周运动
定义
线速度大小不变的圆周运动
线速度大小变化的圆周运动
运动特点
F向、a向、v均大小不变，方向变化，ω不变
F向、a向、v大小、方向均发生变化，ω发生变化
向心力
F向＝F合
由F合沿半径方向的分力提供
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
过最高点的临界条件
由mg＝meq \f(v2,r)得v临＝eq \r(gr)
由小球能运动即可，得v临＝0
讨论分析
(1)过最高点时，v≥eq \r(gr)，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，绳、轨道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点时v＜eq \r(gr)，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
(2)当0＜v＜eq \r(gr)时，－FN＋mg＝meq \f(v2,r)，FN背离圆心且随v的增大而减小
(3)当v＝eq \r(gr)时，FN＝0
(4)当v＞eq \r(gr)时，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，FN指向圆心并随v的增大而增大
问题类型
处理方法
曲线运动的分析
(1)物体的实际运动是合运动，明确是在哪两个方向上的分运动的合成。
(2)根据合外力与合初速度的方向关系判断合运动的性质。
(3)运动的合成与分解就是速度、位移、加速度等的合成与分解，遵守平行四边形定则。
渡河问题
分清三种速度
(1)合速度：物体的实际运动速度。
(2)船速：船在静水中的速度。
(3)水速：水流动的速度，可能大于船速。
端速问题
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等
分析思路
基本规律
“化曲为直”
思想——运动
的合成与分解
水平方向
vx=v0,x=v0t
竖直方向
vy=gt,y=gt2
合速度
大小
v==
方向
与水平方向夹角θ的正切值tan θ==
合位移
大小
s=
方向
与水平方向夹角α的正切值tan α==
注意：tan=2tan，但
轨迹方程
y＝ eq \f(g,2v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ) x2
模型
解题方法
方法应用
分解速度，构建速度矢量三角形
水平方向：vx＝v0
竖直方向：vy＝gt
方向：tan θ＝eq \f(vx,vy)
分解位移，构建位移矢量三角形
水平方向：x＝v0t
竖直方向：y＝eq \f(1,2)gt2
方向：tan θ＝eq \f(y,x)
分解速度，构建速度矢量三角形
水平方向vx＝v0
竖直方向vy＝gt
方向：tan θ＝eq \f(vy,vx)
求时间时分解速度
tan θ＝eq \f(vy,v0)
求最远距离时分解初速度和重力加速度
v0x＝v0sin θ
ax＝gcs θ
vx＝0时离斜面最远，
H＝eq \f(v0sin θ2,2gcs θ)
一审
审清题意，确定研究对象
二确
确定圆周运动的轨道平面
三分
分析几何关系，即确定圆心、半径
分析物体的运动情况即物体的线速度、角速度等相关物理量
分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源
四列
根据牛顿运动定律及圆周运动知识列方程
最高点无支撑
最高点有支撑
图示
最高点受力
重力mg，弹力F弹向下或等于零
重力mg，弹力F弹向下、向上或等于零
向心力来源
mg＋F弹＝meq \f(v2,r)
mg±F弹＝meq \f(v2,r)
恰好过最高点
F弹＝0，mg＝meq \f(v2,r)，v＝eq \r(gr)，即在最高点速度不能为零
mg＝F弹，v＝0，即在最高点速度可以为零
水平面内的圆周运动
水平转盘上的物体
Ff＝mω2r
圆锥摆模型
mgtan θ＝mrω2
竖直面内的圆周运动
轻绳模型
能过最高点的临界条件：
mg＝meq \f(v2,r)
最高点和最低点间的过程要用能量观点(动能定理)
轻杆模型
能过最高点的临界条件vmin＝0
倾斜面内的圆周运动
倾斜转盘上的物体
电场、重力场叠加中的圆周运动
带电小球在叠加场中的圆周运动
等效法
关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点，最左边和最右边位置
磁场中的圆周运动
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动
qvB＝meq \f(v2,r)
一、考情分析
二、思维导图
三、讲知识
一、曲线运动
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向．
2．运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动．
3．曲线运动的条件：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上．
二、运动的合成与分解
1．运算法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动和分运动的关系
(1)等时性：合运动与分运动经历的时间相等．
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响．
(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果．
三、平抛运动
1．性质：平抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
2．规律：以抛出点为原点，以水平方向(初速度v0方向)为x轴，以竖直向下的方向为y轴建立平面直角坐标系，则
(1)水平方向：做匀速直线运动，速度：vx＝v0，位移：x＝v0t.
(2)竖直方向：做自由落体运动，速度：vy＝gt，位移：y＝eq \f(1,2)gt2.
(3)合运动
①合速度：v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))，方向与水平方向夹角为θ，则tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0).
②合位移：x合＝eq \r(x2＋y2)，方向与水平方向夹角为α，则tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0).
二、斜抛运动
1．性质
加速度为g的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线．
2．规律(以斜向上抛为例说明，如图所示)
(1)水平方向：做匀速直线运动，vx＝v0cs θ.
(2)竖直方向：做竖直上抛运动，vy＝v0sin θ－gt.
三、匀速圆周运动和非匀速圆周运动的比较
四、竖直平面内圆周运动的“轻杆、轻绳”模型
1．模型特点
在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接、小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”．
2．模型分析
绳、杆模型常涉及临界问题，分析如下：
四、讲重点
重点1 曲线运动和运动的合成与分解
曲线运动
1．曲线运动的理解
(1)曲线运动是变速运动，速度方向沿切线方向；
(2)合力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在速度方向与合力方向之间，合力的方向指向曲线的“凹”侧．
2．曲线运动的分析
(1)物体的实际运动是合运动，明确是在哪两个方向上的分运动的合成．
(2)根据合外力与合初速度的方向关系判断合运动的性质．
(3)运动的合成与分解就是速度、位移、加速度等的合成与分解，遵守平行四边形定则．
运动的合成与分解
1．物体做曲线运动的条件：当物体所受合外力的方向跟它的速度方向不共线时，物体做曲线运动．合运动与分运动具有等时性、独立性和等效性．
2．解决运动的合成和分解的一般思路
(1)明确合运动或分运动的运动性质．
(2)确定合运动是在哪两个方向上的合成或分解．
(3)找出各个方向上已知的物理量(速度、位移、加速度等)．
(4)运用力与速度的关系或矢量的运算法则进行分析求解．
3．关联速度问题的解题方法
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示。
4.小结
重点2 平抛运动和类平抛运动的规律及应用
1．基本方法：运动的合成与分解
水平方向上：匀速直线运动；竖直方向上：自由落体运动．
2．基本规律
3．两个重要推论
(1)若速度方向与水平方向的夹角为α，位移方向与水平方向的夹角为θ，则 tan α＝2tan θ.
(2)平抛运动到任一位置A，过A点作其速度方向的反向延长线交Ox轴于C点，有OC＝eq \f(xA,2)(如图所示)．
(3)任何一段时间内，速度变化量为Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下；连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向的位移差不变为Δy＝g(Δt)2，在平抛运动轨迹上找几个点，使x1＝x2＝…，利用y2－y1＝g(Δt)2可求重力加速度．
4．和斜面相关的平抛运动解题技巧
5．研究平抛（类平抛）运动的常用方法
（1）分解速度
设平抛运动的初速度为v0，在空中运动时间为t，则平抛运动在水平方向的速度为：vx＝v0，在竖直方向的速度为：vy＝gt，合速度为：v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))，合速度与水平方向夹角θ满足tanθ＝eq \f(vy,vx).
（2）分解位移
平抛运动在水平方向的位移为：x＝v0t，在竖直方向的位移为：y＝eq \f(1,2)gt2，相对抛出点的位移(合位移)为：s＝eq \r(x2＋y2)，合位移与水平方向夹角φ满足tanφ＝eq \f(y,x).
（3）分解加速度
对于有些问题，过抛出点建立适当的直角坐标系，把重力加速度g正交分解为gx、gy，把初速度v0正交分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解，可以避繁就简，化难为易．
重点3 圆周运动问题
1.圆周运动问题的求解步骤
“一、二、三、四”求解圆周运动问题
2．圆周运动的一些典型模型的处理方法
3．解决圆周运动力学问题要注意以下几点：
(1)要进行受力分析，明确向心力的来源，确定圆心以及半径．
(2)列出正确的动力学方程F＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝mωv＝mreq \f(4π2,T2).结合v＝ωr、T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2πr,v)等基本公式进行求解．
4．抓住“两类模型”是解决问题的突破点
(1)模型1——水平面内的圆周运动，一般由牛顿运动定律列方程求解．
(2)模型2——竖直面内的圆周运动(绳球模型和杆球模型)，通过最高点和最低点的速度常利用动能定理(或机械能守恒)来建立联系，然后结合牛顿第二定律进行动力学分析求解．
5．竖直平面内圆周运动的两种临界问题：
(1)绳固定，物体能通过最高点的条件是v≥eq \r(gR).
(2)杆固定，物体能通过最高点的条件是v>0.
6、常见的圆周运动模型
重点4 平抛与圆周运动组合问题
1．一个物体平抛运动和（圆周）直线运动先后进行，要明确直线运动的性质，关键抓住速度是两个运动的衔接点．
2．两个物体分别做平抛运动和（圆周）直线运动，且同时进行，则它们运动的时间相等，同时满足一定的空间几何关系．
3.对于多过程问题首先要搞清各运动过程的特点，然后选用相应规律．
4．要特别注意运用有关规律建立两运动之间的联系，把转折点的速度作为分析重点．
5.程序法在解圆周平抛（直线）组合模型中的应用
所谓“程序法”是指根据题意按先后顺序分析发生的运动过程，并明确每一过程的受力情况、运动性质、满足的规律等等，还要注意前后过程的衔接点是具有相同的速度．
6.两类思维流程
(1)单个质点的连续运动的思维流程
(2)质点和圆盘的独立运动的思维流程
7.解决平抛与圆周运动组合问题的“四个关键”
(1)运动阶段的划分，如例题中分成三个阶段(圆周→平抛→圆周)。
(2)运动阶段的衔接，尤其注意速度方向，如例题中，小球运动到B点的速度。
(3)两个运动阶段在时间和空间上的联系。
(4)对于平抛运动或类平抛运动与圆周运动组合的问题，应用合成与分解的思想分析，这两种运动转折点的速度是解题的关键。
重点1 曲线运动和运动的合成与分解
例1：（2023·北京通州区高三上学期期中）某些手机上安装有某种软件，能测量手机的加速度。建立如图所示的三维坐标系，手机沿任意方向移动一下，便可显示沿x、y、z轴三个维度各自加速度大小随时间的变化图像。现将手机竖直向上抛出，手机运动过程中未翻滚（平动），发现只有x轴方向有示数，由此可知手机运动过程中的姿态为（ ）
A. B. C. D.
训1：（2023·山西临汾市高三上学期期中）下列关于曲线运动说法正确的是（ ）
A. 做曲线运动物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一直线上
B. 物体在恒力作用下不可能做曲线运动
C. 做圆周运动的物体速度和向心力一定变化
D. 速度变化的运动必定是曲线运动
重点2 平抛运动和类平抛运动的规律及应用
例2：（2023·山东潍坊市高三上学期期中）将一弹性小球从距地面高度h处的P点以某一速度 SKIPIF 1 < 0 水平抛出，与前方的一面竖直墙弹性碰撞，且碰撞满足光的反射定律（碰后小球竖直速度不变，水平速度大小不变，与墙壁的夹角不变）。已知 SKIPIF 1 < 0 与竖直墙面的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，小球落地后不再反弹。落地点到墙面的距离为 SKIPIF 1 < 0 ；若小球从P点以 SKIPIF 1 < 0 的初速度沿原方向水平抛出，落地点到墙面的距离为 SKIPIF 1 < 0 。已知重力加速度为g，则小球第一次抛出的初速度 SKIPIF 1 < 0 和P点到墙面的距离s为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
训2：（2023·福建宁德市高三上学期期中）如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为53°的斜面AC，A、B两点与圆环BC的圆心 SKIPIF 1 < 0 等高，现将甲、乙小球分别从A、B两点以初速度 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力），已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A. 初速度 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 大小之比为3：4
B. 若仅增大 SKIPIF 1 < 0 ，则两球不再相碰
C. 若 SKIPIF 1 < 0 大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点D
D. 若只抛出甲球并适当改变 SKIPIF 1 < 0 大小，甲球不可能垂直击中圆环BC
重点3 圆周运动问题
例3：（2023·湖北黄冈市高三上学期期中）如图所示，两个小球 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 通过一根刚性轻杆固定连接，沿半圆形凹槽下滑。在两球滑动过程中.下列说法正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两球的角速度大小相等
B. SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两球的线速度相同
C. 球 SKIPIF 1 < 0 的向心加速度大于球A的向心加速度
D. SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两球所受向心力大小相等
训3：（2023·湖北十堰市县区普通联合体高三上学期期中）汽车试车场中有一个检测汽车在极限状态下的车速的试车道，试车道呈锥面（漏斗状），侧面图如图所示。测试的汽车质量m＝1 t，车道转弯半径r＝150 m，路面倾斜角θ＝45°，路面与车胎的动摩擦因数μ为0.25，设路面与车胎的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，求：
(1)若汽车恰好不受路面摩擦力，则其速度应为多大？
(2)汽车在该车道上所能允许的最小车速。
重点4 平抛与圆周运动组合问题
例4：（2023·山东菏泽市高三上学期期中）某游戏装置由弹丸发射器，固定在水平地面上倾角为37°的斜面以及放置在水平地面上的光滑半圆形挡板墙构成。如图，游戏时调节发射器，使弹丸（可视为质点）每次从M点水平发射后都能恰好无碰撞地进入到斜面顶端N点，继续沿斜面中线下滑至底端P点，再沿粗糙水平地面滑至Q点切入半圆形挡板墙。已知弹丸质量 SKIPIF 1 < 0 ，弹丸与斜面间的摩擦力 SKIPIF 1 < 0 ，弹丸与水平地面的摩擦力 SKIPIF 1 < 0 ，弹丸发射器距水平地面高度 SKIPIF 1 < 0 ，斜面高度 SKIPIF 1 < 0 ，半圆形挡板墙半径 SKIPIF 1 < 0 ，不考虑P处碰撞地面时的能量损失，g取 SKIPIF 1 < 0 。
（1）求弹丸从发射器M点射出的动能 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）向左平移半圆形挡板墙，使P、Q重合，求弹丸刚进入半圆形轨道Q点时受到弹力的大小；
（3）左右平移半圆形挡板墙，改变PQ的长度，要使弹丸最后不会滑出半圆挡板墙区域，设停止位置对应转过的圆心角为 SKIPIF 1 < 0 （弧度制），求圆心角 SKIPIF 1 < 0 与PQ的距离x满足的关系式。
训4：（2023届·山东淄博实验中学高三上学期开学考试）如图所示，长为 SKIPIF 1 < 0 的细线拴一质量为 SKIPIF 1 < 0 的物块在水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆），摆线与竖直方向的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，不计空气阻力，当物块运动到P点时绳子断了，一段时间后物块恰好从光滑圆弧ABC的A点沿切线方向进入圆弧，进入圆弧时无机械能损失，已知圆弧的半径 SKIPIF 1 < 0 ，圆心角 SKIPIF 1 < 0 ，物块经光滑地面从C点滑上顺时针转动的倾斜传送带CD，滑上C点前后瞬间速率不变。传送带CD与地面的倾角37°，其速度为 SKIPIF 1 < 0 。已知物块与传送带间的动摩擦因数为0.5（g取10m/s2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）求：
（1）物块运动到P点时的速度 SKIPIF 1 < 0 大小
（2）物块在圆弧轨道B点所受支持力大小
（3）若传送带CD部分长 SKIPIF 1 < 0 ，求物块从C运动到D的时间
近3年考情分析
考点要求
等级要求
考题统计
2022
2021
2020
曲线运动和运动的合成与分解
Ⅱ
2022·湖南卷·T5
2021·辽宁卷·T1
2020·北京卷·T14
2020·山东卷·T16
平抛运动和类平抛运动的规律及应用
Ⅱ
2022·重庆卷·T14
2022·上海卷·T8
2022·广东卷·T6
2022·广东卷·T3
2022·山东卷·T11
2022·全国甲卷·T24
2021·浙江1月卷·T9
2021·海南卷·T2
2021·河北卷·T2
2021·江苏卷·T9
2021·山东卷·T11
2020·海南卷·T12
2020·全国 = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II卷·T16
2020·浙江1月卷·T5
2020·江苏卷·T8
2020·北京卷·T17
圆周运动问题
Ⅱ
2022·北京卷·T8
2022·上海卷·T6
2022·辽宁卷·T13
2022·山东卷·T8
2022·全国甲卷·T14
2021·全国甲卷·T15
2021·广东卷·T4
2021·河北卷·T9
2021·山东卷·T3
2020·全国 = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I卷·T16
2020·浙江7月卷·T2
2020·江苏卷·T22
平抛与圆周运动组合问题
Ⅱ
考情总结
1．高考对平抛运动与圆周运动知识的考查，多集中在考查平抛运动与圆周运动规律的应用及与生活、生产相联系的命题，多涉及相关物理量的临界和极限状态的求解，或考查平抛运动与圆周运动组合题，常会涉及功能关系．
2．单独命题常以选择题的形式出现，考查平抛运动的基本规律考查了运动的合成与分解思想；与牛顿运动定律、功能关系、电磁学知识相综合的命题常以计算题的形式出现．
3.本专题解决的是抛体运动、圆周运动的问题．高考对本专题的考查一般以单一命题或运动的组合为线索。考查的主要内容有：①曲线运动的条件和运动的合成与分解；②平抛运动规律；③圆周运动规律；④平抛运动与圆周运动的多过程组合问题等。用到的主要物理思想和方法有：运动的合成与分解思想、应用临界条件处理临界问题的方法、建立类平抛运动模型方法等。
应考策略
熟练掌握平抛、圆周运动的规律，对平抛运动和圆周运动的组合问题，要善于由转折点的速度进行突破；灵活应用运动的合成与分解的思想，解决平抛、类平抛运动问题。
项目
匀速圆周运动
非匀速圆周运动
定义
线速度大小不变的圆周运动
线速度大小变化的圆周运动
运动特点
F向、a向、v均大小不变，方向变化，ω不变
F向、a向、v大小、方向均发生变化，ω发生变化
向心力
F向＝F合
由F合沿半径方向的分力提供
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
过最高点的临界条件
由mg＝meq \f(v2,r)得v临＝eq \r(gr)
由小球能运动即可，得v临＝0
讨论分析
(1)过最高点时，v≥eq \r(gr)，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，绳、轨道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点时v＜eq \r(gr)，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
(2)当0＜v＜eq \r(gr)时，－FN＋mg＝meq \f(v2,r)，FN背离圆心且随v的增大而减小
(3)当v＝eq \r(gr)时，FN＝0
(4)当v＞eq \r(gr)时，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，FN指向圆心并随v的增大而增大
问题类型
处理方法
曲线运动的分析
(1)物体的实际运动是合运动，明确是在哪两个方向上的分运动的合成。
(2)根据合外力与合初速度的方向关系判断合运动的性质。
(3)运动的合成与分解就是速度、位移、加速度等的合成与分解，遵守平行四边形定则。
渡河问题
分清三种速度
(1)合速度：物体的实际运动速度。
(2)船速：船在静水中的速度。
(3)水速：水流动的速度，可能大于船速。
端速问题
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等
分析思路
基本规律
“化曲为直”
思想——运动
的合成与分解
水平方向
vx=v0,x=v0t
竖直方向
vy=gt,y=gt2
合速度
大小
v==
方向
与水平方向夹角θ的正切值tan θ==
合位移
大小
s=
方向
与水平方向夹角α的正切值tan α==
注意：tan=2tan，但
轨迹方程
y＝ eq \f(g,2v eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ) x2
模型
解题方法
方法应用
分解速度，构建速度矢量三角形
水平方向：vx＝v0
竖直方向：vy＝gt
方向：tan θ＝eq \f(vx,vy)
分解位移，构建位移矢量三角形
水平方向：x＝v0t
竖直方向：y＝eq \f(1,2)gt2
方向：tan θ＝eq \f(y,x)
分解速度，构建速度矢量三角形
水平方向vx＝v0
竖直方向vy＝gt
方向：tan θ＝eq \f(vy,vx)
求时间时分解速度
tan θ＝eq \f(vy,v0)
求最远距离时分解初速度和重力加速度
v0x＝v0sin θ
ax＝gcs θ
vx＝0时离斜面最远，
H＝eq \f(v0sin θ2,2gcs θ)
一审
审清题意，确定研究对象
二确
确定圆周运动的轨道平面
三分
分析几何关系，即确定圆心、半径
分析物体的运动情况即物体的线速度、角速度等相关物理量
分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源
四列
根据牛顿运动定律及圆周运动知识列方程
最高点无支撑
最高点有支撑
图示
最高点受力
重力mg，弹力F弹向下或等于零
重力mg，弹力F弹向下、向上或等于零
向心力来源
mg＋F弹＝meq \f(v2,r)
mg±F弹＝meq \f(v2,r)
恰好过最高点
F弹＝0，mg＝meq \f(v2,r)，v＝eq \r(gr)，即在最高点速度不能为零
mg＝F弹，v＝0，即在最高点速度可以为零
水平面内的圆周运动
水平转盘上的物体
Ff＝mω2r
圆锥摆模型
mgtan θ＝mrω2
竖直面内的圆周运动
轻绳模型
能过最高点的临界条件：
mg＝meq \f(v2,r)
最高点和最低点间的过程要用能量观点(动能定理)
轻杆模型
能过最高点的临界条件vmin＝0
倾斜面内的圆周运动
倾斜转盘上的物体
电场、重力场叠加中的圆周运动
带电小球在叠加场中的圆周运动
等效法
关注六个位置的动力学方程，最高点、最低点、等效最高点、等效最低点，最左边和最右边位置
磁场中的圆周运动
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动
qvB＝meq \f(v2,r)
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