江苏省宿迁市2025-2026学年高一下学期期末学业水平监测数学试卷（Word版附答案）

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本试卷共 6 页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。将条形码横贴在
答题卡上“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂
黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不
按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题意要求的。）
1． 的值为
A． B． C． D．0
2．某工厂生产 A，B，C 三种不同型号产品，产量之比为 ．现用分层抽样的方法抽取 1 个容量为 的
样本，若样本中 B 种型号的产品有 24 件，则样本容量 的值为
A．16 B．40 C．80 D．90
3．已知 ， ， 是空间中三条不重合的直线， ， ， 是空间中三个不同的平面，下列说法正确的是
A．若 ， ，则
B．若 ， ，且 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
4．从数字 0，1，2，3，4 中任取 2 个数字，组成没有重复数字的两位数，则这个两位数是偶数的概率为
A． B． C． D．
5．已知在复平面内，动点 与复数 对应，则满足等式 的点 与点
间的距离的最大值为
A． B． C． D．
6．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 在 上的投影向量为
A． B． C． D．
7．如图，正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，则平面 与平面 的
夹角为
A． B． C． D．
8．在 中， ， ， ， ， 分别是边 ， 上的点，且满足
， ，连接 ， 交于点 ，则 与 夹角的余弦值为
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。）
9．若复数 ， ，则下列命题中正确的是
A．当 或 2 时， 是纯虚数
B．当 时，
C．当 时，复数 在复平面内所对应的点在第三象限
D．若 ，则
10．已知事件 ， 相互独立，满足 ， ，则下列结论中正确的是
A． B．
C． D．
11．在四棱锥 中， 是菱形 对角线的交点， 平面 ， ， 为底面
内的一动点，则下列说法正确的是
A．若 ，则四棱锥 为正四棱锥
B．若 ， ，则动点 的轨迹长度为 2
C．若 ， ， 为对角线 上靠近 的四等分点， 为 中点，则 和 所成
角的余弦值为
D．若 ，且 与底面 所成角为 ，则 的轨迹与底面 围成的几何体的表面积为
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。）
12．某校主持人队有男生 2 名，女生 3 名，现从中任选 2 名学生去参加某项活动，则参加活动的学生中至
少有 1 名男生的概率为________．
13．求值： ________．
14．在 中， ，且 的平分线交 于点 ， 为 的中点．若 ，
，则 的长为________．
四、解答题（本题共 5 大题，共 77 分。解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13 分）
已知向量 ， ．
（1）若 ，求实数 的值；
（2）设向量 ，点 是直线 上的一个动点，当 取最小值时，求 的坐标．
16．（15 分）
设 为实数，已知函数 的最小值为 ．
（1）求 的值；
（2）若 ， ， ， 均为锐角，求 ．
17．（15 分）
在 中， ， ．
（1）若 为 延长线上一点， ，且 ，求 的长；
（2）若 为 外接圆上任一点（ ， 在直线 的两侧）， ，求 ．
18．（17 分）
某校高一年级举行“体育文化节”趣味竞赛活动，竞赛分为初赛和决赛两个环节．现从该校高一年级学生
中随机抽取 50 名，记录他们的初赛成绩，将成绩数据按照 ， ， ， ，
分成 5 组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中 的值，并估计高一年级初赛成绩的 60 百分位数；（结果保留 1 位小数）
（2）在这 50 名学生成绩的样本中，随机取出样本容量为 10 的样本，其中男生 5 名，计算得到男生成绩的
样本均值为 ，方差为 ；女生成绩的样本均值为 ，方差为 ．求这 10 名学生成
绩的标准差；
（3）通过初赛，确定 2 名水平相当的优秀选手进行决赛，决赛采取 7 局 4 胜制，胜者获得全部奖金，决赛
期间前四局打成 时因故终止．有人提出按 分配奖金，你认为这样分配合理吗？为什么？
19．（17 分）
如图所示，在四棱锥 中，平面 平面 ， 是等边三角形， ，
， ， ．
（1）若平面 平面 ，求证： ；
（2）求四面体 外接球的半径；
（3）过 的中点 作平面 与棱 ， ， 分别交于点 ， ， ，记 ，
， ，探究 是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明
理由．
高一年级质量监测
数学
一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题意要求的。）
1-4ACBD；5-8ACDD
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。）
9.BD；10.BCD；11.ACD
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。）
12. ；13. ；14.
四、解答题（本题共 5 大题，共 77 分。解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤。）
15.（13 分）
解析：
（1）因为 ， ．
且 ，
所以 ．
，即 ，解得 ．
（2）（法一）设 ，P 是直线 OM 上的一个动点
所以 ，即 ．
所以
，
所以当 时， 最小值为 ，此时点 P 的坐标为 ．
（法二）设 ，则 ．
则 ，
所以当 时， 最小值为 ，此时点 P 的坐标为 ．
16．（15 分）
解析：（1）
，
因为 ，所以 的最小值为 ，故函数 的最小值为 ．
又因为 的最小值为 ，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，从而 ．
又因为α为锐角，所以 ，
故 ， ．
又α，β均为锐角，所以 ，从而 ．
17.（15 分）
解析：（1）在 中，由正弦定理知 ，
得 ．
则 ，知 ．
即 为钝角，则 ．
在 中，由余弦定理知 ，
则 。
（2）由 知， ．
得 ，且 ．
则四边形 ABCD 为梯形，且 ，
又四边形 ABCD 为圆内接四边形，
则 。
有 ，
则四边形 ABCD 为等腰梯形，则 。
在 中，由余弦定理得 ．
在 中，由余弦定理得
．
则 ，解得 。
则
。
18.（17 分）
解析：（1）由频率分布直方图得， ，
解得 。
设 60 百分数对应的成绩为 x，则 ，
解得 。
（2）记 ， 分别表示 5 名男生和 5 名女生的成绩（ ，2，3，4，5）
由题意得 。
所以
．
所以标准差为 ．
（3）设两位选手分别为甲、乙，每场比赛的两人获胜的概率为 ．
前 4 局，不妨设甲赢了 3 局，乙赢了 1 局．
若甲最终赢了比赛，可能是 或 或 ．
当 时，甲赢得概率为 ；
当 时，甲赢得概率是 ；
当 时，甲赢得概率是 ，
打成 后，甲获得胜利的概率为 ，乙获得胜利的概率为 ．
所以应该按照 的比例分配奖金更合理，而不是 ．
19.（17 分）
解析：
（1）证明：因为 ， 面 PCD， 面 PCD，所以 面 PCD．
又 面 PAB，面 面 ，所以 ．
（2）设 O 为四面体 外接球的球心，外接球的半径为 R，
取 CD 的中点 N，连接 PN，因为 是等边三角形，
所以 ．
由面 面 ABCD，面 面 ， 面 PCD，
所以 面 ABCD．
连接 AC，BN 交于点 H，取 PB 的中点 T，连接 HT
所以 H 为 AC 的中点．
因为 ，故 ．
所以 ．
所以 面 ABCD．
所以球心 O 在 TH 上．
所以 ，则 ，解得 。
故四面体 外接球的半径为 。
（3）在直角梯形 ABCD 中，
， ．
因为
．
同理可得： ．
所以 ．
，两边同除 ．得 ．
即 ．所以 是定值 4．