江苏宿迁市2025-2026学年高一下学期期末质量监测数学试卷（含解析）

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注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1. 的值为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据两角和差公式求解即可.
【详解】因为.
2. 某工厂生产A，B，C三种不同型号产品，产量之比为．现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中B种型号的产品有24件，则样本容量的值为（ ）
A. 16B. 40C. 80D. 90
【答案】C
【解析】
【详解】设样本中A，B，C三种不同型号产品分别有个，
则，解得.
所以样本容量.
3. 已知，，是空间中三条不重合的直线，，，是空间中三个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，且，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【详解】对于A，当，，为一正方体共点的三条棱所在直线时，，，，A错误.
对于B，如图，，在平面内，过与的交线作垂线，因为，所以，所以，在平面内，过与的交线作垂线，因为，所以，所以，所以.
对于C，若，，则在上或，C错误.
对于D，如下图，，，但是与相交，D错误.
4. 从数字0，1，2，3，4中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】数字0，1，2，3，4组成一个没有重复数字的两位数，若个位是0，则有4种情况，
若个位不是0，则有种情况，共有16种情况；
其中个位是0的4种情况为偶数，个位不是0的偶数有种情况，共有10种情况，
则这个两位数是偶数的概率为.
5. 已知在复平面内，动点与复数对应，则满足等式的点与点间的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由得，即，
可得动点在以为圆心，以为半径的圆上运动，
则点与点间的距离的最大值为.
6. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】在上的投影向量为.
7. 如图，正方体中，，分别是，的中点，则平面与平面的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过证明平面，可得平面平面，可解.
【详解】根据题意，连接，
因为，是的中点，则，
设正方体棱长为，
则，
所以，所以，
又平面，
所以平面，而平面，
所以平面平面，
所以平面与平面的夹角为.
8. 在中，，，，，分别是边，上的点，且满足，，连接，交于点，则与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以为平面向量一组基底，设，，利用向量相等，求得，从而用基底表示出，求得其模与数量积，利用向量夹角公式即可求得结论.
【详解】由题意知，，
.
设，，
则，
，
所以，解得.
所以，，
所以，
，
，
所以.
即与夹角的余弦值为.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 若复数，，则下列命题中正确的是（）
A. 当或2时，是纯虚数
B. 当时，
C. 当时，复数在复平面内所对应的点在第三象限
D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用复数的基本概念依次分析各选项即可.
【详解】选项A，实部：，解得或.
时，虚部；
时，虚部，此时为实数，不是纯虚数，故A错误.
选项B，当时，
，
，
所以，故B正确.
选项C，复数在复平面内所对应的点在第三象限时，
，解得：，即，故C错误.
选项D，因为，只有实数才能比较大小，因此都必须为实数.
为实数：虚部，
代入，，
满足，故D正确.
10. 已知事件，相互独立，满足，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据事件与，与，与，与都相互独立，利用相互独立事件概率公式计算即可.
【详解】因为事件，相互独立，且，，
所以，，
且与，与，与都相互独立.
对于A： ，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确.
11. 在四棱锥中，是菱形对角线的交点，平面，，为底面内的一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则四棱锥为正四棱锥
B. 若，，则动点的轨迹长度为2
C. 若，，为对角线上靠近的四等分点，为中点，则和所成角的余弦值为
D. 若，且与底面所成角为，则的轨迹与底面围成的几何体的表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用线面垂直性质及棱形特点判断底面形状，依据三垂线定理确定动点轨迹并结合几何关系计算长度等，再根据线面角确定轨迹形状进而求圆锥表面积判断各选项对错.
【详解】在A选项中，由平面，得，，
因为，所以，菱形对角线，，故，
根据菱形性质：对角线相等的菱形是正方形，因此底面是正方形，
是正方形中心，且底面，
顶点在底面投影为正方形中心，符合正四棱锥定义，所以A正确，
在B选项中，由底面，根据三垂线定理可得：，
动点的轨迹是底面菱形内过垂直于的线段，长度等于平行线与之间的距离，
菱形边长为，，对边距离（菱形的高）为 ，所以B错误，
在C选项中，若，邻边垂直的菱形是正方形，故为正方形，
所以，即对角线，
又因为是中点，所以，是靠近的四等分点，
故​，所以，
，
即是中点，因为，且底面，
所以是直角三角形，即，
得，
同理，为直角三角形，，即，
取中点，连接，是的中位线，故，，
异面直线与所成角等于或其补角，
又因为为直角三角形，所以，
在中，，
故，
故；
在中，，，，由余弦定理可得：
，，
所以在中，，，，由余弦定理可得：
， 所以C正确，
在D选项中，与底面所成角为，底面，故，，
已知，得，即轨迹是底面以为圆心，半径的圆，
动线段的轨迹是圆锥，圆锥底面半径，母线，
表面积为侧面积+底面积：，D正确.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 某校主持人队有男生2名，女生3名，现从中任选2名学生去参加某项活动，则参加活动的学生中至少有1名男生的概率为________．
【答案】##0.7
【解析】
【分析】利用组合数的知识计算出所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.
【详解】从5名学生中任选2名学生，共有：
(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)10种选法，
至少有一名男生的情况有种选法，
所以至少有一名男生的概率.
13. 求值：________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二倍角公式、诱导公式及两角和的余弦公式化简求解即可.
【详解】原式
.
14. 在中，，且的平分线交于点，为的中点．若，，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据角平分线的性质、余弦定理及向量的数量积求解即可.
【详解】因为平分，则，，
即，整理得.
令，，则.
由角平分线的性质可得，，可设，，
因为为的中点，，所以.
又，则，即，
所以，解得或.
当时，与联立，解得，.
在中，，
又，所以
，
则，即.
当时，同理可得.
故.
四、解答题（本题共5大题，共77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知向量，．
（1）若，求实数的值；
（2）设向量，点是直线上的一个动点，当取最小值时，求的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示求解即可.
（2）法一，设，根据题意得到，即，根据向量数量积的坐标表示及二次函数性质求解即可.
法二，设，则，根据向量数量积的坐标表示及二次函数性质求解即可.
【小问1详解】
，,
因为，所以．
即，解得．
【小问2详解】
（法一）设，P是直线上的一个动点，所以，即．
又，，
所以
，
所以当时，最小值为，此时点P的坐标为．
（法二）设，则．
则，
所以当时，最小值为，此时点P的坐标为．
16. 设为实数，已知函数的最小值为．
（1）求的值；
（2）若，，，均为锐角，求．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由三角恒等变换得，根据三角函数的性质求解即可；
（2）由，可得，由同角的平方关系可得，进而求得，由两角的正切公式可得，结合的范围，即可得答案.
【小问1详解】
，
因为，所以的最小值为，
故函数的最小值为．
又因为的最小值为，
所以
解得．
【小问2详解】
因为，
所以，从而．
又因为α为锐角，
所以，
故，
．
又α，β均为锐角，所以，
从而．
17. 在中，，．
（1）若为延长线上一点，，且，求的长；
（2）若为外接圆上任一点（，在直线的两侧），，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理求出，进而确定范围，得到为钝角并求出，最后根据余弦定理计算，得出的值.
（2）由向量关系推出四边形为梯形，再结合圆内接四边形性质得到等腰梯形，确定，分别在和中用余弦定理表示，建立等式求解.
【小问1详解】
在中，由正弦定理知，
得．
则，知．
即为钝角，则．
在中，由余弦定理知，
则.
【小问2详解】
由知，，
得，且，
则四边形为梯形，且，
又四边形为圆内接四边形，
则，
有，
则四边形为等腰梯形，则.
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得．
则，解得，
则
.
18. 某校高一年级举行“体育文化节”趣味竞赛活动，竞赛分为初赛和决赛两个环节．现从该校高一年级学生中随机抽取50名，记录他们的初赛成绩，将成绩数据按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的60百分位数；（结果保留1位小数）
（2）在这50名学生成绩的样本中，随机取出样本容量为10的样本，其中男生5名，计算得到男生成绩的样本均值为，方差为；女生成绩的样本均值为，方差为．求这10名学生成绩的标准差；
（3）通过初赛，确定2名水平相当的优秀选手进行决赛，决赛采取7局4胜制，胜者获得全部奖金，决赛期间前四局打成时因故终止．有人提出按分配奖金，你认为这样分配合理吗？为什么？
【答案】（1），81.4
（2）8 （3）不合理，理由如下：
设两位选手分别为甲、乙，每场比赛的两人获胜的概率为．
前4局，不妨设甲赢了3局，乙赢了1局．
若甲最终赢了比赛，可能是或或．
当时，甲赢得的概率为；
当时，甲赢得的概率是；
当时，甲赢得的概率是，
打成后，甲获得胜利的概率为，乙获得胜利的概率为．
所以应该按照的比例分配奖金更合理，而不是．
【解析】
【分析】（1）由面积和为求出，利用百分位数的定义计算；
（2）利用分层抽样的方差公式计算；
（3）前4局，不妨设甲赢了3局，乙赢了1局，利用独立事件和互斥事件的概率公式计算甲、乙获胜的概率即可.
【小问1详解】
由频率分布直方图得，，解得.
前个矩形面积和为，前个矩形面积和为，
所以60百分位数在区间内，为.
【小问2详解】
由题意得，
所以
．
所以标准差为．
【小问3详解】
略
19. 如图所示，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，，，，．
（1）若平面平面，求证：；
（2）求四面体外接球的半径；
（3）过的中点作平面与棱，，分别交于点，，，记，，，探究是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】（1）证明：因为，面，面，所以面.
又面，面面，所以.
（2）
（3）是定值4．
【解析】
【分析】（1）利用线面平行判定定理推出线面平行，再利用线面平行性质定理即可证明；
（2）先利用面面垂直性质定理得到线面垂直，再找到底面直角三角形的外心，从而判断出球心位置，最后利用勾股定理即可求得外接球半径；
（3）利用体积比例关系，把面积比转化为线段比，列出含参数的等式，化简后即可得到定值.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
设为四面体外接球的球心，外接球的半径为，
取的中点，连接，因为是等边三角形，
所以．
由面面，面面，面，
所以面．
连接交于点，则为的中点，取的中点，连接，
所以，所以面．
因为，故．所以球心在上．
所以，则，解得.
故四面体外接球的半径为.
【小问3详解】
在直角梯形中，
，．
因为
．
同理可得：．
所以．
，两边同除．得．
即．所以是定值4．