2027年高考数学一轮复习学案 专题09 向量及其应用

这是一份2027年高考数学一轮复习学案 专题09 向量及其应用学案主要包含了知能解读 01，知能解读 02，知能解读 03，知能解读 04，知能解读 05，知能解读 06，知能解读 07，重难点突破 01等内容，欢迎下载使用。
理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系.
盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分.
【知能解读 01】向量的实概念
【知能解读 02】平面向量的运算
【知能解读 03】向量的数乘运算
【知能解读 04】向量的数量积
【知能解读 05】平面向量基本定理及坐标表示
【知能解读 06】平面向量运算的坐标表示
【知能解读 07】平面向量的应用
破·重点难点：突破重难点，冲刺高分.
【重难点突破 01】平面向量的平行向量
【重难点突破 02】平面向量的数乘与线性运算
【重难点突破 03】平面向量数量积的性质及其运算
【重难点突破 04】平面向量的投影向量
【重难点突破 05】平面向量的基本定理
【重难点突破 06】用平面向量的基底表示平面向量
【重难点突破 07】平面向量共线（平行）的坐标表示
【重难点突破 08】数量积表示两个平面向量的夹角
【重难点突破 09】数量积判断两个平面向量的垂直关系
辨·易混：辨析易混知识点，夯实基础.
【易混易错 01】零向量与单位向量
【易混易错 02】向量的运算
【易混易错 03】数量积的运算律
【易混易错 04】向量数乘的有关计算
【易混易错 05】三角形的心的向量表示
【易混易错 06】已知向量共线（平行）求参数
【易混易错 07】平面向量的正交分解与坐标表示
【易混易错 08】利用向量垂直求参数
05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类
【方法技巧 01】平面向量共线问题
【方法技巧 02】利用坐标求向量的模
【方法技巧 03】由坐标判断向量是否共线
【方法技巧 04】已知向量垂直求参数
【方法技巧 05】用向量解决线段的长度问题
【方法技巧 06】由向量共线（平行）求参数
【方法技巧 07】线段的定比分点
向量的实概念
知识点 1向量的实际背景与概念
数量与向量
在数学中，把既有大小又有方向的量叫做向量，而把只有大小没有方向的量称为数量.
向量的二要素
向量与矢量
数学中的向量是从物理中的矢量（如位移、力、速度、加速度等）抽象出来的，但在这里我们仅考虑它的大小和方向；而物理中的这些量，既同时具备大小和方向这两个属性，又具备其他属性（如“力”是由大小、方向、作用点共同决定的）.
向量由大小与方向两个要素组成.向量的大小是代数特征，方向是几何特征.
知识点 2 向量的几何表示
有向线段的概念
具有方向的线段叫做有向线段.通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向，以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作 AB ，以 B 为起点， A 为终点的有向线段记作 BA .
有向线段的长度
线段 AB 的长度也叫做有向线段 AB 的长度，记作| AB | ，易知| AB || BA |.
有向线段的三要素
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了.
向量的表示
方法
形式
几何表示
向量可以用有向线段 AB 表示，我们把这个向量记作向量 AB .
字母表示
向量也可以用字母 a, b, c,表示.【印刷用黑体 a,b,c，书写用 →, b, → ，注意区分.】
ac
有向线段与向量的区别和联系
向量的长度
向量 AB 的大小称为向量 AB 的长度（或称模），记作| AB | .向量 AB 的长度在数值上等于线段 AB 的长度，因此向量的长度是非负实数.
两种特殊的向量
长度为0 的向量叫做零向量，记作0 .
0 与0 的区别及联系， 0 是一个实数， 0 是一个向量，且有| 0 | 0 .
长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
向量相关概念的理解
定义中的零向量、单位向量都是只限制长度，不确定方向.
当有向线段的起点 A 与终点 B 重合时， AB  0 .
在平面内，将所有单位向量的起点平移到同一点，它们的终点可构成一个半径为1的圆.
知识点 3相等向量与共线向量
平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a 与b 平行，记作a b .
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a ，都有0 a .
相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a 与b 相等，记作a  b .
任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定.
共线向量
区别
从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素.因此，这
是两个不同的量.在空间中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的.
联系
有向线段是向量的几何表示，并不是说向量就是有向线段.一条有向线段对应着一个向量，但一
个向量对应着无数多条有向线段.
由于向量与起点无关，因此向量是可以自由平行移动的.也就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.
如图， a, b, c 是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上任取一点O ，则可在l 上分别
对共线（平行）向量的四个提醒
理解平行向量的概念时，需注意，平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的.
共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义.实际上，共线（平行）向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.
对共线向量的讨论，要考虑方向、长度，尤其不能忘记对零向量的讨论.
向量相等具有传递性，即若a  b ， b  c ，则a  c .而向量的平行不具有传递性，即若a b ， b c ，未必有a c .因为零向量平行于任意向量，那么当b  0 时，a, c 可以是任意向量，所以a 与c 不一定平行.
但若b  0 ，则必有a b ， b c  a c .因此，解答问题时要看清题目中是任意向量还是任意非零向量.
作出OA  a ， OB  b ， OC  c ，如图.
表示共线（平行）向量的有向线段可以在同一条直线上，也可以在平行的直线上.
平面向量的运算
知识点 1向量加法的定义及两个重要法则
定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
向量加法的三角形法则
前提：已知非零向量a, b .
作法：在平面内任取一点 A ，作 AB  a ， BC  b ，连接 AC.
结论：向量 AC 叫做a 与b 的和，记作a  b ，即a  b  AB  BC  AC .
图形：
向量加法的平行四边形法则
前提：已知两个不共线的向量a, b .
作法：在平面内任取一点O ，作OA  a ， OB  b ，以 OA,OB 为邻边作OACB .
结论：以O 为起点的向量OC 就是向量a 与b 的和，即OC  a  b .
图形：
规定：对于零向量与任意向量a ，我们规定a  0  0  a  a .
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；
向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量.
三角形法则与平行四边形法则的适用条件
知识点 2多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示（对应多个向量相加的图形 ）.
法则
三角形法则
平行四边形法则
两向量位置关系
两向量共线或不共线均可
只适用于两向量不共线的情况
两向量起点、终点的特点
一个向量的终点为另一个向量的起点
两向量起点相同
向量加法的多边形法则是向量加法的三角形法则的推广，是由求两个向量的和推广到求多个向量的和，强调的也是“首尾相接”.
当首尾依次相接的向量构成封闭的“向量链”时，各向量的和为 0 .如图 6.2.1 - 2，在(n 1) 边形
A0 A1  An 中，有 A0 A1  A1 A2  A2 A3  An1 An  An A0  0 .运用以上结论也可以判断一个图形是否为封闭图形.
知识点 3 向量加法的运算律
交换律： a  b  b  a
在 如 图 所 示 的 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， AB  DC  a ， AD  BC  b ， 则 在
ABC 中 ，
AC  AB  BC  a  b ，在ADC 中， AC  AD  DC  b  a ，故a  b  b  a ，即向量的加法满足交换律.（对应平行四边形交换律图形 ）
结合律： (a  b)  c  a  (b  c)
如所示， AC  AB  BC  a  b ， BD  BC  CD  b  c ，所以在ADC 中，
AD  AC  CD  (a  b)  c ，在ADB 中，AD  AB  BD  a  (b  c) ，从而(a  b)  c  a  (b  c) ，即向量的加法满足结合律.（对应结合律图形 ）
1. 当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立.
我们可以从位移的物理意义理解向量加法的交换律：
一质点从点 A 出发，方案①先走过的位移为向量a ，再走过的位移为向量b ，方案②先走过的位移为向量b ，再走过的位移为向量a ，则方案①②中质点 A 一定会到达同一终点.
多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a  b)  (c  d)  (b  d)  (a  c) ；
a  b  c  d  e  [d  (a  c)]  (b  e) .
知识点 4 向量的减法运算
相反向量
我们规定，与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a .零向量的相反向量仍是零向量.
由相反向量的定义，我们有如下结论：
(a)  a ；
a  (a)  (a)  a  0 ；
若a, b 互为相反向量，则a  b ， b  a ， a  b  0 .
向量减法的定义
向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a  b  a  (b) .求两个向量差的运算叫做向量的减法.
向量减法的三角形法则
作非零向量a, b 的差向量a  b ，可以简记为“共起点，连终点，指向被减”.
由上可知，可以用向量减法的三角形法则作差向量；也可以转化为向量的加法a  b  a  (b)（即平行
如图，已知向量a, b ，在平面内任取一点O ，作OA  a ， OB  b ，则 BA  OA  OB  a  b .即a  b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义.
四边形法则）作差向量，显然，此法作图较烦琐.
3. 如图，以 AB,AD为邻边作平行四边形 ABCD，则两条对角线所对应的向量 AC  a  b ， DB  a  b .
【真题演练】（2025·辽宁·一模）已知ABC ，点 D 满足 BD  3BC ，则 AD  （ ）
3AB  2ACB． 3AC  2AB
3 –––→
AB 
1 –––→
AC
1 –––→
AC 
3 –––→
AB
2222
【答案】B
【分析】由图形结合向量的加法法则可得.
【详解】
故选：B
–––→–––→–––→–––→–––→–––→–––→ –––→–––→–––→

AD  AB  BD  AB  3BC  AB  3 AC  AB  3AC  2 AB .
向量的数乘运算
知识点 1 向量的数乘运算
向量的数乘的定义
一般地，我们规定实数与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a ，它的长度与方向 规定如下：
(1) | a || || a | ；
(2) 当 0 时，a 的方向与a 的方向相同；当 0 时，a 的方向与a 的方向相反
当 0 时， a  0 ；当a  0 时，a  0 应该特别注意的是结果是零向量，而非实数0
向量的数乘的几何意义
当| | 1时，有| a || a |，这意味着表示向量a 的有向线段在原方向（  1 ）或反方向（ 1） 上伸长到原来的|| 倍；
当 0 | | 1 时， 有| a || a | ，这意味着表示向量 a 的有向线段在原方向（ 0   1 ）或反方向
（ 1   0 ）上缩短到原来的|| 倍
向量的数乘的运算律
设,为实数，那么
(1)(a)  ()a ；
(2) ( )a  a  a ；
(a  b)  a  b
特别地，我们有()a  (a)  (a) ，(a  b)  a  b
(1) 实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如 a ， a 均没有意义
(2) 对于非零向量a ，当时， a 表示a 方向上的单位向量
1
| a |
(3) 向量的数乘运算类似于代数多项式的运算主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”
及“公因式”指的是向量，实数指的是向量的系数
向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量 a, b ， 以及任意实数 ,1,2 ， 恒有
(1a  2b)  1a 2b
线性表示的概念
根据向量的线性运算，可知：若一个向量c 是由另一些向量通过线性运算得到的，我们就说这个向量c 可以用另一些向量线性表示.
【真题演练 1】（2025·四川自贡·三模）在ABC 中， D 是 AB 边上的中点，则CA  （ ）
2CD  CB
【答案】A
CD  2CB
2CD  CB
CD  2CB
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】因为 D 是 AB 边上的中点，
所以CA  CB  2CD ，即CA  2CD  CB .
故选：A.
–––→–––→
【真题演练 2】（2025·广东深圳·二模）在四边形 ABCD 中，若 AC  AB  AD ，则“ AC  BD ”是“四边形 ABCD
是正方形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
–––→–––→
【分析】根据 AC  AB  AD ， AC  BD 判断出四边形 ABCD 的形状，结合充分条件、必要条件的定义判断
即可.
【详解】在四边形 ABCD 中，若 AC  AB  AD ，则四边形 ABCD 为平行四边形，
–––→–––→
若 AC  BD ，则平行四边形 ABCD 为菱形，但不一定为正方形，
–––→–––→
四边形 ABCD 是正方形时，必有 AC BD ，即有 AC  BD ，
–––→–––→
故“ AC  BD ”是“四边形 ABCD 是正方形”的必要不充分条件.
故选：B.
知识点 2向量共线定理
向量共线定理
向量a(a  0) 与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使b  a
a  0 不能漏掉若a  b  0 ，则实数可以是任意实数；若a  0 ， b  0 ，则不存在实数，使得b  a
向量共线定理的应用——求参
一般地，解决向量a, b 共线求参问题，可用两个不共线向量（如e1, e2 ）表示向量a, b ，设b  a(a  0) ，
()  0

化成关于e1 , e2 的方程()e1  ()e2 ，由于e1 , e2 不共线，则()  0 ，解方程组即可
根据该定理，设非零向量a 位于直线l 上，那么对于直线l 上的任意一个向量b ，都存在唯一的一个实数，使b  a 也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.
04向量的数量积
知识点 1向量的数量积
向量数量积的物理背景
在物理课中我们学过功的概念： 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s ， 那么力 F 所做的功
W | F || s | cs，其中是F 与s 的夹角.
我们知道力和位移都是矢量，而功是一个标量（数量）.这说明两个矢量也可以进行运算，并且这个运算明显不同于向量的数乘运算，因为数乘运算的结果是一个向量，而这个运算的结果是数量.
向量的夹角
已知两个非零向量a, b ，如图所示， O 是平面上的任意一点，作OA  a ， OB  b ，则AOB 叫做向量a 与b 的夹角，也常用a, b 表示.
向量夹角的特殊情形，如图所示:
当 0 时，向量a, b 共线且同向；

当 时，向量a, b 相互垂直，记作a  b ；
2
当时，向量a, b 共线且反向.
两个向量数量积的定义
已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为，我们把数量| a || b | cs叫做向量a 与b 的数量积（或内积），
记作a  b ，即a  b | a || b | cs.
a  b 不能表示为a  b 或ab .
a  b | a || b | cs两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，其符号由夹角的余弦值决定.
规定：零向量与任一向量的数量积为0 ，即0  a  0 .
向量的投影
如图，设a, b 是两个非零向量， AB  a ， CD  b ，我们考虑如下的变换：过 AB 的起点 A 和终点 B ，分
别作CD 所在直线的垂线，垂足分别为 A1 , B1 ，得到 A1B1 ，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A1B1 叫做向量a 在向量b 上的投影向量.
如图，我们可以在平面内任取一点O ，作OM  a ， ON  b .过点 M 作直线 ON 的垂线，垂足为 M1 ，则
OM1 就是向量a 在向量b 上的投影向量.显然，a 在b 上的投影向量（与向量b 共线）与b 在a 上的投影向量（与向量a 共线）是不同的.
向量数量积的几何意义
如图， | a | cs称为向量a 在向量b 上的投影的数量，可以表示为a 
b
.
| b |
向量的数量积a  b 的几何意义：b 的长度| b |与a 在b 上的投影的数量| a | cs的乘积；或a 的长度| a |与b
在a 上的投影的数量| b | cs的乘积.
→ →∘ →→
【真题演练 1】（2025·湖南永州·模拟预测）已知 a, c  60 , a  3, c  2 ，求a  c 与a 在c 上的投影长度的
比值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】首先根据向量数量积公式求出a  c ，再根据向量投影公式求出a 在c 上的投影长度，最后求它们的
比值．
→→→ →1
【详解】因为 a  3, c
 2,
a, c
 60, cs60  ．
2
→ →→ →→ →
所以a  c  a c cs a, c  3 ．
→→ →3
所以向量a 在c 上的投影长度为 a cs
a, c  ，
2
故a  c 与a 在c 上的投影长度的比值为3  3  2 ．
2
故选：B
→
【真题演练 2】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知| a | 6 ，| b | 8 ，b 在a 上的投影的数量为4 ，则| a  b |
（ ）
41
A．6B． 2
C． 2
D． 2
13
37
【答案】C
→
【分析】根据投影数量求出数量积，故可求| a  b | .
→
【详解】因为b 在a 上的投影的数量为4 ，故 a  b  4 ，故 → b  24 ，
→a
a
a  2a b  b
→ 2→ →→ 2
100  48
13
故 →→，
| a  b | 2
故选：C.
知识点 2向量数量积的性质和运算律
向量数量积的性质
设a, b 是非零向量，它们的夹角是， e 是与b 方向相同的单位向量，则
a  e  e  a | a | cs.
任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量上的投影的数量.
a  b  a  b  0 .
可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题.
当a 与b 同向时， a  b | a || b | ；当a 与b 反向时， a  b   | a || b | .
a  a
特别地， a a  a2 | a |2 或| a |.
当两个向量相等时，这两个向量的数量积等于向量的模的平方，因此可用于求向量的模.
| a  b || a || b | ，当且仅当向量a, b 共线，即a b 时，等号成立.
可以解决有关“向量不等式”的问题.
cs
a b
.
| a || b |
夹角公式，实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两向量的夹角.
向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：对于向量a, b, c 和实数，有
交换律： a  b  b  a ；
数乘结合律： (a)  b  (a  b)  a  (b) ；
分配律： (a  b)  c  a  c  b  c .
向量的数量积、向量的数乘、实数的乘法之间的区别
向量的数量积
向量的数乘
实数的乘法
a  b  0  a, b 至少有一个为0

或a, b 
2
a  0( R)   0 或a  0
ab  0  a, b 至少有一个为0
a  b  b  c  b  0 或a  c 或
a  b( R)  a  b 或
ab  bc  a  c 或b  0
→→→→
【真题演练 1】（2025·四川达州·模拟预测）已知向量a ， b 的夹角为 120°， a  2 ， b  1，则 a  2b 
b, a  c  
2
 0
(a  b)  c 与a  (b  c) 不一定相等
(m)a  (ma)( R, m  R)
(ab)c  a(bc)
3
A．
B．2C． 2
D． 4
3
3
【答案】C
→→ 2
【分析】由a  2b  计算即可.
→→ 2→2
→ →→2
【详解】因为a  2b   a  4a·b  4b  4  4 21cs120  4  12 ，
→→
所以 a  2b  2 3 ，
故选：C.
→
→→→→→→
2
【真题演练 2】（2025·江西新余·模拟预测）已知非零向量a, b 满足
a  b
， a  2b
 2a  b
，则下列结
论正确的是（ ）
→ →
→→→
→→→
→→→
cs
【答案】B
a, b 
3 2
16
B． 3a  8b   a
→ →3 →2
C． 3a  8b   b
D． 8a  3b   a
【分析】将已知条件平方，化简可得a  b   a
8
，利用该结论依次判断各个选项.
2
‴→22
【详解】由于
a  b ，则2a
 b ，
→→→→
→24b 2
→→22→
又由 a  2b  2a  b 可得 a  4a b  4a  b  4a b ，
→→22
→2→ →
3 →2
即8a  b  3a  3b  3a ，即a  b   8 a ，
→→→2
→a  b3a3 2
a b
→ →
对于选项A ， cs
a, b
 
8
→  
2
2a16
，故A 错误；
→ →3 →2
→→2
→→→
对于选项B ，由于a  b   a
8
，则8a  b  3a
 0，即3a  8b  a  0 ，
→→→
所以3a  8b   a ，故B 正确；
→→→→
9a2→2
→
→2
16a
对于选项C ， 3a  8b  b  3a  b  8b  →2  119a  0 ，故C 错误；
88
→→→→2→ →→29 →255 →2
对于选项D ， 8a  3b  a  8a  3a  b  8a  a a  0 ，故D 错误．
故选： B ．
88
→→→→
【真题演练 3】（2025·河北·三模）已知 a  2 b  2 ， a b 1，则 a  b  （ ）
3
7
A．1B．2C．D．
【答案】D
→
→→ 22→2→ →
【分析】利用 a  b  a  b  2a  b ，可求模.
→
→→ 22→2→ →
【详解】 a  b  a  b  2a  b  4 1 2  7 ，
7
→→
故 a  b ．
故选：D．
平面向量基本定理及坐标表示
知识点 1平面向量基本定理
平面向量基本定理
若 e1 , e2 是同一平面内两个不共线向量， 那么该平面内任一向量 a ， 有且只有一对实数 1,2 ， 使
a  1e1  2e2 .若e1 , e2 不共线，{e1 , e2} 叫表示平面内所有向量的一个基底.
定理的证明：包含存在性和唯一性.存在性是说存在实数1,2 ，使a  1e1  2e2 ，通过作平行线构造平 行四边形，结合向量相等证明；唯一性是指对任一向量a ，若a  1e1  2e2 且a  1e1  2e2 ，利用e1 与 e2 不共线，可推出1  1 ， 2  2 .
定理的实质：平面内任一向量可由平面内任意不共线的两个向量线性表示，即基于基底{e1, e2} 对向量a 进行分解.
定理的功能：由e1 , e2 （不共线）的所有线性组合构成的集合{1e1 2e2 | 1,2  R} 是平面内全体向量，
{e1, e2} 是基底，体现转化与化归思想，解决几何问题时可通过选基底转化向量来求解.
对平面向量基本定理的理解
同一平面内两个不共线向量可构成基底，同一非零向量在不同基底下分解式不同；基底给定时， 1,2 被
a, e1 , e2 唯一确定；若{e1 , e2} 是基底， a 与e1 共线则2  0 ，与e2 共线则1  0 ， a  0 时1  2  0 .
平面向量基本定理的拓展： n 个不共线向量e1 ,, en 与 n 个实数1 ,,n 组成的1e1 nen 是向量 线性组合，若a 是其线性组合，称a 可分解成这些向量的线性组合，{e1,, en }是关于a 的基底.
【真题演练 1】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在平行四边形 ABCD 中， AD  2, BAD  45 , E 为 CD
的中点，若 AC  BE  2 ，则 AB  （ ）
2
B．
C．
D．2
3
【答案】A
【分析】利用平行四边形的性质，将 AC 与 BE 用–––→ 和–––→ 表示出来，然后根据向量数量积的运算律进行展
ABAD
开，最后结合已知条件求解 AB 的长度.
–––→–––→
【详解】用 AB 和 AD 表示 AC 与 BE ，在平行四边形 ABCD 中， AC  AB  AD .
–––→
1 –––→
–––→
1 –––→
因为 E 为CD 的中点，所以 DE 
DC ，又因为在平行四边形中 D C  AB ，则 DE 
2
2 AB .
–––→–––→
1 –––→
–––→–––→
1 –––→
那么 BE  BC  CE ， BC  AD ， CE  DE   2 AB ，所以 BE  AD  2 AB .
–––→–––→1 –––→–––→ –––→–––→–––→–––→1 –––→
已知 AC  AB  AD ， BE  AD  2 AB ，则 AC  BE  ( AB  AD)  ( AD  2 AB) .
–––→–––→–––→1 –––→–––→ –––→1 –––→2–––→21 –––→ –––→1 –––→ –––→1 –––→2–––→2
可得： ( AB  AD)  ( AD  AB)  AB  AD  AB  AD  AD  AB  AB  AD  AB  AD .
22222
2
已知 AD ， BAD  45 ，设 AB  x ，
–––→ –––→–––→ –––→
则 AB  AD | AB || AD | cs BAD  x 
2 cs 45
 x 
2  2  ，
2
–––→ 2
–––→
–––→2
–––→
即 AD | AD |2 ( 2)2  2 ， AB | AB |2  x2 .
1 –––→ –––→
所以 AB  AD 
1 –––→2
AB
–––→2
 AD
 1 x  1
x2  2 .
2222
因为 AC  BE  2 ，即 1 x  1 x2  2  2 ，得 x2  x  0 ，则 x  0 或 x  1 .
22
因为 AB 为平行四边形的边，长度不为0 ，所以舍去 x  0 ，故 AB  1.
故选：A.
–––→
1 –––→
3 –––→
【真题演练 2】（2025·湖南·三模）在ABC 中，点 D 是线段 BC 上一点，若 BD  BC ， AD  4 AB  4 AC ，
则实数 （ ）
1123
A． 4B． 3C． 3D． 4
【答案】D
【分析】由向量的线性运算得 AD  1 AB AC ，结合平面向量基本定理即可得解.
–––→–––→ –––→–––→–––→–––→–––→ –––→–––→–––→
【详解】因为 BD  BC ，所以 AD  AB  BD  AB  BC  AB  AB  AC  1 AB  AC ，
–––→1 –––→3 –––→3
因为 AD 
故选：D．
AB 
44
AC ，所以 ．
4
知识点 2平面向量的正交分解及坐标表示
正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫把向量作正交分解，其中两个基向量互相垂直构成正交基底.平面内任一向量a 可分解为1a1 2a2 ，当a1 与a2 垂直时，就是正交分解，比如重力沿互相垂 直方向分解.
向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，取与 x 轴、 y 轴方向相同的单位向量 i, j 作为基底，平面内任意向量a 可表示为a  xi  yj ，有序数对(x, y) 是向量a 的坐标，记作a  (x, y) ， x 、 y 分别是a 在 x 轴、 y 轴上的坐标，且i  (1, 0) ， j  (0,1) ， 0  (0, 0) .
点的坐标与向量的坐标的关系：平面内与a 相等的向量可用以原点O 为起点的OP 表示，a  OP  (x, y)
时，(x, y) 既是点 P 坐标也是OP 坐标，即平面内每个向量可用有序数对唯一表示，向量与有序数对一一对应.
点的坐标与向量的坐标的区别与联系
表示形式上，向量a  (x, y) 用等号连接，点 A(x, y) 无等号；意义上，点坐标表位置，向量坐标表大小和
方向，(x, y) 可表点或向量，需指明；联系是向量坐标与其终点坐标不一定同，起点在原点时，向量坐标与终点坐标相同.
【真题演练】（2025·安徽马鞍山·二模）已知平面向量a ，b 满足a  1,  3  ，b  2, x ，若a / /b ，则 x （ ）
3
3
→
A． B． 2
C．
D． 2
3
3
【答案】B
【分析】由向量平行坐标表示可得答案.
→
3
【详解】因a / /b ， a  1,  3  ， b  2, x ，则2 x .
故答案为：B
平面向量运算的坐标表示
知识点 1平面向量线性运算的坐标表示
两个向量和（差）的坐标表示
由于向量a  (x1 , y1 ) ， b  (x2 , y2 ) 等价于a  x1i  y1 j ， b  x2i  y2 j ，所以
a  b  (x1i  y1j)  (x2i  y2 j)  (x1  x2 )i  ( y1  y2 )j ，即a  b  (x1  x2 , y1  y2 ) .
同理可得a  b  (x1  x2 , y1  y2 ) .
这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.
任一向量的坐标
已知 A(x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，坐标原点为O ，则OA  (x1, y1 ) ， OB  (x2 , y2 ) ，所以
AB  OB  OA  (x2 , y2 )  (x1, y1 )  (x2  x1, y2  y1 ) .
向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关.
因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.因此，在求一个向量的坐标时，先求出这个向量的起点坐标和终点坐标.
当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变.
求一个点的坐标时，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.
→→→
【真题演练 1】（2025·云南·模拟预测）已知向量a  2,1 ， b  1, 2 ，则 a  b  （ ）
2
2D．
3
5
【答案】A
a  b
【分析】利用向量相减的坐标表示，得到 →的坐标表示，再使用公式计算模长即可.
→→
2
【详解】 a  b  2，1 (1, 2)  1， 1  .
故选：A．
【真题演练 2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）向量 a ， b ， c 在正方形网格中的位置如图所示，若
ca
→  →  b ， R ，则   的值为（ ）
A． 2.5B． 3C． 2.5D． 3
【答案】C
【分析】建立坐标系，然后用坐标法计算即可
【详解】
如图，以 O 为坐标原点建立坐标系，
则 →→
a  (1,1), b  (6, 2), c  (1, 3)
所以(1, 3)  (1,1)  (6, 2)
1   6
 2
则3   2


，则
1 ，则  2.5 .

故选：C.
  2
知识点 2 平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
由于向量a  (x1 , y1 ) ， b  (x2 , y2 ) 分别等价于a  x1i  y1 j ， b  x2i  y2 j ，所以
11221 21 21 21 2
a  b  (x i  y j)  (x i  y j)  x x i2  x y i  j  y x j i  y y j2 .又i  i  1， j j  1 ， i  j  j i  0 ，所以
a  b  x1x2  y1 y2 .
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
已知i, j 为单位正交向量，则| i || j | 1 ，从而i2 | i |2  j2 | j |2  1； i  j ，即 i  j  j i  0 .
公式a  b | a || b | csa, b 与a  b  x1x2  y1 y2 都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，两者可以相互推导.若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a  b | a || b | csa, b 求解；若已知
两向量的坐标，则可选用公式a  b  x1x2  y1 y2 求解.
平面向量长度（模）的坐标表示
x2  y2
若a  (x, y) ，则| a |2  x2  y2 或| a |.
其含义是：向量a 的长度（模）等于向量a 的横、纵坐标平方和的算术平方根.
如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1, y1 ) ， (x2 , y2 ) ，那么 a  (x2  x1, y2  y1 ) ，
(x  x )2  ( y  y )2
21
21
| a |.
→→
【真题演练 1】（2025·福建漳州·模拟预测）已知向量a   x,1 ， b  4, 2 ，且a / /b ，则a b （ ）
A． 10
B． 6
C．6D．10
【答案】A
【分析】根据平面向量平行的坐标表示计算出 x 的值，可求得数量积.
a / /b
【详解】由 →可得2x 1 4  0 ，求得 x  2 ；
→
因此可得a·b  2 4 12  10 .
故选：A
【真题演练 2】（2025·河北衡水·模拟预测）已知向量a  1, 2, b  2, 3 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． b  a  a  3
6
C． 2b  a  2
【答案】C
B． a  b  21a 13b
 5 5 
D． b 在a 方向上的投影向量为 8 , 16 

【分析】根据向量减法的坐标运算求出b  a ，再根据向量的数量积运算判断 A；根据向量加减的坐标运算求出a  b, 21a 13b ，再根据数量积是否为 0 判断 B；根据向量模长的计算公式判断 C；根据投影向量的计算
公式判断 D.
→
→→→→
【详解】对于 A，因为a  1, 2, b  2, 3 ，所以b  a  1,1 ，所以b  a  a  11  1 2  3 ，故 A 正确；
→→→
对于 B，因为a  1, 2, b  2, 3 ，所以a  b  3, 5 ， 21a 13b  5, 3 ，
→→→→
所以a  b 21a 13b   35  5  3  0 ，故 B 正确；
→→→→
32  42
对于 C，因为a  1, 2, b  2, 3 ，所以2b  a  3, 4 ，所以 2b  a 
 5 ，故 C 错误；
→→
12  22
5
对于 D，因为a  1, 2, b  2, 3 ，所以 a 
→

， a  b  1 2  2 3  8 ，
a  b →8 8 16 
b 在a 方向上的投影向量为 → 2 ·a  ·1, 2   , ，故 D 正确.
a5 5 5 
故选：C.
知识点 3 平面向量位置关系的坐标表示
共线的坐标表示
两向量共线的坐标表示
设a  (x1 , y1 ) ， b  (x2 , y2 ) ，其中b  0 .我们知道， a, b 共线的充要条件是存在实数，使a  b .如果
用坐标表示， 可写为 (x , y )  (x , y ) ， 即 x1  x2 . 消去， 得 x y  x y  0 . 这就是说， 向量
1122
 y  y
1 22 1
 12
a, b(b  0) 共线的充要条件是 x1 y2  x2 y1  0 .（可简记为：纵横交错积相等）
22
还可以写成 x1  y1 (x  0, y  0) ，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例.
x2y2
当a  0 ，b  0 时，a b ，此时 x1 y2  x2 y1  0 也成立，即对任意向量a, b 都有：x1 y2  x2 y1  0  a b .
三点共线的坐标表示
若 A(x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ， C(x3 , y3 ) 三点共线，则有 AB  BC ，从而(x2  x1, y2  y1 )  (x3  x2 , y3  y2 ) ，
即(x2  x1 )( y3  y2 )  (x3  x2 )( y2  y1 ) ，
或由 AB  AC 得到(x2  x1 )( y3  y1 )  (x3  x1 )( y2  y1 ) ，或由 AC  BC 得到(x3  x1 )( y3  y2 )  (x3  x2 )( y3  y1 ) . 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C 三点共线.
夹角的坐标表示
设 a，b 都是非零向量，a  (x1 , y1 ) ，b  (x2 , y2 ) ，是a 与b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示
可得cs
a  b 
x2  y2x2  y2
1122
| a || b |
x1 x2  y1 y2.
cs的符号只由 x1 x2  y1 y2 决定.
11
x2  y2
1 21 2 .
x x  y y
上的投影向量的长度的坐标表示为
| a |
11
22
2. 由于向量b  (x , y ) 在向量a  (x , y ) 上的投影向量的长度为| b | cs a  b ，从而向量b 在向量a
2
 0 时， .
1 21 2
；当 x x  y y
[0,) 2
1 21 2

；当 x x  y y  0 时，
]

 (, 2
1 21 2
1. 当 x x  y y  0 时，
垂直的坐标表示
设a  (x1 , y1 ) ， b  (x2 , y2 ) ，则a  b  x1x2  y1 y2  0 .（可简记为：横横纵纵积相反） 可与向量共线的坐标表示对比记忆.即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0 .
设 A(x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) ， C(x3 , y3 ) 为坐标平面内的三个点，则
AB  AC  AB  AC  0  (x3  x1 )(x2  x1 )  ( y3  y1 )( y2  y1 )  0 .
【真题演练 1】（2025·广东揭阳·三模）已知向量a  1, 3 ， b  2,1 ，则cs
→ →→
a, a  2b
 （ ）
4 65
65
【答案】A
2 35
35
65
65
4 35
35
【分析】根据向量线性运算的坐标表示方法，求出a  2b 的坐标，再根据向量夹角的坐标计算公式，求出结
果.
【详解】由题意可得a  2b  5,1 ，故cs
→ →→
a, a  2b
→→→

a  a  2b
 → →→
 1 5  31  4 .
26
65
a  a  2b10 65
故选：A.
→→ →
【真题演练 2】（2025·河南·二模）已知平面向量a  1, 3 ， b  2,1 ，则cs a, b  （ ）
2
10
【答案】A
2
5
 2
10
 2
5
【分析】利用向量的夹角公式，即可求解.
→
→ →a b12
a  b
→
→
5 2
【详解】由题意可得cs a, b  10 .
故选：A.
07平面向量的应用
知识点 1 平面几何中的向量方法
1 向量在平面几何中常见的应用
证明线线平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：
a b  a  b  x1 y2  x2 y1  0(b  0 ) 。
证明线线垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件： a  b  a  b  0  x1x2  y1 y2  0 。
求夹角问题，利用夹角公式：
csa, b 
a  b 
x2  y2 x2  y2
1122
| a || b |
x1 x2  y1 y2。
a2
x2  y2
求 线 段 的 长 度 或 说 明 线 段 相 等 ， 可 以 用 向 量 的 模 ： | a |或
(x  x )2  ( y  y )2
12
12
–––→
| AB || AB |。
2 向量法解决平面几何问题的“三步曲”
转化建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题
运算通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题
翻译把运算结果“翻译”成几何关系
这其实也是用向量法解决其他问题的思路，即从条件出发，选取基底，把条件翻译成向量关系式(用基底表示其他向量)，然后通过一系列的向量运算，得到新的向量关系式，则这个新的向量关系式的几何解释就是问题的结论。
【真题演练】（2025·广东广州·二模）在平面四边形 ABCD 中， AC  AD  4, CAD  60, ABC  90，若
 ABD 的面积是△BCD 的面积的 2 倍，则 BD 的长度为.
7
【答案】2
【分析】如图建立直角坐标系，设 AC，BD 交点为 E，由 ABD 的面积是△BCD 的面积的 2 倍可得 E 坐标，然后由 B，E，D 三点共线结合 AC  4 可得 B 点坐标，即可得答案.
【详解】如图，以 D 点为原点，取 AC 中点为 F，以 DF 所在直线为 x 轴，以过 D 点，垂直于 DF 直线为 y 轴，建立直角坐标系.
又 AC  AD  4，CAD  60.
则 D 0, 0，A 2 3, 2，B  x, y ，C 2 3, 2.
1 AH  BD
过 C，A 两点作 DB 垂线，垂足为 G，H，则 S ABD  2 
AH  2 .
AE  2
S BCD
E  x , y
1 CG  BDCG
2
–––→  1 –––→
又注意到AHE ~CGE ，则
EC
.设1 1 ，则CECA ，
3
3,
则x  2 3, y  2  1 0, 4  E 22  .
113
3 

注意到 B，E，D 三点共线，则 DE / / DB ，则 2 x  2 3 y  x  3 3 y .
BC2  BA2
3
又 AC 
 4  2x  2 3 2   y  22   y  22  16
 x2  4 3x  y2  8  0  7 y2  9 y  2  0   y 17 y  2  0
3
则 y  1或 y  2 ，又由图可得 x  2
7
 y  1，x  3 3 ，则 B 3 3,1.
27 1
则 DB  2 7 .
7
故答案为： 2
知识点 2 向量在物理中的应用
向量是在物理的背景下建立起来的，物理中的一些量，如位移、力、速度、加速度、功等都与向量有着密切的联系，因此可以利用向量来解决物理中的问题。具体操作时，要注意将物理问题转化为向量关系式，通过向量的运算来解决，最后用来解释物理现象。
1 力学问题的向量处理方法
向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量。用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上。
2 速度、位移问题的向量处理方法
速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成。
3 向量与功、动量
物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积。
力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W | F || s | csF, s 。功是一个实数，它可正，可负，也可为零。
动量涉及物体的质量m ，物体运动的速度 v ，因此动量的计算是向量的数乘运算。
【真题演练】（2025·四川成都·模拟预测）如图，无弹性细绳OA ， OB 一端分别固定在 A，B 处，在同样的细绳OC 的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是(三条绳本身质量忽略不
计，横线上填OA 或OB 或OC )．
【答案】OA
【分析】设OA, OB, OC 三条绳受的力分别为a, b, c ，则a  b  c  0 ，根据向量加法法则和直角三角形三边关
–––→–––→ –––→––––→
系得到 OA  OB , OA  OC ，得到答案.
【详解】设OA, OB, OC 三条绳受的力分别为a, b, c ，则a  b  c  0 ，
→–→
a, b 合力为c  a  b ， c  c ，
如图，在平行四边形 AOBC 中，
–––→––––→ ––––→–––→
∵ OB  OC, BC  OA ，
–––→–––→ –––→––––→
∴ OA  OB , OA  OC ，
→→ →→
即 a  b , a  c ，故细绳 OA 受力最大，即对 OA 绳的耐力性要求最高．
故答案为： OA
平面向量的平行向量
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
【典例 1】（2025•合肥模拟）已知向量 →→  2,| b | 4 ，则“ a 与b 共线”是“ →  b | 2 ”的()
a,b,| a |
| a
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】 B
a, b
【分析】根据讨论 →同向、反向共线两种情况，结合充分、必要性定义确定条件间的关系．
| a |
【解答】解：由题意， →  2,| b | 4 ，
| a
| a
当 a 与b 同向共线时 →  b | 6 ，当 a 与b 反向共线时 →  b | 2 ，
故充分性不成立；
| a
| a |
若 →  b | 2 ，而 →  2,| b | 4 ，
则 a 与b 反向共线，故必要性成立；
| a
所以“ a 与b 共线”是“ →  b | 2 ”的必要不充分条件．
故选： B ．
【点评】本题考查向量共线与模长关系，考查充要条件的判定，属基础题．
【典例 2】（2025•河南模拟）如图，在梯形 ABCD 中， BC  3 ， AD  2 ， AD / / BC ， B  ，点 M 满
3
3 3
––––→––––→–––→–––→
足 2BM  MC ，点 N 满足 DC  2DN ，且 MN ，则 AB  ()
2
A．3B．4C．9D．12
【答案】 A
3 3
2
【分析】以 B 为原点建立平面直角坐标系，设 AB  n ，根据条件写出各点坐标，利用 MN ，可求得 AB ．
【解答】解：如图，
以 B 为原点建立平面直角坐标系，设 AB  n ，
由已知得， M (1, 0) ， A( n ， 3n ) ， D( n  2 ， 3n ) ，
2222
C(3, 0) ， N ( n  5 ， 3n ) ，
22
(  ) 
n3 23n 2
2216
所以 MN 
4
3 3
，整理得 n2
2
 3n  18  0 ，解得
n  3
（负根舍去）．
故选： A ．
【点评】本题主要考查平面向量的坐标，属于中档题．
→→→ →→
【典例 3】（2025•湖北模拟）已知 m ，n ，l 是同一个平面内的三个向量，则“ m  (n  l )  (m  n)  l ”是“ m / /l ”的()
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】取特例可判断充分性，利用共线向量的性质及向量数量积的运算可判断必要性．
n
m
(n
(m n)
【解答】解：当 →  0 时，满足 →  →  l )  →  →  l ，但 m ， l 可以是任意向量，充分性不成立；
→→→→ →
m / /l
m
当 m / /l 时，若l  0 ，显然 m  (n  l )  (m  n)  l 成立；当l  0 ，因为 →，所以 →  kl ，
→→→→→ →→→
因此 m  (n  l )  kl  (n  l )  k(n  l )l ， (m  n)  l  (kl  n)l  k(l  n)l ，
→→→ →
因此 m  (n  l )  (m  n)  l 成立，即必要性成立；
→→→ →→
故“ m  (n  l )  (m  n)  l ”是“ m / /l ”的必要不充分条件．故选： C ．
【点评】本题主要考查平面向量平行向量以及平面向量的数量积运算，属于基础题．
平面向量的数乘与线性运算
实数与向量a 的积是一个向量，记作a ，它的大小为| a |||| a | ，其方向与的正负有关．若
| a | 0 ，当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同，当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反．当 0 时，
a 与a 平行．
对于非零向量a 、 b ，当 0 时，有a / /b  a  b
向量数乘运算的法则
（1） a  a ；（－1） a  a ；
（2） ()a  ()a  (a) ；
( )a  a  a ；
(a  b )  a  b ．
→
→
一般地， →  b 叫做 →, b 的一个线性组合（其中， 、均为系数）．如果1  →  b ，则称1 可以
a
a
a
用 a, b 线性表示．
→
–––→–––→
–––→→
–––→→
–––→
【典例 1】（2025•嘉兴模拟）在△ OAB 所在平面内，点C 满足 AB  3BC ，记OA  a ， OB  b ，则OC  (
)
A． 1 →  2 →
B． 2 →1 →
C． 1 →4 →
D． 4 →1 →
a b
33
【答案】C
a  b
33
 a  b
33
a  b
33
【分析】由向量的线性运算即可求得结论．
–––→–––→
–––→
4 –––→
【解答】解：由 AB  3BC ，可得 AC  3 AB ，
又–––→→ ， –––→→ ，
OA  aOB  b
–––→–––→–––→–––→
则OC  OA  AC  AO 
4 –––→–––→
(OB  OA) 3
  1
–––→
OA 
4 –––→1 →4 →

OB   a b ．
3333
故选： C ．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
–––→–––→
【典例 2】（2025•连云港模拟）在△ ABC 中，点 D 为 AB 的中点，点O 为△ ABC 的重心，则OA  OB  ()
–––→
A． CO
–––→
B． OD
–––→
C． 2CO
–––→
D． 2DO
【答案】 A
【分析】结合重心性质与向量运算化简可得．
【解答】解：如图，连接CD ，
因为点O 为△ ABC 的重心，
–––→–––→
则O 为CD 的三等分点，且CO  2OD ，
–––→–––→–––→–––→
所以OA  OB  2OD  CO ．
故选： A ．
【点评】本题考查三角形重心的性质及平面向量的线性运算，属基础题．
–––→–––→
【典例 3】（2025•广州模拟）在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上的点， BC  4EC ，点 F 是线段 DE
–––→–––→–––→
的中点，若 AF  AB  AD ，则 ()
A． 5
4
【答案】C
B．1C． 7
8
D． 3
4
【分析】根据题意由平面向量的线性运算求解即可．
–––→
【解答】解：由题意可得 AF 
1 –––→–––→
( AD  AE) 
1 –––→–––→–––→
( AD  AB  BE) 
1 –––→–––→
( AD  AB 
3 –––→
BC) 
1 –––→
AB 
7 –––→
AD ，
222428
所以 7 ．
8
故选： C ．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
AD AC
【典例 4】（2025•山西模拟）在△ ABC 中， AB  AC ， AC  6 ， –––→  1 –––→ ，点 E 是 BD 的中点，则
3
–––→–––→ –––→
( AE  BD)  CD  ()
8
12
C．8D．12
【答案】 B
【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算即可求解．
【解答】解：以 A 为原点， AC 所在直线为 x 轴， AB 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0, 0) ， D(0, 2) ， C(0, 6) ， B(b, 0) ，
b–––→b
–––→
–––→
所以 E(,1) ， AE  (,1) ， BD  (b, 2) ， CD  (0, 4) ，
22
–––→–––→ –––→1
所以( AE  BD)  CD  (
故选： B ．
b, 3)  (0, 4)  12 ．
2
【点评】本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
平面向量数量积的性质及其运算
1、平面向量数量积的重要性质：
设 a, b 都是非零向量， e 是与b 方向相同的单位向量， a 与b 和夹角为，则：
（1） a  e  e  a | a | cs；
a  b  a  b  0 ；（判定两向量垂直的充要条件）
当 a, b 方向相同时， a  b | a || b | ；当 a, b 方向相反时， a  b   | a || b | ；特别地： a  a | a | 2 或| a |a  a （用于计算向量的模）
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→→ →
（4） cs
a  b
→
| a || b |
→
→
（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5） | a  b | •| a || b |
2、平面向量数量积的运算律
→
→
（1）交换律： a b  ba ；
（2）数乘向量的结合律： (a)  b  (a  b )  a  (b ) ；
→
→
→
（3）分配律： (a  b )  c  a  (b  c )
→→→→
a
2024e
【典例 1】（2025•吉林校级模拟）已知 e 为单位向量， a  e  1 ， 2025b  → 
→ ，当 →
 取到最大值
时， | a  e | 等于()
2025
【答案】 A
2025
2025
a, b
2024
2024
2024
【分析】根据已知条件构造向量并作出图形，利用向量的相等的坐标关系及夹角的定义，结合锐角三角函数的定义及基本不等式，最后利用向量的减法的坐标表示及向量的模公式即可求解．
eOE
aOA
bOB
【解答】解：依题意，设→  –––→  (1, 0) ， →  –––→  (b,a) ， →  –––→  (x, y) ，
aOA
因为 a  e  1 ，所以1 b  0  a  1，则b  1 ，故 →  –––→  (1, a) ，
a  2024e
因为 2025b  →→ ，所以(2025x ， 2025 y)  (1 ， a)  (2024 ， 0)  (2025 ， a) ，
x  1
→–––→a


即 y 

a
2025
，所以b  OB  (1,) ，
2025
a,b, e
不妨设 a  0 ，则向量 →→ 如图所示，
因为
→
a, b
 AOB  AOE  BOE ， tan AOE  a ， tan BOE 
a
，
2025
所以tan BOA  tan(AOE  BOE) 
tan AOE  tan BOE 
1  tan AOE tan BOE
a a
2025
a
2
1 
2025
2024 •
2025  a2
2024
a  2025
1012
2025
，
aa
2025
当且仅当 2025  a ，即 a 时，等号成立，
a
易知0  BOA  ，
2
y  tan BOA

在(0, ) 上单调递增，
2
a, b
所以当 →
取到最大值时， y  tan BOA 取得最大值，此时 a ，
2025
aeEA
所以 →  →  –––→  (0, 2025) ，
2025
→→–––→
故| a  e || EA |．
故选： A ．
→
→
【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及运算和向量的坐标运算，属于中档题．
【典例 2】（2025•廊坊模拟）已知向量 a ，b 满足| a | 3 ，| b | 1，且
(a  b)  b ，则
| a  3b |的值为()
3
6
A．2B． 2C．4D． 2
【答案】 B
a,b
【分析】首先根据向量的垂直关系求出向量 →夹角的余弦值，然后结合向量的数量积求出模即可．
→
【解答】解：已知向量 a ， b 满足| a | 3 ， | b | 1，因为(a  b)  b ，
→→
所以(a  b)  b  a  b  b 2
 3cs →   1  0 ，
a,b
解得cs → →   1 ，
a, b
3
(a  3
→
b )
→
2
a  6a  b  9b
→2
→
→→
2
9  6  3  ( 1)  9
3
→→
3
所以| a  3b |


 2．
故选： B ．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
→→→→→
→→cs →→→
2
【典例 3】（2025•广西模拟）已知向量 a,b, c 满足| a || b | 1,| c |
，且 a  b  c  0 ，则a  c,b  c  (
)
 4
5
【答案】 D
 2
5
2
5
4
5
2
| a | | b | 1,| c |
a
c
a,b, c
c
【分析】根据 →  → → ，且 →  b  →  0 ，设出向量 →→ 的坐标，进而可得 a  c 与b  → 的坐标，
c
利用平面向量的夹角公式算出 a  c 与b  → 的夹角余弦值．
2
【解答】解：由 →  → → ，且 →  b  →  0 ，设 a  (1, 0) ， b  (0,1) ， c  (1, 1) ，
| a | | b | 1,| c |ac
c
→→→
可得 a  c  (2,1) ， b  →  (1, 2) ，
所以 →→
| a  c |

22  12
5
→
→
5
12  22
，→
| b  c |
→→→

， (a  c)  (b  c)  2  2  4 ，
→(a  c)  (b  c)44
可得cs  a  c ， b  c  →→
→→  ．
5  5
5
| a  c |  | b  c |
故选： D ．
【点评】本题主要考查了平面向量的数量积及其运算性质、平面向量的坐标运算法则等知识，属于中档题．
–––→
–––→
–––→–––→–––→–––→
【典例 4】（2025•江苏模拟）已知| AB | 3 ，| AC | 2 ，若对于任意的实数 m ，不等式| AB  AC | •| AB  m AC |
恒成立，则csBAC  ()
 5
3
5
3
 2
3
2
3
【答案】C
【分析】利用向量数量积的定义和性质，化简可得 m2  3m cs A  3cs A  1⛩0 对任意的实数 m 恒成立，再运用判别式小于等于 0 即可．
–––→–––→
【解答】解：
–––→

–––→
对任意的实数 m 恒成立，
| ABAC || ABm AC |
–––→–––→–––→–––→
| AB  AC |2 •| AB  m AC |2 ，
9  4  12 cs A•9  4m2  12m cs A ，
即 m2  3m cs A  3cs A  1⛩0 对任意的实数 m 恒成立，
△  (3cs A)2  4(3cs A  1)•0 ，
即9 cs2 A  12 cs A  4•0 ，(3cs A  2)2•0 ，
又(3cs A  2)2⛩0 ，(3cs A  2)2  0 ，cs A   2 ．
3
故选： C ．
【点评】本题考查向量不等式恒成立问题的解法，向量数量积的定义及性质，考查二次不等式恒成立问题
解法，属于中档题．
【典例 5】（多选）（2025•贵阳模拟）在△ ABC 中，
–––→
(BC 
–––→
2 AC)
 –––→  0 ， A  ，则()
AB
cs B  AC
BC
3
tan B 3
2
7
cs C D． –––→ 在–––→ 上的投影向量为 1 –––→
14
【答案】 ABC
ACAB AB
2
–––→–––→ –––→
【分析】先根据向量的运算法则对(BC  2 AC)  AB  0 进行化简，再结合正弦定理、三角函数的性质等逐一
分析选项．
【解答】解：因为
–––→

–––→
 –––→  0 ， A  ，
(BC
2 AC) AB3
–––→–––→
即( AC  AB 
–––→
2 AC)
–––→
 AB  0 ，整理可得：
–––→ –––→–––→ 2
3AC  AB  AB
 0 ，
–––→ –––→–––→
可得： 3 | AC || AB | cs A| AB |2  0 ，
3
–––→ –––→–––→
2
–––→
3 –––→
即 | AC || AB |  | AB |  0 ，可得| AB | 2
| AC | ，
2
即 AB  3 AC ，
2
对于选项 A ，在△ ABC 中，由正弦定理可得 AC  sin B ，
BCsin A
若cs B  AC ，则cs B  sin B ，即sin Acs B  sin B ，
BC
可得tan B  sin A ，
sin A
因为 A  ，所以tan B  sin B 3 ．
3cs B2
–––→
3 –––→
ACAB
sin CAB3
由| AB | | AC | 及正弦定理
可得
 ，
2
C  A  B  2  B ，
3
sin B
sin C
sin BAC2
在△ ABC 中， sin C  sin( A  B)  sin( B) 3cs B  1sin B ，
若tan B 
3 ，即sin B 
2
3 cs B ，
2
322
3 cs B  1  3 cs B
代入sin C  3 可得：
222
 3 ，等式成立，
sin B2
3 cs B2
2
所以cs B  AC ，所以 A 选项正确；
BC
对于选项 B ，由上述分析可知tan B 
3 ， B 选项正确；
2
对于选项C ，因为tan B 
3 ， B 为三角形内角，则sin B 21 ，
3
7
27
cs B 
49  21  2 7 ，
77
在△ ABC 中， cs C  cs( A  B)  cs( B)   1cs B 3sin B 7 ，所以C 选项正确；
32214
–––→
–––→
–––→AB
对于选项 D ， AC 在 AB 上的投影向量为| AC | cs A –––→ ，
| AB |
–––→
3 –––→1
–––→1AB
1 –––→
因为| AB |
| AC | ， cs A  ，所以投影向量为| AC |   3
2
22
2
–––→
| AC |
 3 AB ，
所以 D 选项错误．故选： ABC ．
【点评】本题考查向量的运算性质的应用，两角和的正弦公式，余弦公式的应用，属于中档题．
【典例 6】（2025 秋•广东月考）已知向量 →满足 →  b | →  b | 2 | b | ，则cs →  b, b 1．
1
【答案】 ．
2
a, b| a| aa
2
【分析】数形结合，利用向量的几何意义求解．
OAa
OBb
【解答】解：设–––→  → ， –––→  → ，作平行四边形OACB ，如图：
–––→
则
→–––→→
→
→
，，
OC  a  bBA  a  b
→→
由题意， | a  b || a  b | 2 | b | ，
→→–––→–––→
则由| a  b || a  b |，可得| OC || BA | ，所以平行四边形OACB 为矩形，
–––→
又
→–––→

，所以BOC  ，
| OC | 2 | b | 2 | OB |3
ab, b
所以cs →  → →  cs  1 ．
32
1
故答案为： ．
2
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
平面向量的投影向量
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影。投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用
来求一个向量在另一个向量上的分解．
设a, b 是两个非零向量， AB  a, CD  b ，考虑如下的变换：过 AB 的起点 A 和终点 B 分别作所在直线的垂线，垂足分别为 A1 ，B1，得到 A1 B1，称上述变换为向量a 向向量b 投影，A1B1 叫做向量a 在向量
b 上的投影向量．
向量 a 在向量b 上的投影向量是| a | cs → 。
| b |
【解题方法点拨】
→
b
投影，是一个动作。投影向量，是一个向量。我们把| a | cs叫作向量 d 在向量b 上的投影。那么投影向量可以理解为投影数量乘上一个方向上的单位向量。
向量 a 在向量b 上的投影向量为| a | e cs（其中e 为与b 同向的单位向量），它是一个向量，且与
b 共线，其方向由向量a 和b 夹角的余弦值决定。
注意： a 在 b 方向上的投影向量与 b 在 a 方向上的投影向量不同， b 在 a 方向上的投影向量为
→a
|| cs.
b
→
| a |
【典例 1】（2025•河南模拟）已知向量b 在 a 上投影数量为 1
3
， | a | 3 ，则 a  (a  b)  ()
→→
A．10B．9C．8D．7
【答案】C
→→
【分析】根据投影向量的概念可得| b | cs a  b ，求得 →  b ，即可求解．
| a→ |a
→→→
a, b
→
【解答】解：由题意可知， | b | cs →
  a  b  1 ，
| a |3
→ →1 →
所以 a  b 
| a | 1 ， 3
→→→ 2
→
所以 a  (a  b) | a |a  b  9 1  8 ．
故选： C ．
【点评】本题主要考查投影向量的概念，属于基础题．
【典例 2】（2025•西宁二模）已知向量 a  (1, 2) ， b  (1,1) ，则 a 在b 上的投影向量为()
2
A．B． (1, 2)
2
C． (
2
， 2 )
2
2
1 1
D．
(, )
2 2
【答案】 D
【分析】根据已知条件，结合投影向量定义，即可求解．
→
ba  b(1,1)111
2
2
22
【解答】解：由题意， a 在b 上的投影向量为 →  →  ( ， ) ．
| b | | b |
故选： D ．
【点评】本题主要考查投影向量公式，属于基础题．
【典例 3】（2025•广州模拟）已知向量 p, q 满足： p  (1, 1) ， | q | 1， ( p  q)  q  2 ，则q 在 p 上的投影
向量为()
A． ( 2,  2)
B． ( 1 1
C． (
2 , 2 )
D． (1, 1)
, )
2 222
【答案】 B
【分析】首先根据条件求 p  q ，再代入投影向量公式，即可求解．
【解答】解： p  (1, 1) ，
2
→
则| p |，
→→→→ →→2
因为( p  q)  q  p  q  q
 2 ，
| q | 1，
所以 p  q  1  2 ，可得 p  q  1 ，
所以 q 在 p 上的投影向量为
→ →
( 
p q
→ 2
) p  
1 →
p  (
1 1
, ) ．
→
p22 2
故选： B ．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
【典例 4】（2025•江西模拟）已知非零向量 a ， b 满足 →  2 | b | ，且向量b 在向量a 上的投影向量是 1 → ，
| a | a
4
则向量 a 与b 的夹角是()
A． 2B． C． D． 
3236
【答案】C
【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，结合其夹角公式代入计算，即可得到结果．
→1 →
【解答】解： 非零向量 a ， b 满足| a | 2 | b | ，且向量b 在向量a 上的投影向量是 4 a ，
→→→→→→
→a| b |→→1→→1 →
cs →1
| b | csa,b  →  ( → csa,b)a  ( csa,b)a 
| a || a |24
a ，解得
a, b  ，
2
 →
且 a,b [0,] ，
向量 a 与b 的夹角是．
3
故选： C ．
【点评】本题主要考查平面向量的夹角，属于基础题．
平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果 e1、e2 是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一 a ，有且仅有一对实数1、2 ，
使 →
a  1 e1 2 e2
.
基底：不共线的 e1、e2 叫做平面内表示所有向量的一组基底．
说明：
基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
–––→––––→––––→–––→–––→
【典例 1】（2025•河南模拟）在△ ABC 中，D 是 AC 边的中点，且点 M 满足 BD  3BM ，若 AM  AB  AC ，
则  ()
A． 1
2
【答案】 D
B． 2
3
C． 3
4
D． 5
6
【分析】根据平面向量的线性运算法则，求出用–––→ –––→ 表示––––→ 的式子，结合平面向量基本定理算出、
的值，可得答案．
–––→––––→
AB, AC
–––→–––→––––→–––→
AM
––––→
2 –––→
1 –––→
【解答】解：由 BD  3BM ，可得 AD  AB  3(AM  AB) ，整理得 AM  3 AB  3 AD ，
–––→
1 –––→
––––→
2 –––→
1 –––→
结合 D 为 AC 中点，可得 AD 
AC ，所以 AM 
2
AB 
36
AC ，
结合题意––––→–––→–––→ ，可得 2 ，  1 ，所以  5 ．
AM  AB  AC366
故选： D ．
【点评】本题主要考查向量的线性运算、平面向量基本定理等知识，考查了计算能力、概念的理解能力，
属于基础题．
–––→→
–––→→
–––→–––→
–––→–––→
–––→
【典例 2】（2025•扬州校级模拟）如图，已知 AB  a ， AC  b ， BC  4BD ， CA  3CE ，则 DE  ()
A． 3 →  1 →B． 5 →
3 →C． 3 →1 →
D． 5 →3 →
b a
43
【答案】 B
b  a
124
a  b
43
a  b
124
【分析】根据向量的三角形法和加减的几何意义即可求出．
BC  4BD
【解答】解： –––→–––→ ，
–––→3 –––→3 –––→–––→
 DC  BC  ( AC  AB)
44
–––→–––→–––→

3 –––→–––→
1 –––→
31 –––→
3 –––→
5 →3 →
DE  DC  CE  ( AC  AB)  CA  (  ) AC  AB b  a ，
43434124
故选： B ．
【点评】本题考查了向量的三角形法和向量的数乘运算，属于基础题
–––→
【典例 3】（2025•山东模拟）如图所示，在正方形 ABCD 中， E 为 AB 的中点， F 为CE 的中点，则 AF  (
)
A． 3 –––→  1 –––→B． 1 –––→
3 –––→C． 1 –––→–––→D． 3 –––→
1 –––→
AB AD
44
【答案】 D
AB  AD
44
AB  AD 2
AB  AD
42
–––→
【分析】根据题意得： AF 
1 –––→–––→
( AC  AE) ，结合向量加法的四边形法则及平面向量的基本定理可求
2
–––→
【解答】解：根据题意得： AF 
1 –––→–––→
( AC  AE) ，
2
–––→–––→–––→
–––→
1 –––→
又 AC  AB  AD ， AE  2 AB ，
–––→
所以 AF 
1 –––→–––→
( AB  AD 
1 –––→
AB) 
3 –––→
AB 
1 –––→
AD ．
2242
故选： D ．
【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题
06用平面向量的基底表示平面向量
【解题方法点拨】
表示转换：将向量v 写成基底向量的线性组合。例如， v 用基底e1 和e2 表示为v  xe1  ye2 。
基底选择：在特定的基底下表示向量时，选择适当的基底并进行线性组合．
→→
→→→
–––→
【典例 1】（2025•辽宁模拟）已知在正六边形 ABCDEF 中， G 是线段CD 上靠近C 的三等分点，则GA  (
)
A． 8 –––→  4 –––→B． 10 –––→
2 –––→C． 10 –––→
4 –––→D． 10 –––→
4 –––→
BA CE
33
【答案】C
BA  CE
33
–––→
BA 
33
–––→
CE
–––→
BA  CE
33
【分析】根据正六边形的结构特征，利用基向量 BA 、CE 表示GA 即可．
【解答】解：正六边形 ABCDEF 中， G 是线段CD 上靠近C 的三等分点，
–––→–––→–––→–––→
1 –––→–––→–––→
–––→–––→–––→–––→–––→
–––→–––→–––→–––→–––→–––→
所以GA  GC  CB  BA   3 CD  CB  BA ，因为CD  CE  ED  CE  BA ，CB  EF  CF  CE  2BA  CE ，
–––→1
所以GA  
–––→–––→–––→–––→–––→
(CE  BA)  (2BA  CE)  BA 
10 –––→
BA 
4 –––→
CE ．
333
故选： C ．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算应用问题，是基础题．
解题步骤
确定向量坐标：先根据已知条件，准确得出要研究的两个向量 a 和b 的坐标 x1, y1  与 x2 , y2  。
代入公式计算：将向量坐标代入共线充要条件 x1 y2  x2 y1  0 ，得到关于未知量（如参数）的方程。
求解方程：解上述方程，得出未知量的值，进而解决问题（如判断向量是否共线、求参数的值等）。
注意事项
当向量b 为零向量(0, 0) 时， a 与b 一定共线，但此时 x1 y2  x2 y1  0 也成立，因为零向量与任意向量共线。
利用该公式解题时，要保证向量坐标的准确性，避免因坐标错误导致结果出错。
1 22 1
→
a

2
2


1
1

→
若两个非零平面向量 a  x , y ,b  x , y，则b 的充要条件是 x y  x y  0 。
解题方法：
一、核心公式
平面向量共线（平行）的坐标表示
→–––→
【典例 1】（2025•东西湖区校级模拟）在矩形 ABCD 中， A(1, 0) ， B(x,1  x) ，若 n  (2, 3) ，且 n / / AD ，
则 x  ()
5
【答案】C
 1
5
1
5
D．5
【分析】若 →–––→ ，则 →  –––→ ，然后结合向量数量积的坐标表示即可求解．
n / / AD
nAB
–––→
【解答】解：矩形 ABCD 中， A(1, 0) ， B(x,1  x) ， AB  (x  1,1  x) ，
若 n  (2, 3) ，且 →
–––→ ，则 →
–––→
，
n / / AD
n  AB
n AB
故 →  –––→  2(x  1)  3(1  x)  0 ，
所以 x  1 ．
5
故选： C ．
【点评】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础题．
a / /b
【典例 2】（2025•凉山州模拟）设 x  R ，向量 a  (x,1) ， b  (4, x) ，则 x  2 是 →的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】 A
【分析】结合向量共线的性质，以及充分条件、必要条件的定义，即可求解．
a / /b
【解答】解： a  (x,1) ， b  (4, x) ， →，
则 x2  4 ，解得 x  2 ，
a / /b
故 x  2 是 →的充分不必要条件．故选： A ．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
a / /b
【典例 3】（2025•黄山模拟）已知向量 a  (x, 2x  3) ， b  (x,1) ，若 →，则 x  ()
A． 1 或 3B． 1 或 2C．0 或 2D．3 或 2
【答案】C
【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得．
【解答】解：由题意， x  x(2x  3)  0 ，解得 x  0 或 2，经检验成立．故选： C ．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
【典例 4】（2025•海淀区二模）已知向量 a  (1, 2) ， b  (x, 1) ．若 a 与b 共线，则 x  ()
A．  1
2
【答案】 A
B． 2
C． 1
2
D．2
【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得 2x  1，解可得答案．
【解答】解：根据题意，向量 a  (1, 2) ， b  (x, 1) ，
若 a 与b 共线，则 2x  1，解可得 x   1 ．
2
故选： A ．
【点评】本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标，属于基础题．
数量积表示两个平面向量的夹角

4．确定夹角：根据cs的值以及[0,] ，确定夹角的大小。
注意事项
向量a 和b 必须为非零向量，因为零向量的方向是任意的，无法确定夹角。
计算过程中要注意符号运算，尤其是向量坐标分量的乘积和平方运算，避免出现计算错误。
最后确定夹角时，要结合cs的正负以及的取值范围，准确得出夹角的大小。
2
2

，则
a  b  x x  y y 。
1 21 2
2．计算向量的模| a |和| b |:| a |x2  y2 ,| b |x2  y2 。
→
→
→
11
22
→
3．代入公式求cs：将 a  b,| a |,| b |代入cs
→→
a  b
| a || b |
→
→
，求出cs的值。
→
一、核心公式
设两个非零平面向量 →, b ，它们的夹角为(0  ) ，则向量的数量积公式为 →  b | → || b | cs，由此
a
a
a
→
可推导出求夹角的公式： cs
a  b
| a || b |
→


二、解题步骤
1．计算向量的数量积 →：若
a  b
a  x , y ,b  x , y
→

→
1
1
→→
【典例 1】（2025•内蒙古一模）已知 a ， b 为单位向量，且| 3a  5b | 7 ，则 a 与 a  b 的夹角为()
A． B． 2C． D． 5
3366
【答案】C
→
【分析】利用向量数量积公式、向量夹角余弦公式直接求解．
【解答】解： a
， b 为单位向量，且| 3a  5b | 7 ，
→
2
a
(3a  5b)29 →
30a  b  25b 2
 9  30cs  → 25  49 ，
→
a,b
解得cs  → →   1 ，
a, b
2
→→→→
→ 2→ →
1  ( 1)
cs  a ， →
a  (a  b )
a  a  b
23 ，
1 1  2 cs  → →  1
a, b
(a  b )  →  →  → 3 2
| a | | ab |
a,(a
0• → →  b)  •，
 a 与 →  b 的夹角为．
a6
故选： C ．
【点评】本题考查向量数量积公式、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
→→→→→b  →→
【典例 2】（2025•宝鸡校级模拟）已知向量 e1  (1, 0) ， e2  (1, 3) ，设 a  4e1  e2 ，3e1  e2 ，则 a 与b
的夹角为()
A． B． C． D． 2
6433
【答案】C
a
【分析】由条件结合向量坐标运算公式求 a ， b ，再求 →  b ， | a | ， | b | ，再结合向量夹角公式求结论．
–→––→
【解答】解：因为 e1  (1, 0) ， e2  (1, 3) ，
所以 → 
–→–→→
 (5, 3) ， 
–→––→
 (2, 
3) ，
7
a4e1e2b3e1e2
a
→
所以 →  b  10  3  7 ，设 a 与b 的夹角为，
a  b
| a |
25  3
→
71
 2
→
7
4  3
， | b |
，
则cs →
→  ，
2 7  7
2
| a |  | b |
又[0 ，] ，所以  ，
3
即 a 与b 的夹角为．
3
故选： C ．
【点评】本题考查平面向量的坐标运算及夹角公式，属基础题．
–––→–––→–––→ –––→–––→–––→→
【典例 3】（2025•岳阳模拟）已知O ，N ，P 在△ ABC 所在平面内，且| OA || OB || OC |, NA  NB  NC  0 ，
–––→ –––→–––→ –––→–––→ –––→
且 PA  PB  PB  PC  PC  PA ，则点O ， N ， P 依次是△ ABC 的()
A．重心 外心 垂心B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心D．外心 重心 内心
【答案】C
【分析】据O 到三角形三个顶点的距离相等，得到 O 是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有③④两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，移项相减，得到垂直，即得到 P 是三角形的垂心．
【解答】解：| OA || OB || OC | ， O 到三角形三个顶点的距离相等，
 O 是三角形的外心，
根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C ， D 两个选项，
只要判断第三个条件可以得到三角形的内心或垂心就可以，
–––→
，
–––→–––→

 0 ， –––→ –––→， –––→–––→ ，
PA  PB  PB  PC  PC  PA
PB (PA PC )
PB  CA  0
PB  CA
同理得到另外两个向量都与边垂直，得到 P 是三角形的垂心，
故选： C ．
【点评】本小题主要考查向量的数量积的运算法则、三角形五心等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，本题是一个考查的向量的知识点比较全面的题目，把几种三角形的心总结的比较全面，解题时注意向量的有关定律的应用．

2．计算数量积：根据向量数量积的坐标运算公式，
a  b
→
a  b  x x  y y
→
1 21 2

3．判断数量积是否为 0 ：若
x x  y y  0
1 21 2
，则
a  b
→
；否则， a
与 不垂直。
b
注意事项
向量 a 和b 需为非零向量，因为零向量与任意向量垂直，但在利用坐标运算判断时，若其中一个为零向量，其坐标分量全为 0 ，代入公式 x1x2  y1 y2  0 也成立，所以该公式对零向量参与的垂直判断也适用（零向量与任意向量垂直）。
计算数量积时，要注意坐标分量的符号运算，避免出现计算错误，确保结果的准确性，从而正确判断向
量的垂直关系。
二、解题步骤
一、核心定理
若两个非零平面向量 a 和
b
，则
a  b
→
的充要条件是它们的数量积为 0 ，即 →
a  b  0

2
1．确定向量坐标（若向量以坐标形式给出）：设a  x , y ,b  x , y。
→

1
1


2
数量积判断两个平面向量的垂直关系
–––→–––→–––→–––→–––→–––→
【典例 1】（2025•保山校级模拟）若| OA  OB || OA  OB | 则向量OA, OB 的关系是()
平行B．重合C．垂直D．不确定
【答案】C
–––→–––→
–––→–––→
【分析】根据向量加法和减法的几何意义可知：| OA  OB | 与| OA  OB | 分别表示平行四边形的两条对角线，可知该四边形为矩形，因此可得结果．
–––→–––→–––→–––→
【解答】解：| OA  OB | 与| OA  OB | 分别表示平行四边形的两条对角线，它们相等，即说明四边形为矩形．
–––→–––→
 OA  OB
故选： C ．
【点评】本题考查向量的加法的几何意义，属基础题．
a
【典例 2】（2025•四川模拟）已知向量 a  (1, 2) ， b  (cs,sin) ，且 →  b ，则tan ()
A．2B． 1
2
C．  1
2
D． 2
【答案】 B
【分析】结合向量垂直的性质，即可求解．
a
【解答】解：向量 a  (1, 2) ， b  (cs,sin) ，且 →  b ，
则cs 2sin 0 ，解得tan 1 ．
2
故选： B ．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
a
【典例 3】（2025•新乡三模）已知向量 a  (2, 3) ， b  (1,) ，若 →  b ，则的值为()
A． 2
3
【答案】 B
B．  2
3
C． 3
2
D．  3
2
【分析】根据向量垂直得到方程，求出答案．
【解答】解： a  (2, 3) ， b  (1,) ，
由 →  b ，得 →  b  2  3 0 ，解得  2 ．
aa3
故选： B ．
【点评】本题考查向量垂直的坐标运算，是基础题．
01：零向量与单位向量
零向量与单位向量区别：
零向量模为 0 、方向任意；单位向量模为 1 、方向不唯一。
易混点：误将零向量方向当 ＂确定＂，或认为单位向量方向唯一。
1 ‴→
【典例 1】（2025·江西·二模）设a ， b 为单位向量， a 在b 方向上的投影向量为
b ，则| 2a  b | （ ）
2
7
5
3
B．C．D．
【答案】D
【知识点】数量积的运算律、零向量与单位向量、求投影向量、已知数量积求模
【分析】由投影向量的计算，求得数量积，利用数量积的运算律，可得答案.
→→→
a  b b  1 b→→
→ →1
【详解】由题意可得 → 2
b
2，且 a  b
 1 ，则a  b  ，
2


2a  b
→
→
2
4 a  4a b
→ 2
→
  b
→
→ 2
→→
3
所以 2a  b


 4  2 1 .
故选：D.
【典例 2】（2025·安徽·模拟预测）已知平面直角坐标系中，坐标原点为O, A(1, 2), B(m, 1) ，则（ ）
若OA∥OB ，则m  1
2
若OA  OB ，则m  2
2
AB
–––→ 不可能为单位向量D．若m  1，则| 2OA  OB | 3
【答案】AD
【知识点】零向量与单位向量、坐标计算向量的模、由向量共线（平行）求参数、向量垂直的坐标表示
【分析】利用向量共线的坐标形式判断 A，利用向量垂直的坐标形式判断 B，由特例判断 C，由向量模的坐标公式计算后判断 D.
【详解】若OA//OB ，则11 2 m  0 ，解得m  1 ，A 正确；
2
若OA  OB ，则1 m  (2)(1)  0 ，解得m  2 ，B 错误；
由题设 AB  (m 1,1) ，当m  1时， | AB | 1, AB 是单位向量，C 错误；
2
若m  1，则2OA  OB  (3, 3),| 2OA  OB | 3
，D 正确，
故选：AD.
【典例 3】（2025·贵州·二模）若a ， b 均为单位向量，且
【答案】/ 1 
→ →
a, b 
2π ，则a, a  b  ．
7
7 7
【知识点】零向量与单位向量、向量加法法则的几何应用、向量夹角的计算
【分析】作出图形，利用向量加法的几何意义求得答案.
OAa, OBb,
【详解】作–––→  → –––→  → AOB  2π ，以线段 AO, OB 为一组邻边作平行四边形OACB ，如图，
7
则OC  OA  OB  a  b ，而a ， b 均为单位向量，则| OA || OB |1，
→ →→1π

因此 OACB 为菱形，
故答案为： π
7
a, a  b  AOC  AOB  .
27
02：向量的运算
e1 和e2 的系数对应成比例，若忽略这一点，可能无法正确求出 a 的值。
ABBD
12
，因为e , e 是基底（不共线），所以与共线的充要条件是它们的

2
–→
2e
1
–→

4 e 
2
–→ –––→
ae , BD 
1
–→
AB  e 
–––→
向量分解与线性表示的系数求解的易错点：
在利用平面向量基本定理将向量用基底表示时，对向量的线性运算（加法、减法、数乘）规则掌握不熟练，导致分解过程中系数计算错误。例如在典例 1 中，由 4DB  3DC  0 推导 BD 与 BC 、CD 与 BC 的关系时，若对向量的数乘和线性组合运算理解不到位，容易算错系数，进而影响后续 AD 用 AB 和 AC 表示的结果。
向量共线与向量坐标（或基底表示）的关系易错点：
当向量用基底（ 如 e1, e2 ） 表示时， 判断共线需要看它们的基底系数对应成比例。在第 13 题中，
【典例 1】（2025·安徽·模拟预测）已知在ABC 中，点 D 满足4DB  3DC  0 ，设 AD  AB  AC , R ，
则 2 （ ）
710
A．1B． 5C． 7D．2
【答案】C
【知识点】利用平面向量基本定理求参数、用基底表示向量、向量加法的法则
–––→3 –––→ –––→4 –––→
【分析】由平面向量基本定理结合4DB  3DC  0 ，可得 BD  7 BC, CD   7 BC ，再由
AD  AB  AC ,  R  ，即可求出 2的值.
–––→3 –––→ –––→4 –––→
【详解】由4DB  3DC  0 ，可得 BD  7 BC, CD   7 BC ，
–––→–––→ –––→–––→3 –––→ –––→–––→ –––→–––→4 –––→
则 AD  AB  BD  AB 
7
BC, AD  AC  CD  AC 
7
BC,
–––→–––→ –––→
则2AD  AB  AC 
1 –––→–––→ –––→1
BC  AB  AC 
–––→ –––→

AC  AB 
8 –––→
AB 
6 –––→
AC
–––→
故 AD 
4 –––→
AB 
7777
3 –––→
AC ，
77
所以 2 4  2 3  10
777
故选：C.
【典例 2】（2025·江苏南通·三模）已知e1 ，e2 为平面内一组基底，AB  e1  ae2 ，CB  e1 - 4e2 ，CD  5e1  4e2 ，
若 A，B，D 三点共线，则 a 的值为（ ）
B． 2C．0D．1
【答案】A
【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量、向量加法的法则
【分析】根据向量的减法运算求出 BD ，再由共线向量定理求解即可.

–––→–––→ –––→–→–→–→–→–→–→–→–→
【详解】 AB  e1  ae2 ， BD  CD  CB  5e1  4e2  e1  4e2  4e1  8e2  4 e1  2e2 ，
AB
因为–––→ 与 BD
故选：A．
共线，a  2 ，
【典例 3】（2025·山西晋中·三模）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦．如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形 ABCDEFGH，其中 AB  1，O 为正八边形的中心，则（ ）
A． OA  OF  BA
C． cs2 OAB  2  2
4
B． OA  OC  2OB
D． AB  AE  1
【答案】ACD
【知识点】数量积的运算律、向量加法的法则、二倍角的余弦公式
【分析】由向量的线性运算及向量数量积的定义，余弦二倍角公式逐个判断即可.
【详解】对于 A， OA  OF  OA  OB  BA ，故 A 正确；
–––→ –––→––––→
对于 B，如图，连接 AC 交 OB 于点 M，可知 M 为 AC 的中点，所以OA  OC  2OM ，故 B 错误；
对于 C，在△OAB 中，易知AOB  π ，且OA  OB ，所以2OAB  3π ， cs 2OAB  
2 ，由二倍角公
4
式可得cs2 OAB  1 cs 2OAB  2 
24
42
2 ，故 C 正确；
AB  AE  AB
对于 D，连接 EB ，则 AB  BE ，所以–––→ –––→–––→2  1 ，故 D 正确．
故选：ACD
【典例 4】（2025·四川绵阳·模拟预测）设在ABC 中，点 D 为 BC 边上一点，且 BC  2BD ，点 E 为 AC 边上的中点. 若 AD  m ， AC  n ，则 BE （ ）
→2 –→
→3 –→
3 →–→
n  m 3
【答案】D
n  2m
n  m 2
n  2m
2
【知识点】用基底表示向量、向量减法的法则、向量加法的法则、向量数乘的有关计算
【分析】利用向量的线性运算，即可用基底表示.
【详解】
因为 BC  2BD ，所以 D 为 BC 中点，即 BC  2DC ，
–––→
又因为点 E 为 AC 边上的中点，所以CE  
–––→
AC ，
2

–––→–––→–––→–––→1 –––→–––→ –––→1 –––→3 –––→–––→
由 BE  BC  CE  2DC  AC  2 AC  AD  AC  AC  2 AD ，
222
–––→3 →–→
因为 AD  m ， AC  n ，所以 BE  2 n  2m ，故选：D.
a
OBb
【典例 5】（2025·浙江嘉兴·三模）在△OAB 所在平面内，点C 满足 AB  3BC ，记OA  → ，
 ，则OC 
（ ）

1 →2 →
a b
r 1 r
a + b
 1 →4 →
4 →1 →

a b
3333
【答案】C
3333

a
b
【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则、向量数乘的有关计算、向量的线性运算的几何应用
【分析】由向量的线性运算法则即可算得结果.
–––→–––→–––→–––→–––→–––→–––→4
【详解】由向量的线性运算可知OC  OA  AC  OA  AB  BC  OA 
–––→ –––→1 →4 →


OB  OA   a b .
故选：C.
03：数量积的运算律
333
与＂向量相等／相反＂。要明确数量积为 0 反映的是模的关系，向量相等／相反还需方向一致。
（3）垂直的数量积表示：若 m  n ，则 m  n  0 ，利用此可建立方程求解参数，但易忽略向量非零的情况
（零向量与任意向量垂直），解题时需结合题意判断向量是否为零向量。
在涉及体积、几何图形与数量积结合的问题中，易因向量与几何量（长度、面积等）的转换失误出错。需熟练掌握向量模、数量积与几何图形边长、角度的联系，结合几何性质和向量运算规则逐步分析。
，易混淆＂模相等＂
→
a  b
| b | ，而非直接得
→
推出
→
→
(a  b )  (a  b )  0| a |
（2）与向量模、垂直的关系：由
acac
记数量积运算律的特殊性，严格按定义和分配律等运算。
（1）运算律方面：数量积不满足结合律(( →  b )  →  →  (b  →)) ，易错误套用实数乘法结合律。解题时需牢
在数量积运算中，需注意以下几点：
→→→→
【典例 1】（2024·北京·高考真题）设 a ， b 是向量，则“ a  b ·a  b   0 ”是“ a  b 或a  b ”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】数量积的运算律、判断命题的必要不充分条件、垂直关系的向量表示
→→→→→→
【分析】根据向量数量积分析可知a  b  a  b  0 等价于 a  b ，结合充分、必要条件分析判断.
→→→→2→ 2
→ 2→2→→
→
【详解】因为a  b  a  b  a  b  0 ，可得a  b ，即 a  b ，
→→→→→→
可知a  b  a  b  0 等价于 a  b ，
→→→→→→
若a  b 或a  b ，可得 a  b ，即a  b  a  b  0 ，可知必要性成立；
→→→→→→
若a  b  a  b  0 ，即 a  b ，无法得出a  b 或a  b ，
→→→
例如a  1, 0, b  0,1 ，满足 a  b ，但a  b 且a  b ，可知充分性不成立；
→→→→
综上所述，“ a  b  a  b  0 ”是“ a  b 或a  b ”的必要不充分条件.
故选：B.
→→→
→→→→
【典例 2】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量a, b 满足 a  1, a  2b  2 ，且b  2a   b ，则 b  （ ）
1
A． 2
【答案】B
B． 2
2
C． 3
2
D．1
【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示
→→→→2→ →
→→→
→ →→2→2
【分析】由b  2a   b 得b  2a  b ，结合 a  1, a  2b  2 ，得1 4a  b  4b  1 6b  4 ，由此即可得解.
→→→
→→ →
→2→ →
【详解】因为b  2a   b ，所以b  2a b  0 ，即b
→→→
又因为 a  1, a  2b  2 ，
 2a  b ，
所以1
2
→
→ →→2
4a  b  4b
→2
 1 6b
 4 ，
从而 b .
2
故选：B.
10
【典例 3】（2025·湖北武汉·二模）四棱锥 P  ABCD 中，AB  AD ，CB  CD  5 ，BAD  90 ，PB  4 ，
PC  3，△PBC 内部点Q 满足四棱锥Q  ABCD 与三棱锥Q  PAD 的体积相等，则 PQ 长的最小值
为．
【答案】 6 13
13
【知识点】锥体体积的有关计算、数量积的运算律、求二次函数的值域或最值
【分析】延长 PQ 交 BC 于点 R ，令 BR  BC , PQ  PR ，根据给定条件，利用等体积转化探究可得再结合直角三角形及向量运算建立 PQ2 为的函数，进而求出最小值.
【详解】在四棱锥 P  ABCD 中，延长 PQ 交 BC 于点 R ，令 BR  BC , PQ  PR ，
10
BC  ( BD )
2
1
2
2
22
由 AB  AD ， BAD  90 ，得 BD  2 5 ，又CB  CD  5 ，
6
 8 ，
则 S BCD
 1 BD 
2
 1  2 5 2 5  10,S
1
 ABD 
10
10  5 ，
由 PB  4, PC  3 ，得 PB2  PC2  BC2 ，则 PB  PC ，
csCBD 
5 , sin CBD  2 5 ，
55
)
sin ABR  sin(CBD  π 
2( 2 5
)
5
 3 10 ，
425510
10
S 1 5 3 10  15, S
10(1 )，设点 P 到底面距离为 h ，
 ABR
2102
CDR
依题意，VQ  ABCD  VQ  PAD  VR PAD  VP ARD ， 由VQ  ABCD  (1 )VP  ABCD ，

得(1 )  1 15h   1 [15  15
332
–––→2
而 PR  (1)PB PC ，则 PR
10(1 )] h ，则3(1 )  (1 
),
2
 16(1 )2  92 ，
6 ，
 8
PQ  
222252  32 16
 8  t (8, 9)
PR36( 8)2，令，
225(t  8)2  32(t  8) 1625t2  432t 1872133
PQ  36  36  36[144( )  25]
t2t2
t2t
当1  3 ，即t  26 , 2 时， (PQ2 )
 36 ，所以 PQ 长的最小值为 6 13 .
t2633
min1313
故答案为： 6 13
13
【点睛】关键点点睛：利用等体积转化求出
6
 8
是求解问题的关键.
04：向量数乘的有关计算
＂的形式，可快速判断共线关系，进而结合模长求解比例。
→
a  nb
m
理为＂
aa
a
3．向量等式的变形技巧：对含数乘的向量等式（如| → | b  | b | →  →  2b ），通过移项、合并同类项，整
| k |  | b |
→
| a |
，此时模长满足
→
a  kb
k
→
a, b
2．共线向量的数乘表达：若非零向量共线，则存在实数 ，使得
1．数乘与几何比例的联系：若 BD  DC ，则点 D 将线段 B C 分为:1的比例，对应三角形面积比为2 :1
（同高时），体积比与面积比一致（同高时）。
【典例 1】（2025·内蒙古赤峰·三模）在体积为 9 的三棱锥 P  ABC 中， BD  2DC ， BE  2EP ，则三棱锥
A  BDE 的体积为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【知识点】锥体体积的有关计算、向量数乘的有关计算
【分析】根据题意，得到 D, E 分别是 BC , BP 上靠近C, P 的三等分点，所以 S BDE  4 ，结合三棱柱 A  BCP
和 A  BDE 的高相等，得到V
ABDE
 4V 9
ABCP
，即可求解.
S BCP9
【详解】如图所示，因为 BD  2DC ， BE  2EP ，
SBDE  2 24
S
可得 D, E 分别是 BC , BP 上靠近C, P 的三等分点，所以
BCP
( 3)  9 ，
又因为三棱柱 A  BCP 和三棱锥 A  BDE 的高相等，且VP ABC  VA BCP  9 ，
所以VA BDE  4 ，可得V
 4 V
 4 .
VA BCP9
A BDE
9 A BCP
故选：C.
【典例 2】（2025·河北衡水·模拟预测）已知非零向量a ， b 满足 →→  →  2b ，则| b |  （ ）
| a | b | b | aa
11
→
| a |
A． 4B． 2C．2D．4
【答案】B
【知识点】向量数乘的有关计算
【分析】变形给定等式可得a, b 共线，再利用数乘向量的意义求解即得.
| a | b
| b | aa
【详解】由 →
→  →  2b ，得
→ 2)b  (| b | 
→ ，则a, b 共线，
(| a |
1)a
因此 →
2) | b | (| b | 
→ ，整理得2 | b | → ，而 →为非零向量，
(| a |
→
所以| b |  1 .
| a |2
故选：B
1) | a |
| a |
a, b
7
【典例 3（】2025·湖北孝感·三模）在△ABC 中，已知 AB=4，AC=7，BC 边的中线 AD= 2 ，那么 BC=．
【答案】9
【知识点】数量积的运算律、余弦定理解三角形、向量数乘的有关计算
–––→
【分析】利用 AD 
1–––→ 21
2 ( AB  AC )，得 AD  4
–––→ 2

AB
–––→ 2
AC
–––→ –––→

2 AB AC cs BAC ，即可求cs BAC ，利
用余弦定理即可求解.



–––→1–––→21 –––→–––→ 21 –––→2–––→2–––→ –––→
【详解】由 AD  ( AB  AC )，得 AD  AB  AC AB  AC  2 AB  AC ，
–––→ 21
所以 AD 
4
2

–––→ 2
AB
–––→ 2
AC
44

–––→ –––→
2 AB AC cs BAC ，

即 49  1 42  72  2  4  7  cs BAC ，
44
即cs BAC   2 ．
7

由余弦定理，得 BC2  AB2  AC2 2 AB  ACcs BAC  4 2 7 2 2 4 7 
2  8 ，


7
所以 BC  9 ．故答案为：9.

05：三角形的心的向量表示
三角形的＂心＂的向量表示
1．内心（角平分线交点）：若点 P 满足 aPA  bPB  cPC  0(a, b, c 为ABC 三边），则 P 为内心。可通过向量变形，结合角平分线性质判断。
2．重心（三条中线交点）：若 AM  AB  AC 且  1 ，则 M 为重心（重心分中线比为 2: 1，
3
向量表示体现为系数均为 ）。
3
向量与点的位置关系：对于 AM  AB  AC ，当 0   1, 0   1 且 0    1 时，点 M 在
ABC 内部（利用向量线性运算的几何意义，系数和与共线的关系判断） 。
外接圆圆心（外心）：外心是三角形三边垂直平分线的交点，一般需结合数量积（垂直时数量积为 0 ）、
1
余弦定理等。
【典例 1】（23-24 高三上·江西·开学考试）记ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知cs B  2 ，
3
–––→
P 为ABC 内一点．若点 P 满足CP 
b –––→
BP 
a –––→
PA ，且 BP  xBA  y BC ，则
x  y
的最大值为．
cc
【答案】 6  6
5
【知识点】半角公式、三角形的心的向量表示
【分析】由三角形内心的性质与半角公式求解
–––→b –––→a –––→
【详解】由CP  c BP  c PA ，得aPA  bPB  cPC  0 ，
–––→–––→ –––→–––→ –––→→
即a AP  b AB  AP  c AC  AP 
–––→–––→–––→
0 ，
 –––→–––→ 
整理可得a  b  c  AP  b AB  c AC  bc  AB 
AC  ，

–––→ –––→
 ABAC 
故点 P 在BAC 的平分线上，同理可得点 P 在BCA 的平分线上，所以点 P 为ABC 的内心．
如图，延长 BP ，交 AC 于点 D，过点 P 作 PE  AC ， PF  AB ，垂足分别为 E，F，
设 BP  BD ， 0   1，
–––→
由 BP  xBA  y BC ，得 BD 
x –––→
BA 
y –––→
BC ，

由 D，A，C 三点共线得 x  y  1 ，
 
x  y   BP 
BP
1111
所以BDBP  PD
1 PD
1 PE
1 PF
1 sin
ABC ．
BPBPBP2
因为cs∠ABC  2 ，所以sin ABC 6 ，
326
代入得 6 
5
6 ，当且仅当 PD  PE ，即 PD  AC 时等号成立，
故 x  y 的最大值为 6  6 ．
5
【典例 2】（2025·湖南长沙·一模）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，点 M 是△ABC所在平面上一点，且 AM  AB  AC 则下列说法正确的是（ ）
若0   1, 0   1, 0    1，则 M 在ABC 内部
若  1 ，则 M 为ABC 的重心
3
若 2 , 1 ，则AMC 的面积是ABC 面积的 1
333
若b  2, c  3, BAC  π ，M 为ABC 外接圆圆心，则  11
318
【答案】ABD
【知识点】数量积的运算律、根据向量关系判断三角形的心、向量的线性运算的几何应用
【分析】根据向量的线性运算对选项逐一判断即可.
【详解】
对于选项 A，当  1 时， B, M ,C 三点共线，由向量的线性运算可知，当0   1, 0   1, 0    1时，M 在ABC 内部，故 A 正确；
–––→2 –––→ –––→ –––→ –––→–––→––––→
对于选项 B，设 BC 中点 N，G 为△ABC 的重心， AG AN  2  AB  AC   1 AB  1 AC  AM ，故 B 正
33 233
确；
––––→2 –––→1 –––→
对于选项 C，已知 AM 
AB 
33
AC ，

––––→––––→ –––→2 –––→1 –––→ –––→1 –––→ –––→1 –––→
则 BM  AM  AB  AB  AC  AB  AC  AB  BC
3333
这说明 M 在线段 BC 上，且 BM : BC  1 : 3，那么 MC : BC  2 : 3 ，
因为AMC 和 ABC 高相同，根据三角形面积公式可知AMC 的面积与 ABC 面积之比等于它们底边 MC
与 BC 之比，
即AMC 的面积是ABC 面积的 2 ，故 C 错误；
3
对于选项 D₁ AM  AB  AC M 为外心，
––––→ –––→| AB |29 ––––→ –––→| AC |2
故 AM  AB  ,AM  AC  2,
222
–––→ –––→––––→ –––→
AB  AC  3, AM  AB  9 3
9 ––––→ –––→
, AM  AC  3 4 2 ，
2
所以 4 , 1 ，所以  11 ，故 D 正确.
9618
故选：ABD.
06：已知向量共线（平行）求参数
1 11 2
1 22 1
k m e  n e

–→
–→
2 1
2 2
 ，再根据基底系数对应相等列方程组求解参数。
3.要注意向量共线与向量坐标（若有坐标）的关系，若向量用坐标表示，可利用坐标共线的公式（如
a  x , y ,b  x , y，则
→

→
1
1


2
2

a
b 等价于 x y  x y  0来计算参数。
–→
1.若两非零向量 a 与 共线，则存在实数
b
过对应分量相等建立方程求解参数。
，使得
a  
→
b
。利用这一关系，可将共线向量转化为等式，通
2.对于用基底表示的向量，若

m e  n e
–→
–→
1 11 2
 
m e  n e
–→
–→
2 12 2

（ e , e 不共线），可设
12
m e  n e 
–→
【典例 1】（2025·北京·二模）设平面向量a 与b 不共线， k, s  R ，则“ →  kb 与 →  2b 共线”是“ sk  2 ”的
a
sa
（ ）
充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】已知向量共线（平行）求参数、根据充要条件求参数
→→→→
【分析】根据共线定理可得a  kb  sa  2b  ，由a 与b 不共线，得k  2 0 且s 1  0 ，即可结合充要
条件的定义求解.
→→
→→→→→
【详解】若a  kb 与 sa  2b 共线，则存在非零实数，使得a  kb  sa  2b  ，即k  2b  s 1 a ，
由于平面向量a 与b 不共线，所以 k  2 0 且s 1  0 ，故 sk  2 ，
a
sa
因此“ →  kb 与 →  2b 共线”是“ sk  2 ”的充要条件，故选：C
【典例 2】（2025·山东枣庄·二模）已知向量a  2, 1, b  1, m ，则（ ）
→→
A． a  b 的充要条件是m  2
B． a / /b 的充要条件是m   1
2
C． a 与b 垂直的充要条件是m  1
2
D．若a 与b 的夹角为锐角，则m 的取值范围是, 2
【答案】B
【知识点】已知向量共线（平行）求参数、充要条件的证明、利用向量垂直求参数、向量夹角的计算
【分析】根据给定条件，利用充要条件的定义求解判断 ABC；利用向量夹角公式列式求出范围判断 D.
22  (1)2
12  m2
→→2
【详解】对于 A， a  b 
→→

1
 m  4 ，则m  2 或m  2 ，A 错误；
对于 B， a / /b  2m  1  m  
2
，B 正确；
对于 C， a  b  2  m  0  m  2 ，C 错误；
对于 D，由a 与b 的夹角为锐角，得a  b  0 且a 与b 不共线，由选项 B 知， m   1 ，D 错误.
2
故选：B
→ →→→→→
【典例 3】（2025·广东茂名·二模）已知向量e1 , e2 不共线，且2e1  e2 ∥3e1  2e2  ，则实数 （ ）
B． 3
【答案】D
4
C． 3
D．  4
3
【知识点】已知向量共线（平行）求参数
→→→→
【分析】根据向量共线，可设2e1  e2   k 3e1  2e2  ，利用向量相等的条件求解即可．
→ →→→→→
【详解】因为向量e1 , e2 不共线，且2e1  e2 ∥3e1  2e2  ，
→→→→→→→→
设2e1  e2   k 3e1  2e2  ，即2e1  e2   3ke1  2ke2  ，
  4
2  3k3
所以 2k ，解得2．

故选：D．
k 

3
AB
07：平面向量的正交分解与坐标表示
1．向量坐标的求解：若已知向量起点 A x1, y1  和终点 B  x2, y2  ，则向量 AB 的坐标为 x2  x1, y2  y1  ，
需注意是终点坐标减起点坐标，避免顺序颠倒导致坐标错误。
2．向量共线的坐标判定：对于向量
a  x , y
→
1
1
 和b  x , y，若b ，则 x y  x y  0 。利用此公式

2
2

a
→
1 22 1
可建立方程，求解与向量共线相关的参数。
3．位移向量与坐标运算：涉及质点移动的位移向量问题，要根据每次移动的向量的模长和方向，确定其坐标表示，再通过累加位移向量得到总位移向量的坐标，进而结合模长公式求解相关问题。
【典例 1】（2025·辽宁盘锦·三模）已知 A 0, 0 ， B(2 ,1) ， C(, 2) ， D(2, 1)，若–––→ 与 DC 共线，则
（ ）
B．2C． 1或 2D． 2 或 1
【答案】D
【知识点】用坐标表示平面向量、由向量共线（平行）求参数
AB
–––→【分析】首先求出与 DC 的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为 A 0, 0 ， B(2 ,1) ， C(, 2) ， D(2, 1)，
所以 AB  (2 ,1)， DC  ( 2, 1) ，
AB
又–––→ 与 DC 共线，故2   2 ，解得 2 或 1 ． 故选：D
【典例 2】（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，一质点 P 从原点 O 出发，第一次从点 O 移动到点
P1 ，第二次从点 P1 移动到点 P2 ，…，第 k 次从点 Pk1（规定 P0  O ）移动到点 Pk .记向量vk  Pk 1Pk ，其模长
––→
n
为 k，方向与 x 轴正方向成(90k ) 角，设 S 为经过 n 次移动的位移向量，即 S  OP ，则当 Sn  85 时，n
nn
的值为.
【答案】13
【知识点】坐标计算向量的模、平面向量有关概念的坐标表示
【分析】根据题意，求出向量vk 的坐标，再求出向量 Sn 的坐标，根据模长求解 n 即可.
【详解】根据题意可知v  P P 的模长为 k，方向与 x 轴正方向成(90k ) 角，
kk 1 k
v  P P  (k cs(90k), k sin(90k) ) ，
kk 1 k
∴
nn
S  OP  (1cs 90  2 cs180  3cs 270  n cs(90n),1sin 90  2sin180  3sin 270  n sin(90n) )
，
––→
∴ S4  OP4  (2  4,1 3)  (2, 2) ， S4  2 2 ；
2
––→
S8  OP8  (2  4  6  8,1 3  5  7)  (4, 4) ， S8  4；
2
––→
S12  OP12  (2  4  6  8 10 12,1 3  5  7  9 11)  (6, 6) ， S12  6；
85
––→
S13  OP13  (2  4  6  8 10 12,1 3  5  7  9 1113)  (6, 7) ， S13 .
故n  13 .
故答案为：13 .
08：利用向量垂直求参数
1．向量垂直的核心公式：若两个非零向量
m  x , y , n  x , y
→

1
1

→

2
2
 垂直，则它们的数量积为 0 ，即
m  n  x1x2  y1y2  0 。利用此公式可建立关于参数的方程。
2．向量运算与坐标结合：当向量由已知向量线性组合（如 →
→ →
a  b
）构成时，先根据向量坐标运算求出组合
后向量的坐标，再代入垂直的数量积公式求解参数。
3．结合其他知识求解：若问题还涉及基本不等式、抛物线等其他知识，在利用向量垂直求出参数关系后，结合相应知识（如基本不等式求最值、抛物线的定义与性质等）进一步求解最终结果。
→→→→→
【典例 1】（2025·河北衡水·三模）已知向量a  1,1，b  1, 1，若a  b   a  b  且 0 ，则 的 最小值为.
【答案】2
ab , a
【分析】先求出 → 
→  b 的坐标，再根据 →
→  →
→
 得出 1 ，利用消元法结合基本不等式
a  ba  b
可求.
→→
【详解】由题意得， a b  1,1 ， a  b  1 ,1  ，
→→→→→→→→
因a  b   a  b  ，则a  b a  b   1  1    1  1  
 21  0 ，则 1 ，
因 0 ，则   1  2 ，等号成立时 1 ，

故 的最小值为2 .
故答案为： 2
【典例 2】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知 F 是抛物线C : y2  4x 的焦点， A, B 是C 上不同的两点， O 为
坐标原点，若OA  OB, OM  AB ，垂足为 M ，则△OFM 面积的最大值为．
【答案】1
【分析】求出抛物线焦点的坐标，设出直线 AB 的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理及OA  OB 求出
1
n 的值，然后联立直线 OM 与直线 AB 的方程求出点 M 的坐标，代入面积公式 SOFM  2  OF  yM ，最后化
简并利用基本不等式求最大值.
【详解】由题意知 F 1, 0 ，可设直线 AB 的方程为 x  my  n m  0 ， A x1, y1 , B  x2 , y2  ，
将 x  my  n 代入 y2  4x ，可得 y2  4my  n ，即 y2  4my  4n  0 ，
y2 y2
 y y 2
则 y1  y2  4m，y 1 y2  4n ，则 x x
 1  2  1 2  n 2 ，
1 24416
因为OA  OB ， OA   x1, y1 , OB   x2 ,y2  ，
–––→ –––→
所以OA OB  x x
 y y
2
4n
 4n  0 ，化简得n2  4n  0 ，
1 21 216
解得n  4 或n  0 （ n  0 时直线过原点，舍去），则直线 AB 的方程为 x  my  4 ，
因为OM  AB ，所以设直线 OM 方程为： y  mx ，
x 
x  my  4  
4
1  m2
 M  4 ,  4m 
联立两直线方程 y  mx4m
 1  m2
1  m2  ，

 y  


1
m  1
m
1  m2
所以 S 1  OF  y
 2
 2，
m
1 m2
OFM2M
因为函数 y  m  1 为奇函数，且当m  0 时， y  m  1  2 （当且仅当m  1时等号成立），
m
1
m
所以 m  2 ，则 S
△OFM  2
m
1
m  1
m
 1（当且仅当m  1时等号成立）.
所以△OFM 面积的最大值为 1.
故答案为：1
→
【典例 3】（2025·辽宁·模拟预测）已知向量a  m 1,1, b  2, m ，则下列选项正确的有（ ）
若 → b ，则m  2
a3
→→
若 a  b ，则m  1
a
a, b
若 →  b  1，则向量 →的夹角为60↗
a, b
若 →共线，则m  2
【答案】AB
【分析】由向量垂直的数量积表示可得 A 正确；由坐标计算模长可得 B 正确；由坐标计算向量的夹角可得 C
错误；由坐标表示向量平行可得 D 错误.
【详解】对于 A，若 → b ，则 →  b  0 ，则2 m 1  m  0 ，解得m  2 ，故 A 项正确；
aa3
→→222
对于 B，若 a  b ，则(m 1) 1  2  m ，解得m  1，故 B 项正确；
对于 C，若 →  b  1 ，则2 m 1  m  1 ，解得m  1，则 →  0,1, b  2,1 ，
a
→cs  → →
a
a  b
→
→
→
a b51
所以向量a, b 夹角的余弦值为
a, b 
5  2 ，故 C 项错误；
a, b
对于 D，若 →共线，则m 1 m  2 ，解得m  1或m  2 ，故 D 项错误.故选：AB.
向量共线的判定：若存在实数，使得 d  b (b  0) ，则a 与b 共线。利用这一关系，可将共线向量 转化为等式，通过向量的线性运算求解参数。
向量线性运算与共线结合：在涉及三角形或其他几何图形的向量共线问题中，先对已知向量进行线性运算（如拆分项、合并同类项等），将其转化为与待求共线关系相关的向量表达式，再根据共线的定义建立方程求解。
空间向量共线的拓展：在空间几何体（如正方体）中，向量共线可用于判断直线的位置关系（如异面直线、平行直线等），或结合向量表达式确定动点的轨迹等问题，需将平面向量共线的知识拓展到空间中，利用向量的线性运算和共线性质分析空间中的几何关系。
01：平面向量共线问题
–––→
【典例 1】（2025·湖南邵阳·三模）设 D 为ABC 所在平面内一点，AD  
1 –––→
AB 
6 –––→

AC ．若 BC  DC  R ，
55
则的值为（ ）
B．5C． 4D． 5
【答案】D
【知识点】向量数乘的有关计算、平面向量共线定理证明线平行问题
【分析】根据向量的线性运算，即可求解.
–––→
1 –––→
6 –––→
1 –––→
1 –––→–––→
【详解】 AD   AB  AC   AB  AC  AC ，
5555
–––→ –––→
1 –––→ –––→
–––→
1 –––→
5
所以 AD  AC  
即 5 .
故选：D
 AB  AC ，即CD  
5 CB ，即 BC  5DC ,
【典例 2】（2025·浙江·三模）如图所示，某游戏闯关者需从区域Ⅰ内的定点 P 快速移动至区域Ⅱ内的定点
Q.两区域以直线 l 为分界线，已知 P，Q 两点到直线 l 的距离分别为 1，2，且向量 PQ 在直线 l 的方向向量
上的投影向量的模长为 3，考虑到两区域通行环境差异，设定闯关者在区域Ⅰ的移动速率为 a，在区域Ⅱ中的移动速率为 b，线段 PQ 与直线 l 相交于点 A，若图示折线路径 PBQ 是耗时最短的闯关路线.则下列说法正确的有（ ）
存在实数，使得 BA  BP  1 BQ
若tan BQP  1 ，则 AB  1
72
a  b
b csPBA  a csQBA  0
【答案】ABD
【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】对于 A：利用共线定理即可得到；对于选项 B：分别过点 P，Q 作直线 l 的垂线，利用正切值即可求得结果；对于选项 C:利用大角对大边即可判断；对于选项 D：设 BC  x ，计算出最短距离，再求导求得
单调区间进而求得极小值即可得到结论.
【详解】对于选项 A：因为点 A 在线段 PQ 上，所以存在这样的实数，故 A 正确；
对于选项 B，分别过点 P，Q 作直线 l 的垂线，垂是分别为 C，D，则 CA  1，
tan BQD  tan AQD  AQB 
tan AQD  tan AQB 
1 tan AQD tan AQB
1 1
7 3 ，
1 14
7
DB  3 ，因此 AB  3 1 3  1 ，故 B 正确；
222
对于选项 D:设 BC  x ，显然只需考虑0  x  3 ，闯关时间
1 x2
4  3  x2
t x  x  3  x
1 x2
4  3  x2
t  x ，
ab
a
，
b
1 x2
x2
1 1
y x
而
10  x  3
为单调递增函数，
3  x
4  3  x2
因此 y 为单调递减函数，故t  x 单调递增，由于t0  0 ， t3  0 ,
00
故t  x 在0, 3 上存在唯一零点 x 即为t  x的极小值点，即当 x  x 时闯关用时最短，
0
此时t  x   0 ，可得b csPBA  a csQBD ，即b csPBA  a csQBA  0 ，故 D 正确；对于选项 C：当点 B 在点 A 右侧时可得PBA  QBD ，因此a  b ，故 C 错误.
故选:ABD.
【典例 3】（2025·湖北·三模）在棱长为 2 的正方体 ABCD  A1B1C1D1 中，M , N , P, Q 分别是棱C1D1 , A1 A, AB, CD
的中点，动点 E 在正方体表面运动，则（ ）
PN 与 A1M 为异面直线
A1B 与MN 所成的角为90∘
平面 PMN 截该正方体所得截面形状为等腰梯形
A E  t A A  AQ  2t A B ，则 E 点轨迹长度为 5
1111 12
【答案】ABD
【知识点】立体几何中的轨迹问题、判断正方体的截面形状、平面向量共线定理证明线平行问题、求异面直线所成的角
【分析】根据异面直线定义可判断 A 正确，作与 A1B 平行的直线 MF ，作出异面直线的平面角并由勾股定理可判断 B 正确，作出截面形状可知平面 PMN 截该正方体所得截面形状为正六边形，可得 C 错误，利用向量共线定理可找出 E 点轨迹为线段QE1 ，求出其长度可得结果，即 D 正确.
【详解】对于 A，由异面直线定义可知 PN 与 A1M 不同在任何一个平面内，它们是异面直线，即 A 正确；
对于 B，取CC1 的中点为 F ，连接 MF, NF ，如下图所示：
由正方体性质可知 A1B / /D1C ，又 MF   D1C ，所以 MF / / A1B ，
因此 A1B 与 MN 所成的角即为 MF 与 MN 所成的角，即FMN 或其补角，
易知 MN 
6, MF 
2, NF  2 2 ，满足MN 2  MF 2  NF 2 ，即 MF  MN ，
所以FMN  90∘ ，因此 A1B 与 MN 所成的角为90∘ ，即 B 正确； 对于 C，分别取 BC, A1D1 的中点为 R,G ，连接各中点，如下图所示：
易知 MF / / NP ， GM   RP, NG   RF ，即可知 M , N, G, P, R, F 在同一平面内，所以平面 PMN 截该正方体所得截面即为六边形 MGNPRF ，
又 MF  NP  GM  RP  NG  RF ，所以截面形状为正六边形，即 C 错误；对于 D，因为 N 为 A1 A 的中点，所以 A1 A  2 A1 N ，
由 A1E  t A1 A  A1Q  2t A1B1 可知 A1E  A1Q  2t A1 N  2t A1B1 ，
即QE  2t B1 N ，因此可知QE, B1 N 共线，
所以 E 点轨迹为过点Q 且与 B1N 平行的线段，
取 DD1 的中点为S ，连接 SC1 ，取CF 的中点 E1 ，连接QE1 ，如下图所示：
由正方体性质易知 B1 N   SC1 , DF   SC1 ，又QE1 为 DF 的中位线，所以 DF  QE1 ， B1N  QE1 ；
因此 E 点轨迹即为线段QE1 ，且QE  1 DF 5 ，
122
所以 E 点轨迹长度为 5 ，可得 D 正确.
2
故选：ABD
02：利用坐标求向量的模
利用坐标求向量的模
若已知向量的坐标 a  (x, y) ，则其模| → |
ax2  y2 。
若已知向量的线性运算关系（如 m  n 与 m  n 的坐标），可先求出向量 m 、n 的坐标，再代入模的公式计
算；也可利用| m |2  | n |2  (m  n)  (m  n) ，通过数量积的坐标运算求解，如典例 1 中可利用该公式简化计算。
→
→
→→→→
【典例 1】（2025·陕西咸阳·三模）已知向量m, n 满足m  n  2, 3, m  n  4, 1 ，则 m
→ 2
–→ 2
 n ＝（ ）
B．－5C．－11D．11
【答案】B
【知识点】利用坐标求向量的模、平面向量线性运算的坐标表示
【分析】由题可求m, n ，再求值即可.
【详解】 m  n  2, 3, m  n  4, 1，
2m  2, 4  m  1, 2 ， 2n  6, 2  n  3, 1 ，
–→ 2
所以 m
→
2
 n  1 4  9 1  5 .
故选：B.
–––→ –––→
【典例 2】（2025·江苏苏州·三模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(2, 0), B(2, 0) ，若点 P 满足| PA  PB | 2 ，
则 AP•BP  （ ）
A．-3B．0C．1D．4
【答案】A
【知识点】数量积的坐标表示、利用坐标求向量的模
P x, y
–––→ –––→22
【分析】设点  ，得到 PA, PB, PA  PB 的坐标，由| PA  PB | 2 ，可得 x  y  1，将其代入 AP•BP 即
可得解.
【详解】设点 P  x, y ，则 PA  2  x,  y, AP   x  2, y ，
PB  2  x,  y, BP   x  2, y ，所以 PA  PB  2x, 2 y ，
2x2  2 y2
–––→ –––→
因为| PA  PB | 2 ，所以
 2 ，
整理可得 x2  y2  1，
所以 AP•BP   x  2 x  2  y2  x2  4  y2  3
故选：A
–→
【典例 3】（2025·安徽合肥·二模）已知向量e1  1, 0 ，e2  1, 3  ，设a  4e1  e2 ，b  3e1  e2 ，则a 与b 的
夹角为（ ）
πππ2π
A． 6B． 4C． 3D． 3
【答案】C
【知识点】数量积的坐标表示、利用坐标求向量的模、平面向量线性运算的坐标表示、向量夹角的计算
→→
【分析】由条件结合向量坐标运算公式求a ， b ，再求a  b ， a ， b ，再结合向量夹角公式求结论.
–→
【详解】因为e1  1, 0 ， e2  1, 3  ，
→–→–→
所以a  4e1  e2  4, 0  1, 3   5, 3 ，
→–→–→
b  3e1  e2  3, 0  1, 3   2,  3  ，
52  
3 2
→ →→
7
所以a  b  5 2 
2  3
2
2
→
3 
3   7 ， a 
 2，
7
b ，
设a 与b 的夹角为，
→
a b
→  →
2 7  7
2
则cs a  b 7 1 ，又0, π，
所以 π ，即a 与b 的夹角为 π .
33
故选：C.
03：由坐标判断向量是否共线
步骤：首先明确要判断共线的两个向量的坐标，然后将坐标代入上述公式进行计算，若结果为 0 ，则两向
量共线；否则不共线。
拓展应用：在涉及向量的和、差等运算时，先通过坐标运算求出运算后向量的坐标，再利用共线公式判断其与其他向量是否共线。同时，可结合向量垂直、投影向量等知识，综合解决向量相关的几何问题。

1
y  0
1 22
x y  x
b
a

2
2


1
1

→
核心公式：若向量 a  x , y ,b  x , y，则 与 共线的充要条件是
解题方法：
→→
ππ 
【典例 1】（2025·江苏·一模）若a  2, 3 ， b   2cs ,2sin  ，下列正确的是（）
33 

→→→
A． b / / a  b
1 →
C． a 在 b 方向上的投影向量是 4 b
【答案】C
‴ ‴ ‴

B． b  a  b
→→→→
D． a  b  a  b
【知识点】由坐标判断向量是否共线、向量垂直的坐标表示、求投影向量
【分析】根据向量平行的坐标表示判断 A，根据向量垂直的坐标表示判断 B、D，根据投影向量的定义判断
C.
→→
ππ 
【详解】由已知a  2, 3 ， b   2cs ,2sin  1, 3 ，
33 
→→→→
所以a  b  2, 3   1, 3 = 3, 0 ， a  b  2, 3   1, 3 = 1, 2 3  ，
3
a
因为1 0  3 3  3 0 ，所以b， →  b 不平行，故 A 错误；
a
因为13 + 3  0  3  0 ，所以b， →  b 不垂直，故 B 错误；
因为a 在 b 方向上的投影向量为 → →
a  b  b
bb
 2 1 3  3 b
12   3 
2

12   3 2
1 →

4 b ，故 C 正确；
a
因为1 3+ 2 3  0  3  0 ，所以a  b， →  b 不垂直，故 D 错误.
故选：C.
→→
→→
【典例 2】（2025·陕西·一模）若向量a  0, 1， b  3, 4 ， c  4, 4 ，则（ ）
5
→
b 
a  c  //b
→
→→
a 
b  c 
a
在c 上的投影向量是  1 ,  1 

 22 
【答案】CD
【知识点】由坐标判断向量是否共线、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、求投影向量
【分析】利用向量模长公式判断 A；根据向量平行的性质判断 B；根据向量垂直数量积为零判断 C；利用投
影向量的定义判断 D.
→→
【详解】因为向量a  0, 1， b  3, 4 ， c  4, 4 ，
32  42
→
对于 A， b 
→→
 5 ，故 A 错误；
对于 B， a  c  4, 3  b ， a  c 与b 不平行，故 B 错误；
→→→→→→→
对于 C，因为b  c  3  4, 4  4  7, 0 ，则a  b  c   0,1  7, 0  0 ， a  b  c  ，故 C 正确；

→ →
c
→ 2
a c →
对于 D， a 在c 上的投影向量为c
03  1 4 →

42  42c  
1 4, 4 
8
 1 ,  1 



22
，故 D 正确．

故选：CD.
【典例 3】（2025·山东菏泽·一模）已知平面向量a  2, sin ， b  cs,1 ，则下列说法正确的有（ ）
A．向量a ， b 不可能垂直B．向量a ， b 不可能共线
→→π
C． a  b 不可能为 3D．若 2 ，则a 在b 上的投影向量为b
【答案】BD
【知识点】由坐标判断向量是否共线、向量垂直的坐标表示、求投影向量、利用坐标求向量的模
【分析】根据向量垂直的坐标表示可判断 A；根据向量平行的坐标表示可判断 B；根据向量模长坐标公式可
→
a·b b
判断 C；根据a 在b 上的投影向量为 →→ 可判断 D.
b b
→
【详解】由题意知a  2, sin ， b  cs,1 .
对于选项 A，若向量 a  b ，则a•b  2 cs sin 0，即tan 2 ， 显然此式能成立，故 A 错；
对于选项 B，若向量a / /b ，则有21 sincs 0 ，即2  1 sin 2 0 ，
2
即sin 2 4 ，显然此式不成立，故 B 正确；
(2  cs)2  (sin1)2
6  2 5 cs( )
→→
对于选项 C， a  b 
3 5
→→
 6  4 cs 2 sin，
则当cs() 时， a  b
10
 3 ，故 C 错；
π→
对于选项 D，若 ，则a  2,1 ， b  0,1 ，
2
→→→
a·b b
则a 在b 上的投影向量为 →→
 1
11
b  b
，故 D 正确.
b b
故选：BD
2．解题步骤
确定向量坐标：根据题目条件，求出需判断垂直的两个向量的坐标（若向量由已知向量线性组合而成，先通过向量的线性运算求出组合后向量的坐标）。
代入垂直公式：将向量坐标代入数量积为 0 的公式，建立关于参数的方程。
求解参数：解上述方程，得到参数的值。若涉及多个参数，结合题目其他条件（如向量共线、模长关系等）进一步分析求解。
→ →
m  n  x1x2  y1 y2  0
 垂直，则它们的数量积为 0 ，即
2
2

→

1
1

→
m  x , y , n  x , y
1．核心依据：若两个非零向量
解题方法
04：已知向量垂直求参数
【典例 1】（2025·湖北武汉·三模）在矩形 ABCD 中， A1, 0, B  x,1  x ，若 →  2, 3 ，且 →，则 x 
nn / / AD
（ ）
5
【答案】C
 1
5
1
5
D．5
n
【分析】由已知 →  AB ，再应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值.
n
n
【详解】由题设知 →  AB ，且 AB  (x  1,1  x) ，则 →  AB  2(x 1)  3(1  x)  0 ，
所以5x 1  0 ，即 x  1 .
5
故选：C
a
ma
na
【典例 2】（2025·浙江·二模）已知向量 →  2,1 ， b  2, 1 ，则 →  →  b ， →  →  b （，  R ）， 则下列表述正确的是（ ）
m 
A．存在唯一的实数对, ，使得m // nB．存在唯一的实数对, ，使得m  n
C．存在唯一的实数对, ，使得m  n
存在唯一的实数对, ，使得 ‴ n
【答案】C
→→→→
【分析】由题意m  a  b  2 2,1 ， n  a  b  2  2,1  ，由向量平行的充要条件判断 A；由
向量垂直的充要条件判断 B；由向量相等的充要条件判断 C，由向量模的计算公式判断 D.
→→→→→
【详解】因为向量a  2,1 ， b  2, 1 ，则m  a  b  2 2,1 ， n  a  b  2  2,1  ， 对于 A， m // n 当且仅当211   211 ，即1   1，
即 1，由此可知存在无数组实数对, ，使得m // n ，故 A 错误；
对于 B， m  n 当且仅当411  11   0 ，
即4 1  1   0 ，即3 5 5 3 ，
当  5 时，该方程不成立，此时不存在实数对, ，使得m  n ，
3
当  3 时，此时 0 ，由此可知存在实数对 3 , 0，使得m  n ，
5 5

当  3 且  5 时，此时存在无数对实数对, ，使得m  n ，故 B 错误；
53
2 2  2  2
对于 C， m  n 当且仅当
  1 ，故 C 正确；

1  1，解得
→→2222
对于 D， m  n  4  1   1   4  1   1  ， 即52  6 52  6，进而可得 5 5 6  0
m 
故当 或者5 5 6  0 时，此时有无数组实数对, ，使得 ‴
n ，故 D 错误.
故选：C.
→→→→
【典例 3】（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量a  1, 0, b  1, 3 ，若ka  b   b ，则k  （ ）
10
2
C．2D．10
【答案】D
【分析】根据向量线性运算的坐标运算与垂直关系的坐标表示求解即可.
→
【详解】由题意可得ka  b  k 1, 3 ，
→→→
因为ka  b   b ，所以k 11  33  0 ，解得k  10 .
故选：D
05：用向量解决线段的长度问题
1．核心思路：利用向量的模长公式| → |
aa a
→  → ，将线段长度转化为向量的模长，通过向量的数量积运算求
解。
2．具体步骤
表示向量：将所求线段对应的向量，用已知向量（如基底向量、坐标向量等）线性表示出来。例如在平行四边形中，用 AB 和 AD 表示 AP ；在三角形中，利用中点性质表示CD 。
数量积运算：根据题目条件（如向量垂直、角度、边长等），对表示出的向量进行数量积运算。若有垂直
关系，利用 m  n 则 m  n  0 建立方程；若涉及角度，利用 →  b | → || b | cs计算。
a
a
求模长：对表示线段的向量进行平方，展开后结合数量积的结果，求出向量的模长，即线段的长度。若求
取值范围，可结合基本不等式、二次函数性质等分析。
5
3
【典例 1】（2025·山东临沂·三模）在平行四边形 ABCD 中， AB  3 ， AD  2 ， BAD  60∘ ， P 为边CD 上一点，若 AP  BD ，则线段 AP 的长为（ ）
A． 21
2
【答案】A
C．3D． 2
–––→–––→
【分析】利用向量垂直则数量积为 0，求出 AP  AD 
【详解】设 AP  AD AB ，如图，
1 –––→
6 AB ，再平方求向量的模即可.
因为 AP  BD ，

–––→ –––→–––→–––→–––→ –––→–––→2
所以 AP  BD  AD  ABAD  AB  AD
–––→2
 AB
–––→ –––→

 1 AB  AD  0 ,
即4  9 1 3 2  1  0 ，解得 1 ，
–––→–––→
所以 AP  AD 
 –––→ 1 –––→ 2
 AD  6 AB


–––→
2
1 –––→
AB ，
6
–––→2
1 –––→2
6
1 –––→ –––→
11121
AP 
AD
AB
36
AD  AB 
3
4  3 2 ，
4322
故选：A
【典例 2】（2025·湖北黄冈·三模）在ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知c  2 且
a  csin A  sin C   b sin A  sin B .
求角C ；
若 D 为 AB 的中点，求线段CD 长的取值范围.
π【答案】(1)
3

(2) 1, 3 
【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解；
–––→1
（2）由CD 
2
–––→–––→

CA  CB ，两边平方，再结合0  ab  4 即可求解.
【详解】（1）由正弦定理可得a  c a  c  b a  b ，
即a2  b2  c2  ab ，
a2  b2  c2ab1
由余弦定理可得cs C  ，
2ab
因为C 0, π ，所以C  π ；
3
2ab2
–––→1
（2）点 D 为 AB 的中点，则CD 


2
–––→–––→

CA  CB ，
–––→ 21
CD 
4
–––→ 2
CA
–––→ –––→ –––→
2
2CA CB  CB
 1 b
4 

2 a 2
 2ab cs
π 1 b
3

4
2 a 2
 ab  ，
因为c  2 ，由（1）可知a2  b2  4  ab ，即a2  b2  4  ab ，因为a2  b2  2ab ，当且仅当a  b 时，等号成立，
故ab  4  2ab ，求出ab  4 ，当且仅当a  b  2 时，等号成立，
–––→21
故CD
–––→
 2ab  4  3 ，当且仅当a  b  2 时，等号成立，
4
–––→21
故 CD 
–––→
1 
3 ，又ab  0 ，故CD
 2ab  4  1 ，
4
3

故CD 
，即CD 的取值范围为1, 3  .
【典例 3】（2025·重庆·模拟预测）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a  20 ，b  13 ，sin B  3 ，
5
且 A 为钝角．
求sin C ；
若 D 是边 BC 的中点，求 AD 的长．
33
【答案】(1) 65
5
(2) 3
【分析】（1）由正弦定理结合sin C  sin  A  B ，即可求解；
–––→1
（2）由 AD 
2
–––→ –––→

AB  AC ，通过平方即可求解.
【详解】（1）由正弦定理：
20  3
a
sin A
b，
sin B
可得： sin A  a sin B 
b
5  12 ，
1313
由因为 A 为钝角，易得cs A   5 , cs B  4 ，
135
所以sin C  sin  A  B  sin Acs B  cs Asin B  12  4  5  3  33
13 5 13 565
（2）由正弦定理
b
sin B
c，
sin C
可得： c 
b
sin B
sin C  11
–––→1
由 AD 
2
–––→ –––→

AB  AC ，

–––→ 21
可得 AD 
–––→ 2

AB
–––→ 2

AC
–––→ –––→

2AB  AC 
1 121 169 2 11 13 5
 45 ，

44 
45
5
–––→
13 
所以 AD  3，
5
所以 AD 的长3.
解题步骤
求出相关向量的坐标：根据向量的线性运算（加、减等），求出需要判断共线的向量坐标。
代入共线公式：将向量坐标代入 x1 y2  x2 y1  0 ，建立关于参数的方程。

1
y  0
1 22
x y  x
 共线（平行），则
2
2

→

1
1

→
m  x , y , n  x , y
核心依据：若两个向量
方法技巧总结：
06：由向量共线（平行）求参数
（3）求解参数：解上述方程，得到参数的值。
(a b)//c
【典例 1】（2025·北京延庆·一模）已知向量a  (1, 2) ，b  (, 1) ，c  (, 1) ，若 → → ，则 （ ）
2
1
C．0D．1
【答案】B
【知识点】由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示
【分析】根据向量共线的充要条件得解即可.
【详解】因为a  (1, 2) ， b  (, 1) ，
→
所以a  b  1 ,1 ，
因为 → → ，
(a b)//c
所以1  u  0 ，解得 u  1 ，
故选：B
→→→→→
【典例 2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知平面向量a  1, 2 ，b  1, x 1 ，且a / / b  a  ，则 b （ ）
5
37
A．5B．C．37D．
【答案】B
【知识点】坐标计算向量的模、由向量共线（平行）求参数
【分析】由向量共线的坐标表示及模长公式即可求解.
a
【详解】b  →  2, x 1 ，
→→→
因为a / / b  a  ，
可得：1 x 1  4 ，即 x  3 ，所以b  1, 2 ，
1 4
5
→
所以 b

，
故选：B
【典例 3】（
湖南岳阳 一模）已知向量 →  1, 2, b  m, 3 若 →  → ∥  →  →，则m 
【答案】 3
2
2025··a
.a b
a 2b.
【知识点】由向量共线（平行）求参数
【分析】用向量平行的坐标表示计算即可；
→→
【详解】a  b  1 m, 1 ， a  2b  1 2m,8 ，
→→→→3
2
因为a  b  ∥ a  2b ，所以81 m  1 2m  0 ，即9  6m  0  m  .
3
故答案为： 2 .
。特别地，当 为中点时，1，中点坐标公式为
P

 x

 xy  y 

12
2
,
12
2



2.解题方法
向量线性运算方法：利用平面向量基本定理，将所求向量用已知基底（如CA, CB 等）线性表示。通过分析线段的定比关系（如几等分点），结合向量的加、减、数乘运算，逐步推导得出结果。
坐标运算方法：建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标。根据定比分点的坐标公式，结合向量坐标
的线性运算（如向量的坐标等于终点坐标减起点坐标），计算出所求向量的坐标。


2
y
1
y  
,
11 

x
 
12

 x
1.关键公式
若点 P 分有向线段 P1P2 的比为（ 即 P1P  PP2 ） ， 且 P1  x1, y1 , P2  x2 , y2  ， 则点 P 的坐标为
07：线段的定比分点
【典例 1】在ABC 中，点 D 是线段 AB 上靠近 B 的四等分点，点 E 是线段 CD 上靠近 D 的三等分点，则 AE 
（ ）
 2
–––→
CA 
1 –––→
CB
1 –––→
CA 
5 –––→
CB

5 –––→
CA 
1 –––→
CB

1 –––→
CA 
2 –––→
CB
3326
【答案】C
6233
【知识点】用基底表示向量、向量坐标的线性运算解决几何问题、平面向量基本定理的应用、线段的定比分点
【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案；
方法二：设ABC 是等腰直角三角形，且CA  CB  4 ，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设
AE  mCA  nCB ，从而得到方程组，求出答案.
–––→2 –––→–––→3 –––→
【详解】方法一：如图，由题意得CE 
CD ， AD 
3
AB ，
4

–––→–––→–––→–––→2 –––→–––→2 –––→ –––→1 –––→2 –––→
故 AE  AC  CE  AC  CD  AC  AD  AC  AC  AD
3333
 1

–––→1 –––→1 –––→1 –––→ –––→5 –––→1 –––→
AC  AB   CA  CB  CA   CA  CB ；
323262
方法二：不妨设ABC 是等腰直角三角形，且CA  CB  4 ，以 C 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则C 0, 0, A 0, 4 , B 4, 0 , D 3,1 , E 2, 2  ，
3 

则CA  0, 4, CB  4, 0 ，
设 AE  mCA  nCB ，
故 2,  10   m  0, 4  n 4, 0 ，
3 

所以4n  2, 4m   10 ，解得m   5 ,n  1 ，
–––→
故 AE  
5 –––→
CA 
362
1 –––→
CB ．
62
故选：C．
【典例 2】已知平面直角坐标系内ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1,1), B(2,3),C(6,5) ，D 为 BC 边的中点，则 AD  （ ）
(3, 2)
(1, 3)
(3,5)
(2, 4)
【答案】B
【知识点】线段的定比分点、平面向量线性运算的坐标表示
【分析】利用中点坐标公式及向量的坐标表示即得.
【详解】∵D 为 BC 边的中点， A(1,1), B(2,3),C(6,5)，
∴ D(2, 4), AD  1,3.
故选：B.
【典例 3】（2024·辽宁·模拟预测）已知O 为坐标原点， A2, 1 ， B 1, 2 ， C 1, 2 ，则（ ）
–––→ 方向的单位向量为 10 ,  3 10 
AB 1010 

若 AP  2PB ，则点 P 的坐标为 4 ,1
 3

ACB  π
4
10
CA 在CB 上的投影的数量为
【答案】BC
【知识点】线段的定比分点、向量夹角的坐标表示、求投影向量
【分析】利用向量的坐标表示，结合数量积的公式，即可求解，判断选项.
10
–––→
AB
–––→
  10 , 3 10 
【详解】对于 A.
 1, 3 , AB
，所以 AB 方向的单位向量为
1010
 ，故 A 错误；

对于 B.设 P  x, y ，由 AP  2PB ，则 x  2, y 1  2 1  x, 2  y  ，
 x  2  2  2x
x  4
 4 
3
所以
y  1  4  2 y

，所以
3 ，所以 P 

,1
，故 B 正确；
 y  1
csACB 

–––→ –––→
 CA  CB  3 2 1 4 2
对于 C. CA  3,1 ， CB  2, 4 ，
所以ACB  π ，故 C 正确；
5
4
cs CA,CB
–––→ –––→，
10  2 5
CA CB2
2 5
对于 D.向量CA 在CB 方向上的投影数量
CA  CB –––→ CB
10 
，故 D 错误.
故选：BC.