2027年高考数学一轮复习学案 专题10 复数及其应用

这是一份2027年高考数学一轮复习学案 专题10 复数及其应用学案主要包含了知能解读 01，知能解读 02，知能解读 03，重难点突破 01，重难点突破 02，重难点突破 03，重难点突破 04，重难点突破 05等内容，欢迎下载使用。
理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系.
盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分.
【知能解读 01】复数的概念
【知能解读 02】复数的四则运算
【知能解读 03】复数的三角表示式
破·重点难点：突破重难点，冲刺高分.
【重难点突破 01】对复数概念的理解
【重难点突破 02】利用复数相等求解
【重难点突破 03】利用复数的几何意义解题
【重难点突破 04】复数模的求解
【重难点突破 05】复数的四则运算
【重难点突破 06】in(n∈R)的周期性及其应用
【重难点突破 07】关于共轭复数的几个常用结论
【重难点突破 08】|Z-Z0|(z，z0∈C)的几何意义
【重难点突破 09】n 个复数乘法的三角表示(棣莫弗定理)(拓展)
辨·易混：辨析易混知识点，夯实基础.
【易混 001】虚部概念混淆
【易混 002】复数的分类及辨析
【易混 003】复数的坐标表示
【易混 004】判断复数对应的点所在的象限
【易混 005】已知复数的类型求参数
05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类
【方法技巧 01】复数加减法的代数运算
【方法技巧 02】复数代数形式的乘法运算
【方法技巧 03】复数的乘方
【方法技巧 04】复数的除法运算
【方法技巧 05】复数范围内方程的根
【方法技巧 06】根据相等条件求参数
【方法技巧 07】在各象限内点对应复数的特征
【方法技巧 08】根据复数的坐标写出对应的复数
【方法技巧 09】与复数模相关的轨迹(图形)问题
复数的引入
01复数的概念
为了解决 x2 1  0 这样的方程在实数系中无解的问题，引入一个新数 i ，规定： i2  1 ，即 i 是方程
x2 1  0 的根.
复数的相关概念
复数的相关概念
形如 a  bi （ a, b  R ）的数叫做复数，复数通常用字母 z 表示，即 z  a  bi （ a, b  R ）.其中 a 叫做实部， b 叫做虚部， i 叫做虚数单位， z  a  bi （ a, b  R ）叫复数的代数形式.
全体复数构成的集合C  {a  bi | a, b  R} 叫做复数集.
【真题演练】（2025·河北保定·一模） z  5  3i211 的虚部为（ ）
3
3i
5
D．3
【答案】A
【知识点】求复数的实部与虚部
【分析】利用复数的周期性规律，将复数化为a  bi(a, b  R) 的形式，则复数的虚部可求.
【详解】因为i3  i, i4  1，所以 z  5  3i211  5  3i52 4 3  5  3i，其虚部为3 .
故选：A.
复数的分类
实数(b  0),
复数 a  bi （ a, b  R
）


虚数(b  0) 
纯虚数(a  0),

非纯虚数(a  0).
两个复数相等
a  bi 与c  di （ a, b, c, d  R ）相等当且仅当 a  c 且b  d .
特别地， a, b  R 时， a  bi  0  a  0, b  0 .
【真题演练 1】（2025·河北邢台·三模）若a  i  b  2  ai(a, b  R) ，则a  b  （ ）
A．2B．4C． 4D． 2
【答案】C
【知识点】复数的相等
【分析】根据复数相等的概念可得.

a  b  2
b  3

【详解】由题意得，
1  a
，解得a  1，所以a  b  4 .
故选：C
【真题演练 2】（2025·福建福州·模拟预测）已知复数 z  a 2  4 a  2 i（ a  R ，i 为虚数单位）是纯虚数，
则a  ．
【答案】2
【知识点】已知复数的类型求参数
【分析】根据题意，结合复数的定义，列出方程组，即可求解.
 2 
a2  4  0
【详解】由复数 z  a  4  a  2 i 是纯虚数，可得
a  2  0
，解得a  2 ．
故答案为： 2 .
复数的几何意义
复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
复数与复平面内点的关系：每一个复数在复平面内有唯一的一个点和它对应，反之，复平面内的每一个点有唯一的一个复数和它对应，因此复数 z  a  bi （ a, b  R ）与复平面内的点 Z (a, b) 是一一对应的关系.
复数与向量的关系：复平面内的点 Z (a, b) 与以原点O 为起点、 Z (a, b) 为终点的向量OZ 一一对应，
所以复数 z  a  bi （ a, b  R ）与复平面内的向量OZ 是一一对应的关系.
复数的模
概念：复数 z  a  bi （ a, b  R ）对应的向量为OZ ，则OZ 的模叫做复数 z  a  bi 的模或绝对值，
a2  b2
记作| z |或| a  bi | ，即| z || a  bi |.如果b  0 ，那么 z 是实数a ，它的模就等于| a | （即 a 的
绝对值）.
几何意义： | z || OZ | 即点 Z (a, b) 与原点O 的距离.一般地， | z1  z2 | 即为复平面内点 Z1 与 Z2 之间的距离.
【真题演练 1】（2025·广西南宁·模拟预测）在复平面内，复数 z 对应的点为2,1 ，则 z  （ ）
3
5
A．0B．1C．D．
【答案】D
【知识点】复数的坐标表示、求复数的模
【分析】首先根据复数的坐标写出复数 z 的表达式，然后求复数的模即可.
【详解】因为复数 z 对应的点为2,1，所以 z  2  i .
4  1
5
z .
故选：D.
AB
【真题演练 2】（2025·广东佛山·三模）复平面上 A，B 两点对应的复数分别是1＋3i， 2＋i ，向量 –––→ 对应的复数为 z ，则 z ＝（ ）
17
13
A．17B．C．13D．
【答案】D
【知识点】复数的坐标表示、求复数的模、复数的向量表示
【分析】根据复数的几何意义求出 A, B 坐标即可得出复数 z ，进而求出模.
【详解】由题意可得， A1, 3, B 2,1 ，则 AB  3, 2 ，
9  4
13
所以 z  3  2i ，得 z ．
故选：D
共轭复数
定义及表示：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数 z 的共轭复数用 z 表示，即如果 z  a  bi（ a, b  R ），那么 z  a  bi .
几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地，实数和它的共轭
复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.
共轭复数的性质：
①实数的共轭复数是它本身，即 z  z  z  R .
② (z )  z .
③| z || z | .
④ z  z | z |2 .
【真题演练 1】（2025·浙江宁波·模拟预测）若 z  1  i 4  i ，则 z  （ ）
5  3i
5  3i
3  3i
3  3i
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】先根据复数的乘法求复数 z ，再根据共轭复数的概念求 z .
【详解】因为 z  1 i4  i  4  i+4i  i2  5+3i ，所以 z  5  3i .
故选：A.
【真题演练 2】（2025·湖北武汉·模拟预测）若复数 z  3  i  2i3 ，则 z  （ ）
5
A．
B．
C．
D． 3
6
10
2
【答案】D
【知识点】求复数的模
【分析】化简式子，然后根据复数的模公式计算即可.
32  32
【详解】由题可知： z  3  i  2i3  3  3i ，所以 z  3 2 .
故选：D
z
z  a
【真题演练 3】（2025·河南鹤壁·二模）已知复数 z  1 i ，
21
 ，则实数 a 的值为（）
5
A．-4B．2
C．3D．-4 或 2
【答案】D
【知识点】由复数模求参数
【分析】利用复数的运算即可求得结果.
【详解】
2 1 ，a  4 或a  2 .
z
z  a
z 2
z  a 2
2
1 a 2 15
故选：D.
复数的四则运算
复数的加法
加法法则：设 z1  a  bi ， z2  c  di （ a, b, c, d  R ）是任意两个复数，那么它们的和
(a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i .
加法的运算律：对任意 z1 , z2 , z3  C ，有
交换律： z1  z2  z2  z1 ；
结合律： (z1  z2 )  z3  z1  (z2  z3) .
复数加法的几何意义：设OZ1 ，OZ2 分别与复数a  bi ，c  di（ a, b, c, d  R ）对应，且OZ1 ，OZ2
不共线（如图），以OZ1 ， OZ2 为邻边画平行四边形OZ1ZZ2 ，则其对角线$OZ$所表示的向量OZ 就是复数
(a  c)  (b  d )i 对应的向量.因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义.
复数的减法
减法法则：设 z1  a  bi ， z2  c  di （ a, b, c, d  R ），则(a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i .
复数减法的几何意义：设OZ1 ，OZ2 分别与复数a  bi ，c  di（ a, b, c, d  R ）对应，且OZ1 ，OZ2不共线（如图），则 a  bi  (c  di) 与向量OZ1  OZ2 （等于 Z2 Z1 ）对应，因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这就是复数减法的几何意义.
两点间的距离公式：设 z1  x1  y1i ， z2  x2  y2i （ x1 , y1 , x2 , y2  R ）在复平面内对应的点分别为
Z1 (x1 , y1 ) ， Z2 (x2 , y2 ) ，则
(x  x ) 2 ( y  y ) 2
12
12
––––→
| Z Z || z  z || (x  y i)  (x  y i) || (x  x )  ( y  y )i |.
1 21211221212
复数的乘法
乘法法则：设 z1  a  bi ， z2  c  di （ a, b, c, d  R ）是任意两个复数，那么它们的积
(a  bi)(c  di)  ac  bci  adi  bdi 2  (ac  bd )  (ad  bc)i .
复数乘法的运算律：对于任意 z1 , z2 , z3  C ，有
交换律： z1z2  z2 z1 ；
结合律： (z1z2 )z3  z1(z2 z3) ； 分配律： z1(z2  z3 )  z1z2  z1z3 .
【真题演练】（2025·湖南·三模）若复数 z 满足iz  1 i ，则 z 的实部为（ ）
1
2
C．1D．2
【答案】A
【知识点】根据复数乘法运算结果求复数的特征
【分析】首先根据已知条件求出复数 z ，然后根据复数的概念识别该复数的实部.
【详解】由已知条件知： iz  1 i .
1 i1 i ii 1
所以 z   i 1 .
ii 21
所以该复数的实部为-1.
故选：A.
复数的除法
ac  bdbc  ad
复数除法的运算法则：(a  bi)  (c  di) 
c2  d 2
 c2  d 2 i （ a, b, c, d  R ， c  di  0 ）.在进行复数
除法运算时，通常先把(a  bi)  (c  di) 写成使分母“实数化”.
a  bi c  di
的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数 c  di ，
【真题演练】（2025·广东东莞·模拟预测）已知复数 z 满足1 2i z  4  3i，则复数 z 在复平面对应的点位于
（）
第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】先利用复数除法和共轭复数的概念求出 z ，再根据复数对应复平面内点的坐标判断象限即可.
4  3i4  3i1  2i 
【详解】由题意可得 z  2 i ，
1 2i1 2i 1 2i 
所以 z  2 i在复平面对应点2,1 ，在第一象限，故选：A
在复数范围内实系数一元二次方程的根
在复数范围内，实系数一元二次方程 ax2  bx  c  0 （ a  0 ）的求根公式为：
（1）当  0 时，方程有两个实根 x 
b 
b2  4ac
2a
；
（2）当  0 时，方程有两个虚根 x 
b 
(b2  4ac)
i ，且这两个虚数根互为共轭复数.
2a
【真题演练】（2025·山东青岛·三模）若1 2i 是关于 x 的实系数方程 x2  bx  c  0 的一个复数根，则b ，c 的
值分别为（ ）
b  2，c  5
C． b  2，c  5
b  2，c  5
D． b  2，c  5
【答案】A
【知识点】复数范围内方程的根
【分析】根据实系数方程的复数根的性质求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出b 、c 的值.
【详解】已知1 2i 是实系数方程 x2  bx  c  0 的一个复数根，根据实系数方程的复数根成对出现的性质，可知方程的另一个根为1 2i .
对于方程 x2  bx  c  0 ，由韦达定理可得两根之和 x1  x2  b ，其中 x1  1 2i ， x2  1 2i ，则
(1 2i)  (1 2i)  b ，即2  b ，解得b  2 .
由韦达定理可知两根之积 x1x2  c ，则(1 2i)(1 2i)  c .
可得： (1 2i)(1 2i)  12  (2i)2  1 4i2  5 ，即c  5 .
b 的值为2 ， c 的值为5 .
故选：A.
复数的三角表示式
复数的三角表示式
复数的三角表示式
一般地，任何一个复数 z  a  bi （ a, b  R ）都可以表示成 r(cs i sin) 的形式，其中， r 是复数 z 的
模， r 
， cs a ，sin b ；是以 x 轴的非负半轴为始边，向量OZ 所在射线（射线 OZ）
a2  b2
rr
为终边的角，叫做复数 z  a  bi 的辐角. r(cs i sin) 叫做复数 z  a  bi 的三角表示式，简称三角形 式，该式的结构特征是模非负，角相同，余弦前，加号连.
辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 2的整数倍.规定在0  2范围内的辐角
的值为辐角的主值.通常记作arg z ，即0  arg z  2.
三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复
特殊复数的辐角
1. 复数i 的辐角是 2k， k  Z ，复数0 的辐角是任意的.
2
2. arg1  0 ， arg i  ， arg(1) ， arg(i)  3 .
2
2
数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
复数乘法运算的三角表示及其几何意义
复数乘法运算的三角表示
已知复数 z1 ， z2 的三角形式为 z1  r1 (cs1  i sin1 ) ， z2  r2 (cs2  i sin2 ) ，
则 r1 (cs1  i sin1 )  r2 (cs2  i sin2 )  r1r2 [cs(1 2 )  i sin(1 2 )] ，即两个复数相乘，积的模等于
各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
z1z2  r1 (cs1  i sin1 )  r2 (cs2  i sin2 )  r1r2 [(cs1 cs2  sin1 sin2 )  i(sin1 cs2  c s1
 r1r2 [cs(1 2 )  i sin(1 2 )] .
sin2 )]
复数乘法的几何意义
如图，复数 z1 ，z2 对应的向量分别为OZ1 ，OZ2 ，把向量OZ1 绕点O 按逆时针方向旋转角2（如果2  0 ， 就要把OZ1 绕点O 按顺时针方向旋转角|2 | ），再把它的模变为原来的 r2 倍，得到向量OZ ，OZ 表示的复 数就是积 z1 z2 .
复数除法运算的三角表示及其几何意义
复数除法运算的三角表示
设 z1  r1 (cs1  i sin1 ) ， z2  r2 (cs2  i sin2 ) ，且 z2  0 ，
则 z1  r1 (cs1  i sin1 )  r1 [cs( )  isin( )] ，即两个复数相除，商的模等于被除数的模除
zr (cs  i sin)r
1212
22222
以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
复数除法的几何意义
如图，复数 z1 ， z2 对应的向量分别为OZ1 ， OZ2 ，把OZ1 绕点O 按顺时针方向旋转角2 （如果2  0 ，
就要把OZ 绕点O 按逆时针方向旋转角| | ），再把它的模变为原来的 1 ，得到向量OZ ， OZ 表示的复
r
12
2
数就是商 z1 .
z2
复数三角形式的乘除法公式记忆口诀
积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和，商的模等于模的商，商的辐角等于辐角的差.
【真题演练 1】（2025·江西萍乡·一模）已知复数 z1 ，z2 （ z1z2  0 ）在复平面内对应的向量分别为OZ1 ，OZ2
（其中O 为原点），则下列命题正确的是（ ）
若OZ1  OZ2 ，则 z1  z2  z1  z2
若 OZ1  5 ，则 z1  2 的最小值为 3

––––→ ––––→––––→ ––––→
2
若 OZ1  OZ2  OZ1  OZ2 ，则z1  z
––––→––––→
若 OZ1  OZ2 ，则 z1  z2
【答案】AB
【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的三角表示、三角表示下复数的几何意义
【分析】根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可判断 A；设 z1  5cs 5isin,0, 2π ，则
––––→ ––––→––––→ ––––→
z1  2  29  20 cs，再根据cs的范围可判断 B；根据OZ1  OZ2   OZ1  OZ2 可得 z1  z2 ，再举反
例可判断 C；两个复数当且仅当它们同为实数时，才能比较大小可判断 D.
【详解】对于 A，若OZ1  OZ2 ，则复平面内以有向线段OZ1 和OZ2 为邻边的平行四边形是矩形，根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可知，选项 A 正确；
(5 cs 2)2  (5sin)2
对于 B，若 OZ1  5 ，则点Z1 的轨迹是以O 为圆心，以 5 为半径的圆，设 z1  5 cs 5isin, 0, 2π ，
则 z1
 2 
 29  20 cs，
29  20
因为1  cs 1，可得 z1  2 min 
 3 ，故 B 正确；
 

––––→ ––––→––––→ ––––→––––→ ––––→––––→ ––––→
对于 C， OZ1  OZ2  OZ1  OZ2  OZ1  OZ2  OZ1  OZ2  0
––––→ 2
––––→ 2
 z  z
，取 z
 1, z
 i ，显然 z
 z ，但 z
 z ，故 C 错误；
OZ1
 OZ2  01212
1212
对于 D，两个复数当且仅当它们同为实数时，才能比较大小，故 D 错误.故选：AB.
【真题演练 2】（2025·海南·模拟预测）已知复数 z  cs π  sin π i （ i 为虚数单位），则 z3 等于（ ）
66
B． 1C． iD． i
【答案】C
【知识点】复数乘、除运算的三角表示
【分析】根据复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】因为复数 z  cs π  sin π i ，
66
根据复数的运算法则，可得 z3  (cs π  sin π i)3  cs π  sin π i  i .
6622
故选：C.
对复数概念的理解
处理复数的相关概念的问题时，首先要把复数化为 z  a  bi （ a, b  R ）的形式，进而确定复数的实部和虚部，再根据复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件构造关系式求解.
【典例 1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知 z1  5  3i ， z2  5  4i，下列各式中正确的是（ ）
A． z1  z2B． z1  z2
C． z1  z1  z2  z2D． z1  z1  z2  z2
【答案】C
【知识点】复数的基本概念、共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算
【分析】由复数不能比较大小，即可判断 A，B；求出 z1  z1  34 ， z2  z2  41 ，即可判断 C，D．
【详解】解：因为虚数不能比较大小，故 A，B 错误；
因为 z1  z1  (5  3i)(5  3i)  34 ， z2  z2  (5  4i)(5  4i)  41 ，所以 z1  z1  z2  z2 ，故 C 正确，D 错误.
故选：C.
【典例 2】（2025·河北秦皇岛·三模）下列关于复数的说法，正确的是（ ）
A．复数i 的任何偶数次幂都不小于零
B．若实数 a  b ，则 z  a  b  a  bi 是纯虚数
C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数 D．若复数 z1 , z2 满足 z1  z2 ，则 z1, z2 均为实数
【答案】D
【知识点】已知复数的类型求参数、复数的基本概念、复数的坐标表示、判断复数对应的点所在的象限
【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解.
【详解】对于 A 中，由虚数单位i2  1 ，可得 A 错误；
对于 B 中，若a  b  0 ，那么a  b  (a  b)i=0  R ，所以 B 错误；对于 C 中，虚轴上的点0, 0 对应复数 z  0  R ，所以 C 错误；
对于 D 中，若复数 z1 , z2 满足 z1  z2 ，虚数不能比较大小，则 z1 , z2 均为实数，D 正确.
故选：D.
【典例 3】（2025·河北·模拟预测）已知 z  C ， z 为 z 的共轭复数，则下列条件可判定 z  R 的是（ ）
z
z
zz
B． z 2  3
z2  z 2
2z  z
【答案】ABD
【知识点】复数的基本概念、共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算
【分析】设 z  a  bia, b R ，代入选项中的各条件，判断b  0 是否成立.
z
z
a2  b2
a2  b2
z
【详解】已知 z  C ，设 z  a  bia, b R ，则 z  a  bi ，
对于 A，若 z ，即 a  bia  bi，得bi=  bi ，即b  0 ，
所以 z  a ，有 z  R ，正确；
对于 B，若 z 2  3 ，则有a2  2abi  b2  3，显然a  0 ，得b  0 ，有 z   3  R ，正确；
对于 C，若 z2  z2 ，即a 2  2abi  b2  a 2  2abi  b2 ，有4abi  0 ，得ab  0 ，其中当a  0, b  0 时， z  R ，错误；
对于 D，若2z  z ，有2a  2bi  a  bi ，两个复数能比较大小，则b  0 ， a  0 ，
有 z  R ，正确.
故选：ABD.
利用复数相等求解
利用复数相等的充要条件求参数的步骤：
分别确定复数的实部与虚部；
利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程（组）求解；
写出结果.
【典例 1】（2025·辽宁辽阳·一模）已知1 2i a  3  4ib  2  6i ，其中a, b 为实数，则（ ）
A． a  1, b  1
C． a  1, b  1
B． a  1, b  1
D． a  1, b  1
【答案】B
【知识点】复数加减法的代数运算、复数的相等
【分析】根据复数相等求参数的值.
【详解】因为1 2i a  3  4ib  2  6i ，所以a  3b  (2a  4b)i  2  6i ，
a  3b  2

所以2a  4b  6
，解得a  1, b  1 ，
故选:B.
【典例 2】（2025·湖北·模拟预测）已知复数 z 满足 z  2z  3  i，则 z  （ ）
A．1i
【答案】A
B．1  i
C． 3  1 i
3
D． 3i
【知识点】复数的相等、共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算
【分析】设 z  a  bi ，则 z  a  bi ，代入已知条件，利用复数相等的条件即可求解.
【详解】设 z  a  bi,a,bR ，则 z  a  bi ，
因为 z  2z  3  i，所以a  bi  2a  bi  3  i，所以3a  bi  3  i ，
3a  3a  1
所以b  1 ，解得b  1，所以 z  1  i .

故选：A.
【典例 3】（2025·辽宁·模拟预测）已知复数 z  a  bia, b  R ，若集合 A  a,b  z 2  2z  2  0，则A 的子集个数是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【知识点】复数的相等、求复数的实部与虚部、判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】方法一：利用代入法，由复数相等的条件得到关于实数a, b 的方程组求解，得到集合A 的元素；方法二：直接利用求根公式解方程 z2  2z  2  0 得到集合A 的元素；方法三：利用判别式直接得到方程得根的个数.最后根式集合A 的元素个数，利用集合的子集个数计算公式得到答案.
【详解】方法一：由 z2  2z  2  0 ，复数 z  a  bia, b  R ，
a  bi2  2 a  bi  2  0 ，即a2  b2  2a  2  2b a 1i=0 ，
a2  b2  2a  2  0

b a 1  0
所以 z  1 i ，
a  1

，解得b  1 ，
所以集合 A  1, 1, 1,1，含有两个元素，所以 A 的子集有22  4 个；
2  4 2  22i
方法二：   2      ，所以由求根公式得 z    ，
24 1 241 i
2
所以集合 A  1, 1, 1,1，含有两个元素，所以 A 的子集有22  4 个；方法三：因为  22  41 2  4 ，∴ z2  2z  2  0 有且仅有 2 个虚数根，所以A 含有两个元素，所以 A 的子集有22  4 个.
故选：C.
利用复数的几何意义解题
当遇到已知复数在复平面内的坐标，求复数中参数的问题时：
1．先对给定复数进行化简，利用复数的运算法则（如除法运算中分母实数化），将其化为 z  m  ni
（ m, n  R) 的标准形式.
2．再根据复数 z  m  ni 与复平面内坐标(m, n) 的一一对应关系，结合已知坐标，列出关于参数的方程，进而求解参数的值.
【典例 1】（2025·山东日照·二模）已知复数 z  i  a 在复平面内对应的点的坐标为(1, 2) ，则实数 a=（ ）
i
B．-1C．2D．-2
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数
【分析】先化简复数，再由复数的几何意义即可得出答案.
【详解】因为 z 
i  a
i
 i  ai i2
 1 ai
1
 1 ai ，
所以复数 z  i  a 在复平面内对应的点的坐标为1, a ，
i
所以a  2 .
故选：D.
【典例 2】（2025·北京石景山·一模）在复平面内，复数 z  i  a 对应的点坐标为1, 2，则实数a （ ）
i
A．1B． 1C．2D． 2
【答案】D
【知识点】复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简 z ，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为 z  i  a  i  ai  1 ai ，则复数 z 在复平面内对应的点为1, a ，
ii2
又复数 z  i  a 对应的点坐标为1, 2，所以a  2 .
i
故选：D
【典例 3】（2025·河南·模拟预测）已知 z  4  2ai ， i 为虚数单位， a  R ， z 是 z 的共轭复数，则下列说法
1 i
正确的是（ ）
若 z 为纯虚数，则a  2
若 z 在复平面内所对应的点位于第一象限，则a 3, 3
2
z 的最小值为2
zz 为定值
【答案】ABC
【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数
【分析】根据复数运算化简可求得 z ，根据纯虚数定义可知 A 正确；根据复数对应点坐标可构造不等式求得 B 正确；由复数模长运算和求得 C 正确；由共轭复数定义和复数乘法运算可求得 D 错误.
4  2ai4  2ai1 i
【详解】 z  2  ai1 i  2  a   a  2i ；
1 i1 i1 i
a  2  0
对于 A， z 为纯虚数，2  a  0 ，解得： a  2 ，A 正确；

a  2  0
对于 B， z 在复平面内对应的点位于第一象限，2  a  0 ，解得： 2  a  2 ，

即a 2, 2 ，所以a 3, 3，B 正确；
2  a2  a  22
对于 C， z 

 2
，C 正确；
2a2  8
2
对于 D， zz  2  a  a  2 i   2  a  a  2 i  2  a2  a  22  2a2  ，不是定值，D 错误.
故选：ABC.
复数模的求解
求解复数模的问题的常用方法
根据复数模的计算公式| a  bi |a 2  b2 （ a, b  R ）可把复数模的问题转化为实数问题解决.
根据复数模的几何意义，即复数 z  a  bi （ a, b  R ）的模就是复数 z 在复平面内对应的点 Z (a, b) 到坐标原点的距离，可以把复数模的问题转化为距离问题解决.
重要结论
复数 z 在复平面内对应的点为 Z ， r 表示大于0 的常数，则| z | r （ r  0 ）表示点 Z 的轨迹是以原点为圆心， r 为半径的圆， | z | r 表示圆的内部， | z | r 表示圆的外部.
【典例 1】（2025·山东烟台·一模）已知复数 z  1 ai ，其中a  R ，则“ z  1”是“ a  1 ”的（ ）
1 i
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件、解不含参数的一元二次不等式、由复数模求参数
【分析】应用复数模的求法及 z  1得a  1或a  1 ，再由充分、必要性定义即可得答案.
1 a2
2
【详解】由| z | |1 ai|  1，则
|1 i|
1 a2
2
 1，可得a  1或a  1 ，
所以“ z  1”是“ a  1”的必要不充分条件.
故选：B
【典例 2】（2025·安徽·三模）已知复数 z 满足 z 1  z  2 ，则 z （ ）
33
A．有最小值 2B．有最大值 2C．有最小值 2D．有最大值 2
【答案】C
【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、由复数模求参数
【分析】设 z  a  bi(a, b  R ) ，根据复数的模得到a  3 ，再计算 z ，即可得解.
2
【详解】设 z  a  bi(a, b  R ) ，由 z 1  z  2 ，
则 a 1 bi  a  2  bi ，所以(a 1)2  b2  (a  2)2  b2 ，
解得a  3 ，所以 z 
2
3  bi 
2
9  b 2  3 ，当且仅当b  0 时取等号，
42
所以 z 有最小值 3 ，无最大值．
2
故选：C
【典例 3】（2025·上海浦东新·二模）若关于 x 的方程 x2  x  m  0 的一个虚根的模为2 ，则实数m 的值为．
【答案】4
【知识点】复数范围内方程的根、由复数模求参数
【分析】设关于 x 的方程的两根虚根为 x1, x2 ，则 x1 x2  m 且 x1  x2 ，即可求出m 的值，再代入检验.
【详解】设关于 x 的方程 x2  x  m  0 m  R 的两根虚根为 x1, x2 ，则 x1 x2  m 且 x1  x2 ，
所以 x1  x2
 2 ，又 x1x2
 x1
x2  m  4 ，所以m  4 ，
当m  4 时，  12  41 4  0 ，所以关于 x 的方程 x2  x  m  0 有两个不相等实数根，不符合题意；当m  4 时，   12  4 1 4  0 ，所以关于 x 的方程 x2  x  m  0 有两个虚根，符合题意；
所以m  4 .
故答案为： 4
复数的四则运算
1 i
1 i
复数的四则运算类似于多项式的四则运算，含有虚数单位i 的看成一类同类项，不含i 的看成另一类同类项，
分别合并即可.
1. 复数常见运算小结论
(1 i)2  2i ；
2i
1 i
 1 i
(1 i)2  2i ； 2i  1 i
1 i
(1 i)(1 i)  2 ； 1 i ； 1 i
2
2
1 i  i ； 1 i  i
1 i
(a  bi)(a  bi)  a 2  b 2 ；
(a  bi)2  a2  b2  2abi ；
(a  bi)3  a3  3ab2  (3a2b  b3)i （其中 a, b  R ）；
3
3.   2  2 i   1.

13


4．常见结论：

在复平面内， z1, z2 对应的点分别为 A, B ， z1  z2 对应的点为C, O 为坐标原点（点O, A, B 不共线）.
四边形OACB 为平行四边形；
若 z1  z2  z1  z2 ，则四边形OACB 为矩形；
若 z1  z2 ，则四边形OACB 为菱形；
若 z1  z2 且 z1  z2  z1  z2 ，则四边形OACB 为正方形．
1 i
2. 常用公式
【典例 1】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知复数 z 满足 z  2z  6  5i ，则 z  2  i （ ）
2
A． 4
B． 3
C．
D．32
2
61
【答案】A
【知识点】复数加减法的代数运算、复数的相等、共轭复数的概念及计算、求复数的模
【分析】设 z  a  bia, b R ，根据复数代数形式的加减运算化简 z  2z ，再根据复数相等的充要条件求出
a 、b 的值，最后计算模即可.
【详解】设 z  a  bia, b R ，则 z  a  bi ，所以 z  2z  a  bi  2a  bi  3a  bi ，
3a  6a  2
又 z  2z  6  5i ，所以b  5 ，解得b  5 ，所以 z  2  5i ，

则 z  2  i  4  4i ，则 z  2  i 

42  42
2
 4.
故选：A.
【典例 2】（2025·山东济南·一模）设复数 z 满足1 z  i （ i 为虚数单位），则 z  （ ）
2  i
A． 2iB． 2i
C． 2  2i
D． 2  2i
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算
【分析】根据复数的乘除法运算即可得到答案.
【详解】 z  i 2  i 1  2i .
故选：A.
【典例 3】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若
z
z 1
 1 i ，则 z  （ ）
A． 1  i
【答案】C
B． 1  i
C．1i
D．1  i
【知识点】复数的乘方、复数的除法运算
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为故选：C.
z
z 1
 z 11  1
z 1
1
z 1
 1 i ，所以 z  1 1  1 i .
i
【典例 4】（2025·吉林长春·二模）复数 z 
2
i 1
的共轭复数为（ ）
1i
【答案】B
1  i
2  2i
2  2i
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】根据复数的除法运算结合共轭复数的概念可得结果.
【详解】由题意得， z  21 i  1 i ，
1 i1 i
∴ z  1 i .
故选：B.
in(n∈R)的周期性及其应用
虚数单位i 的幂的周期性：
- i4n  1， i4n1  i ， i4n2  1， i4n3  i （ n  N ）.其中i0  1 ， in  1 （ n  N ）.
in
【典例 1】（2025·山东德州·三模）已知 z  1 i ，则 z  z2025  （ ）

1 i
i
2iC．0D．2
【答案】C
【知识点】虚数单位 i 及其性质、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】利用复数的除法运算求得 z  i ，然后利用共轭复数的概念及乘方运算求解即可.
1 i1 i21 2i  i2
【详解】因为 z  i ，所以 z  i ，
1 i1 i1 i2
所以 z  z2025  i  i2025  i  i2025  i  i  0 .
故选：C

【典例 2】（2025·江西吉安·模拟预测）已知复数 z  a  i a  R  为纯虚数，（ i 为虚数单位），则 z2025 （ ）
1 i
A．0B． i
1
i
【答案】B
【知识点】已知复数的类型求参数、虚数单位 i 及其性质、复数的除法运算
【分析】根据复数类型求出参数，再利用复数的乘方可求 z2025 .
a  ia  i1 ia 1 a 1i
【详解】 z ，
1 i22
因为复数 z  a  i a  R  为纯虚数，故a  1，
1 i
故 z  i ，故 z2025  i2025  i2024 i  i ，
故选：B.
【典例 3】（2025·河北石家庄·一模）已知i 为虚数单位，以下选项正确的是（ ）
若m, n  R ，则m  ni  2 i 的充要条件是m  2, n  1
若复数 z1 , z2 , z3 满足 z1 z2  z2 z3 ，则 z1  z3
i  i2  i3  i2025  i
若复数 z 满足 z  1，则 z  3  4i 的最大值为 6
【答案】ACD
【知识点】虚数单位 i 及其性质、复数的相等、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数代数形式的乘法运算
【分析】对于 A，利用复数的相等易得；对于 B，通过举反例排除即可；对于 C，利用i 的乘方的周期性计算即得；对于 D，利用复数的几何意义结合动点轨迹知识易得.
【详解】对于 A，因 m, n  R ，则 m  ni  2  i 等价于m  2  (n  1)i  0 ，
m  2  0

等价于n 1  0
，即m  2, n  1 ，故 A 正确；
对于 B，由 z1 z2  z2 z3 可得 z2 ( z1  z3 )  0 ，
当 z2  0 时，等式成立，但 z1 与 z3 不一定相等，故 B 错误；
对于 C，因对于n  N* ， i4n1  i, i4n2  1, i4n3  i, i4n  1，
则i4n1  i4n2  i4n3  i4n  i  1  i  1  0 ，
于是i  i2  i3   i2025  (i  i2  i3  i4 )  506  i  i ，故 C 正确；对于 D，由 z  1可理解为复平面内以原点为圆心的单位圆，
而 z  3  4i 可看成点(3, 4) 到该圆上点的距离，
32  (4)2
易得 z  3  4i 的最大值即 1  6 ，故 D 正确.
故选：ACD.
关于共轭复数的几个常用结论
若 z  a  bi （ a, b  R ），则 z  z | z |2 | z |2  a 2  b2 .利用此结论，可以在复数集中将 a2  b2 分解为
(a  bi)(a  bi) .
z  R  z  z ；对于非零复数 z ， z 是纯虚数 z  z  0 .
若 z  a  bi （ a, b  R ），则 z  z  2a ， z  z  2bi .
z1  z2  z1  z2 ， z1  z2  z1  z2 .
5. 
 z z
 z2 
1  
z2
1 （ z2  0 ）.
z  1 | z | 1.
z
z1  z2  zn  z1  z2  zn .
z1  z2  zn  z1  z2  zn .
【典例 1】（2025·广东·一模）记复数 z 的共轭复数为 z ，若 z  3  4i ，则 1  （ ）
z
3  4i
5
3  4i
5
3  4i
25
3  4i
25
【答案】D
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算
【分析】先求出共轭复数，再根据复数除法及乘法运算即可.
【详解】因为 z  3  4i ，所以 z  3  4i ，
则 1  1  3 4i 3 4i  3 4i .
z3  4i3  4i 3  4i  9 16i 225
故选：D.
【典例 2】（2025·河北秦皇岛·二模）已知复数 z 满足 z  2z  3  i，则 3  i  （ ）
z
1  i
【答案】D
1i
1 2i
2  i
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】设复数为标准式，利用复数相等，可得复数，结合复数的除法，可得答案.
【详解】设 z  a  bi ，则 z  2z  a  bi  2a  bi  3a  bi ，即3a  bi  3  i ，解得 z  1  i ，
3  i3  i1 i4  2i
所以 2  i .
1 i112
故选：D.
【典例 3】（2024·北京·三模）已知复数1 i  i  2 ，则 z 在复平面上对应的点位于（ ）
z
第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】根据条件，利用复数的运算法则及共轭复数的定义得到 z   1  3 i ，即可求出结果.
22
【详解】由1 i  i  2 ，得到 z  i  2  (2  i)(1 i)   1  3 i ，

z1 i222
所以 z   1  3 i ，其对应点为( 1 ,  3 ) ，位于第三象限.
2222
故选：C.
【典例 4】（2025·福建·模拟预测）已知复数 z 
i 2  i
， z 为 z 的共轭复数，则
 （ ）
z
5551
A． 3B． 9C． 5D． 5
【答案】C
【知识点】共轭复数的概念及计算、求复数的模、复数的除法运算
z
【分析】结合复数的除法求出 z ,即可得到 z ，再用复数的模长公式求解.
ii 2  i1 2i12

【详解】因为 z 
2  i2  i 2  i5
所以 z  1  2 i ,
55
  i ,
55
z
则

 5 .
 1 2 2 2
 5     5 
 
5
故答案为：C.
丨 Z-Z0 丨(z，z0∈C)的几何意义
一、设复数 z1  a  bi ， z2  c  di （ a, b, c, d  R ）在复平面内对应的点分别是 Z1(a, b) ， Z2 (c, d ) ，则
| Z Z |
1 2
(a  c)2  (b  d )2 ， 复数 z1  z2  (a  c)  (b  d )i ， 则 | z  z |
12
(a  c)2  (b  d )2 . 故
| Z1Z2 || z1  z2 | ，即| z1  z2 |表示复数 z1, z2 在复平面内对应的点之间的距离.
| z  z0 | （ z, z0  C ）的几何意义的应用：
| z  z1 | r （ r  0 ）表示复数 z 在复平面内对应的点组成的集合是以复数 z1 对应的点为圆心， r 为半径的圆.
| z  z1 || z  z2 |（ z1  z2 ）表示复数 z 在复平面内对应的点组成的集合是以复数 z1, z2 对应的点 Z1, Z2
为端点的线段的垂直平分线.
三、复数模的性质
设 z, z1, z2 都是复数， n 是大于 1 的正整数.
1. | z | 0 ；
2
1
12
12
7. | z  z |2  | z  z |2  2 | z |2 2 | z |2 .
4. | zn || z |n ；
|| z1 |  | z2 ||| z1  z2 || z1 |  | z2 | ，等号成立的条件：
- 当| z1  z2 || z1 |  | z2 | 时， z1, z2 所对应的向量同向；
- 当|| z1 |  | z2 ||| z1  z2 | 时， z1, z2 所对应的向量反向.
|| z1 |  | z2 ||| z1  z2 || z1 |  | z2 | ，等号成立的条件：
- 当| z1  z2 || z1 |  | z2 | 时， z1, z2 所对应的向量反向；
- 当|| z1 |  | z2 ||| z1  z2 | 时， z1, z2 所对应的向量同向.
2
2
2
z| z |
1212
3. | z  z || z |  | z |（可推广到 n 个复数）， z1  | z1 | （ | z | 0 ）；
2. z  z | z |2 | z |2 ；
【典例 1】（2025·广东·一模）已知 z  1 2i （i 为虚数单位），则 z  （ ）
2  i
2
A．1B．C．2D．4
【答案】A
【知识点】求复数的模、复数的除法运算
【分析】利用复数除法求出 z ，进而求出其模.
【详解】依题意， z  (1 2i)(2  i)  5i  i ，所以 z  1.
(2  i)(2  i)5
故选：A
【典例 2】（2025·广西柳州·三模）在复平面内，复数 z 对应的向量OZ  1, 2 ，则 z  3  （ ）
2
2
D．
5
3
2
【答案】A
【知识点】求复数的模、复数的向量表示
【分析】根据给定条件，求出复数 z ，进而求出模.
【详解】由复数 z 对应的向量OZ  1, 2 ，则 z  1  2i ，
(2)2  22
所以| z  3 ||1 2i  3 || 2  2i | 2 2.
故选：A
【典例 3】（2025·浙江金华·二模）已知复数 z1 ， z2 互为共轭复数，则（ ）
z1  z2B． z1  z2  z1  z2
z 2 z 2
C． z  z 2  z  z 2
D． 1  1 
1212
z2 z2 
【答案】ABC
【知识点】共轭复数的概念及计算、求复数的模、复数的除法运算
【分析】根据共轭复数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
a2  b2
【详解】设 z1  a  bi ，则 z2  a  bi ，
A 选项， z1
 z2

，所以 A 选项正确.
B 选项， z1 z2
 a2  b2 , z
 z2
 a2  b2 ，所以 B 选项正确.
1
C 选项， z  z  2bi ， z  z 2  2b2  4b2, z  z 2   2bi 2  4b2 ，
121212
所以 C 选项正确.
z1 i
1 i2
D 选项，设 z1  1  i, z2  1 i ，则 1 i ，
z 2 z  2
z21 i
1 i1 i
则 1
z2
 i 2  1, 1 
 z2 
 i2  1，所以 D 选项错误.
故选：ABC
两个复数乘法运算的三角表示及几何意义，可以推广到 n （ n  2 ，且 n  N ）个复数相乘的情况，即
z1z2  zn  r1 (cs1  i sin1 )  r2 (cs2  i sin2 )rn (csn  i sinn )
 r1r2 rn[cs(1 2 n )  i sin(1 2 n )] .
特别地，当 z1  z2    zn  r (cs i sin) 时，[r(cs i sin)]n  r n(cs n i sin n) ，这个结论 叫做棣莫弗定理.
09n 个复数乘法的三角表示（棣莫弗定理）（拓展）
【典例 1】已知i 为虚数单位，根据棣莫弗定理，可判断下列命题正确的是（ ）
若 z  cs i sin ，则 z4   1 3 i
6622
若 z  cs i sin ，则 z5  1 i
55
7755
若 z1  2(cs 12  i sin 12 ) ， z2  3(cs 12  i sin 12 ) ，则 z1 z2  6  6i

若 z1  3(cs 12  i sin 12) ， z2  4(cs 4  i sin 4 ) ，则 z1z2  6  6i
【解析】对于 A， z4  cs 2 i sin 2   1 3 i ，正确；
3322
对于 B， z5  cs i sin 1，错误；
3
对于 C， z1z2  6(cs i sin)  6 ，错误；
23
23
13
13
对于 D， z1  3(cs 12
答案 A
i sin
12 ) ，则 z1 z2  12(cs 6
i sin
)  6
6
6i ，错误.故选 A.
01：虚部概念混淆
 1 i ，这样就能正确得到 z 的
i 1
1

i  i2
i2
(1 i) (i) 
i (i)
1 i
z ，分子分母同乘 i ，得到 z 
i
标准形式，进而准确判断虚部.
1 i
为 1 ，即 z ，此时若分母实数化操作错误，会得到错误的 z 形式，进而导致虚部判断错误。
i
纠正：熟练掌握复数的除法运算法则， 分母实数化时， 给分子分母同时乘以分母的共轭复数。对于
1．对虚部概念理解不清：
易错点： 误将虚部认为是含 i 的部分， 比如把 z  a  bi 的虚部当成 bi ，而实际上虚部是 b （实数）。纠正：牢记虚部的定义，对于复数的代数形式 z  a  bi(a, b  R) ，虚部是 b ，是一个实数，不包含 i 2．复数运算错误：
易错点：在对复数方程进行变形求解时，运算出错。比如在求解 iz  1 i 求 z 时，需要将 z 的系数化
【典例 1】（2025·广东广州·一模）若复数 z 满足1  iz  i，则 z 的虚部为（ ）
1
B．1C． i
D．i
【答案】B
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算
【分析】先求出 z ，结合虚部的概念可得答案.
i 1i2 i
【详解】因为1  iz  i，所以 z  1 i ，所以 z
ii2
的虚部为 1.
故选：B
【典例 2】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）若复数 z 满足iz  1 i ，则 z 的虚部为（ ）
A． 1
B． i
D．i
【答案】A
【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算
【分析】利用复数的运算求得复数 z ，可求复数 z 的虚部.
【详解】由iz  1 i ，可得i2 z  1ii ，所以 z  i 1，所以 z  1  i ，所以 z 的虚部为1.
故选：A.
【典例 3】（2025·浙江温州·三模）已知 z 是复数 z 的共轭复数， z  i  1（ i 为虚数单位），则 z 的虚部是（ ）
A． iB． -iC．1D． 1
【答案】C
【知识点】求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】由复数除法运算及共轭复数概念即可求解.
【详解】由 z  i  1，
可得： z  i  z  i ，故 z 的虚部为 1．故选：C
02：复数的分类及辨析
对于复数 z  a  bi(a, b  R) ，当 b  0 时， z 为实数；当 b  0 时， z 为虚数；当 a  0 且 b  0 时，
z 为纯虚数。
复数的模| z |a2  b2 ，共轭复数 z  a  bi 。
欧拉公式eix  cs x  i sin x ，可用于将指数形式的复数转化为三角形式分析.
【典例 1】（2025·辽宁·二模）使复数 in 为纯虚数的最小自然数n 是（ ）
3
A．1B． 2C． 3D． 4
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的分类及辨析
3
3
【分析】化简 i2 、 i3 ，结合复数的概念可得出结论.
3
3
3
【详解】因为 i2  2  2 3i ，  i3  21 3i i  8i ，
3
因此使得复数 in 为纯虚数的最小自然数n 是3 .
故选：C.
【典例 2】（2024·宁夏银川·模拟预测）欧拉公式eix  cs x  isin x 建立起了复数、三角函数和指数函数的桥梁，在解析几何中具有重大意义，在复变函数论中占有重要的地位．根据欧拉公式，以下命题正确的个数是（ ）
πi
命题 1： e3
 1 i
命题 2： eπi 1  0
3
22
命题 3： π i 的共轭复数为 3  1 i
命题 4： π i 为实数
e 622e 2
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【知识点】复数的基本概念、共轭复数的概念及计算、复数的分类及辨析
【分析】利用欧拉公式eix  cs x  isin x ，分别代入计算并根据复数的相关概念可得命题 2 和命题 3 正确，可
得结论.
πiππ13
【详解】易知e 3  cs  i sin  +i ，因此命题 1 错误；
3322
eπi  cs π  isin π  1 ，即可得eπi 1  0 ，所以命题 2 正确，
3
3
πiππ1π1
e 6
又e 6  cs  i sin  i ，所以 i 的共轭复数为 i ，即命题 3 正确；
662222
πiππ
显然e2
 cs
i sin
22
 0  i  i ，为纯虚数，即命题 4 错误；
因此正确的个数为 2 个.故选：B
【典例 3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知复数 z  3a  bi（ a, b R ，i 为虚数单位），则下列选项正确的是
（ ）
若a  0 ， b  0 ，则 z 为纯虚数
10
若a  b  1 ，则 z 
若b  0 ，则 z  z
若a  0 且b  0 ，则 z 在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】ABC
【知识点】共轭复数的概念及计算、求复数的模、复数的分类及辨析、判断复数对应的点所在的象限
【分析】对于 A，若 z 为纯虚数即可判断；对于 B，求复数的模即可计算；对于 C，若b  0 ，则 z  3a ，根据共轭复数定义即可判断；对于 D，复数 z=3a  bi 在复平面内对应的点3a, b 即可判断.
【详解】当a  0, b  0 时， z 为纯虚数，故 A 正确；
3a 2  b2
当a  b  1 时， z 

，故 B 正确；
9 1
10
当b  0 时， z  3a ，所以 z  3a ，则 z  z ，故 C 正确；
复数 z  3a  bi 在复平面内对应的点3a, b ，若a  0 且b  0 ，所以 z 在复平面内对应的点位于第二象限，故 D 错误.
故选：ABC.
03：复数的坐标表示
1．复数化简与对称点
易错：化简 z 
3  i 2  i
时，分母实数化算错； 或忘＂关于实轴对称，虚部变相反数＂。
避坑：分母实数化 分子分母同乘分母共轭（如
3  i
2  i2  i

2  i
）；对称点直接＂实部不变，虚部取反＂。
2．模的几何意义(| z 1|  | z 1| 4)
易错：误判图形（实际是椭圆，长轴 4、焦距 2）；分析 z  R 或 z2  R 时漏情况。
避坑：记＂ z  z  z  z 是椭圆（和为定值  z  z ）＂；z  R 时虚部为 0, z2  R 时虚部为 0 （ 分
1
2
12
z 实、纯虚数讨论）.
【典例 1】（2025·湖北·模拟预测）在复平面内，复数 z1 对应的点与复数 z2
 3  i 对应的点关于实轴对称，则
2  i
z1 等于（ ）
1  i
【答案】D
1  i
1  i
1i
【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算
【分析】先计算复数 z2 ，得到复数 z2 对应的点，由对称性即可得复数 z1 对应的点，进而得复数 z1 .
【详解】 z2 
3  i
2  i
3+i2+i
= 2  i2  i
 5  5i  1  i ，所以复数 z 对应的点为1,1 ，
2
5
因为复数 z1 对应的点与复数 z2 对应的点关于实轴对称，所以复数 z1 对应的点为1，1 ，
所以 z1 =1  i ，
故选：D.
【典例 2】（2025·江苏南通·一模）在复平面内，复数 z  sin 2sin  cs 2csi（i 为虚数单位）与
点 Z  3,1对应，则cs   （ ）
 1
8
【答案】C
15
4
1
4
7
8
【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、复数的坐标表示、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系
【分析】根据复数的几何意义得到方程组，然后相加，结合同角三角函数关系式和两角差的余弦公式计算
即可.
sin 2sin 3sin2 4sinsin 4sin2 3

【详解】，
cs 2cs 1
cs2 4cscs 4cs2 1
1 4cscs sinsin  4  4 ，1 4cs   0 ，cs   1 ，
4
故选：C．
【典例 3】（2025·河南郑州·二模）已知复数 z 满足 z  1  z 1  4 ，则下列说法正确的是（ ）
A． z ≤ 2B． z 1  1
C．若 z  R ，则 z  2D．若 z2  R ，则 z  2
【答案】ABC
【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、复数的坐标表示、求复数的模、利用椭圆定义求方程
【分析】设 z  m  ni ，得到其在复平面的点坐标，设 F1 1, 0, F2 1, 0 ，证明 z 1  PF1 , z 1  PF2 ，从而得到点 P 的轨迹为椭圆，然后得到椭圆方程.结合椭圆中线段分别计算各个选择中的结果即可.
【详解】设 z  m  ni ，则复数 z 在复平面内对应点 P m, n ，设 F1 1, 0, F2 1, 0 ，
m 12  n2
则 z 1  m 1 ni 
 PF1
，同理 z 1  PF2 ，
∴ z 1  z 1  PF1  PF2  4 ，即点 P 的轨迹为椭圆，且椭圆长半轴a  2 ，焦半径c  1 ，
∴短半轴b 
 3 ，∴点 P 的轨迹方程为： x
2
y
 1，
a2  c2
2
43
A 选项： z  OP  a  2 ，A 选项正确；
B 选项： z 1  PF2  a  c  1，B 选项正确；
C 选项：若 z  R ，即n  0 ，令 y  0 ，则 x  2 ，∴ z  2 ，C 选项正确；
3
D 选项： z2  m2  n2  2mni ，若 z2  R ，则m  0 或n  0 ，当m  0 时，n   3 ，此时 z ；当n  0 时，
m  2 ，此时 z  2 ，D 选项错误.
故选：ABC.
04：判断复数对应的点所在的象限
在复平面内，复数 z  a  bi(a, b  R) 与点(a, b)——对应，根据 a（实部，对应横坐标）和 b（虚部，对应纵坐标）的正负可判断点所在象限：
第一象限： a  0 且 b  0
第二象限： a  0 且 b  0第三象限： a  0 且 b  0第四象限： a  0 且 b  0
【典例 1】（2025·北京平谷·一模）在复平面内，复数 z 满足 z  1  i  2i ，则复数 z 对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解.
2i2i 1 i
【详解】由 z  1  i  2i 可得 z  1 i ，
1 i1 i1 i
故复数 z 对应的点为1,1 ，位于第二象限.故选：B
【典例 2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）复数 z  3  4i ，则 z 在复平面内对应的点在（ ）

2i
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】利用复数的除法化简复数 z ，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论.
3  4i3  4i1 2i5 10i

【详解】因为 z 
1 2i1 2i 1 2i5
 1 2i ，则 z  1  2i ，
所以，复数 z 在复平面内对应的点的坐标为1, 2 ，位于第二象限.
故选：B.
5
【典例 3】（2025·湖北黄冈·二模）复数 i  2 的共轭复数在复平面内对应的点位（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】先化简，再得到共轭复数，最后得到点对应象限.
【详解】 5  5i  2  5i 10  2  i ，则共轭复数为2  i ，对应的点2,1，在第二象限.
i  2i  2i  21 4
故选：B.
05：已知复数的类型求参数
对于复数 z  a  bi(a, b  R) ，有以下分类：
实数： b  0
虚数： b  0
纯虚数： a  0 且 b  0
已知复数类型求参数时，需根据上述定义，结合复数运算（如乘法、除法等），列出关于参数的方程
（组）求解，同时要注意对参数取值的检验，避免出现增根.
【典例 1】（2025·山东泰安·一模）已知i 为虚数单位，若1  i2  ai 是纯虚数，则实数a （ ）
A． 4
B． 2
C．1D．2
【答案】B
【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算
【分析】利用复数的乘法运算化简复数，再利用纯虚数的概念，即可得答案；
【详解】因为1 i2  ai  2  2i  ai  ai2  2  a  a  2i ，
a  2  0

所以a  2  0 ，解得a  2 .
故选：B.
【典例 2】（2025·浙江·二模）已知i 为虚数单位，复数 z  a2  4  (a  2)i （ a  R ）是纯虚数，则a  （ ）
A． 2 或2B． 2C． 0D． 2
【答案】D
【知识点】已知复数的类型求参数
【分析】由纯虚数的概念，列得方程组，从而可求出a 的值.
【详解】因为复数 z  a2  4  (a  2)i （ a  R ）是纯虚数，
a2  4  0

所以a  2  0 ，
由a 2  4  0 ，得a  2 或a  2 ，由a  2  0 ，得a  2 ，
所以a  2 .
故选：D.
【典例 3】（2024·上海·高考真题）已知虚数 z ，其实部为 1，且 z  2  m m  R ，则实数m 为．
z
【答案】2
【知识点】已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、由复数模求参数
【分析】设 z  1 bi,bR 且b  0 ，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.
【详解】设 z  1 bi ， b  R 且b  0 .
22 b2  3   b3  b 
 
则 z  z  1 bi  1 bi   1 b2    1 b2 i  m ，
 1 b
 b2  3 
2
m  R ，  b3  b
m
，解得m  2 ，
 0
1 b2
故答案为：2.
一：复数加减法的代数运算
对于复数 z  a  bi(a, b  R) ，其共轭复数 z  a  bi 。
复数的加减运算，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，即(a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i 。在涉及 z 与 z 的运算问题中，通常设 z  a  bi ，将其代入等式， 利用复数相等的条件（实部相等、虚部相等）列方程求解.
【典例 1】（2025·安徽·二模）若 z 
1 i3 i5
，则 z  z  （ ）
2i
2iC． 2
D．2
【答案】D
【知识点】复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】先利用i3  i ，i5  i 化简，再利用复数的除法运算求 z ，再求出 z ，最后利用复数的加法运算即可.
1 i31 i1 ii
【详解】因i3  i ， i5  i ，则 z  1 i ，
i5
则 z  1 i ， z  z  1  i  1  i  2 .
故选：D.
ii2
【典例 2】（2025·广西·三模）已知复数 z 满足 z  2z  9  i ，则 z  （ ）
1  3i
3  i
3  i
1 3i
【答案】C
【知识点】复数加减法的代数运算、复数的相等、共轭复数的概念及计算
【分析】设复数 z  a  bia, b R ，根据定义得到其共轭复数，再根据复数相等的充要条件列方程求解.
【详解】设复数 z  a  bia, b R ，则其共轭复数 z  a  bi ，所以 z  2z  a  bi+2a  bi  3a  bi  9  i ，
3a  9a  3
则b  1 ，解得b  1.所以 z  3  i .

故选：C.
二：复数代数形式的乘法运算
复数代数形式的乘法运算， 遵循多项式乘法法则， 即对于复数 z1  a  bi, z2  c  di(a,b,c, d  R) ，
z  z
12
 (a  bi)(c  di)  ac  adi  bci  bdi2 ，再根据 i2  1 ，整理为(ac  bd )  (ad  bc)i 的形式，
实部为 ac  bd ，虚部为 ad  bc 。
【典例 1】（2025·广东广州·模拟预测）已知复数 z 在复平面内对应的点的坐标是(1, 2) ，则iz  （ ）
1 2i
1 2i
2  i
2 i
【答案】D
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算
【分析】根据复数的乘法以及共轭复数的定义，可得答案.
【详解】由题意可得 z  1  2i ，则i z  i 1 2i  2  i .
故选：D.
【典例 2】（2025·安徽·模拟预测）若复数 z 满足 z  2z  2  3i ，则 z  i2025  （ ）
2  i
2 i
1 2i
1 2i
【答案】D
【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算
【分析】设 z  x  yi(x, y  R) ，则 z  2z  x  3yi  2  3i ，即可求出 x  2,
【详解】设 z  x  yi(x, y  R) ，
则 z  x  yi, z  2z  x  yi  2x  2 yi  x  3yi  2  3i ，
y  1，即可求解．
则 x  2,y  1, z  2  i, z  i2025  (2  i)  i  1  2i ．
故选：D.
三：复数的乘方
复数乘方运算可通过两种方式解决：
1．代数形式直接展开：利用多项式乘法法则反复运算（适用于低次幂），结合 in 的周期性i1  i, i2  1，
i3  i,i4  1 ，周期为 4）化简。
2．三角形式 + 棣莫弗定理：若复数为三角形式 z  r(cs i sin) ，则
zn  rn (cs n i sin n)(n  N *  ，适用于高次幂运算。
【典例 1】（2025·山东济南·三模）设复数 z 
2
1 i3
，则 z  （ ）
A．1  i
B．1i
C． 1  i
D． 1  i
【答案】B
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的乘方、复数的除法运算
【分析】利用复数的运算化简复数 z ，结合共轭复数的定义可得结果.
222 1 i
【详解】因为 z  1 i3  1 i  1 i1 i  1 i ，故 z  1  i .
故选：B.
【典例 2】（2025·湖北·二模）复数 z  1 
2
3i 是 z 2  z  1  0 成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】复数的乘方、判断命题的充分不必要条件、复数的除法运算
【分析】先判断当z  1 
2
3i 时， z2  z 1是否等于0 ，以确定充分性是否成立；再判断当z2  z  1  0 时，
z 是否一定等于1
2
3i ，以确定必要性是否成立，进而确定条件类型.
1  3i
 1 3i 2
1
3i
2
1 2 3i  3i2
1 2 3i  3
2  2 3i
1 3
【详解】当 z 时， z2   
2
再计算 z2  z 1 ：
2
44442
z2  z 1  1 3i  1 3i 1  1 3i 1 3i  2  0  0 ，
2222
所以当 z  1
2
3i 时， z2  z  1  0 成立，充分性成立.
由 z 2  z  1  0 ，则： z  1 
12  4 11  1 
1  3
2 122
3i ，
即 z  1
2
3i 或 z  1 
2
3i ，所以当z2  z  1  0 时， z 不一定等于1
2
3i ，必要性不成立.
因为充分性成立，必要性不成立，所以复数z  1 
2
3i 是z2  z  1  0 成立的充分不必要条件，
故选：A.
i2025 1
【典例 3】（2025·山西临汾·二模） i2025 1  （ ）
iB． i
1  i
1  i
【答案】B
【知识点】复数的乘方、复数的除法运算
【分析】根据复数的周期性以及复数的除法运算化简即可求解.
i2025 1  i2024i 1  1 i  1 i1 i  2i  
【详解】 i2025 1i2024i 1i 1i 11 i2i ，
故选：B
四：复数的除法运算
c  di(c  di)(c  di)
2．化简分母：利用平方差公式(c  di)(c  di)  c 2  d 2 （实数），即分母=分母实部的平方+分母虚部的平方
2
3．展开分子：按多项式乘法展开，再用 i2  1 化简，最后合并实部和虚部。注意：
若分母为纯虚数 di( 如 2i) , 可直接乘 i 化简(因 i  i  1) ：
a  bi  (a  bi)i  ai  bi 2  b  ai  b  ai
di
di i
d
d
d
若分母为1 i ，乘其共轭1∓ i 后分母为 2 ，可简化计算：
a  bi  (a  bi)(1 i)  (a  b)  (b  a)i
1 i
2
1．分子分母同乘分母的共轭复数：分母 c  di 的共轭复数为 c  di ，即 a  bi  (a  bi)(c  di)
2
 c  di(a,b,c, d  R) ，运算步骤：
2
1
z  a  bi, z
 ，设
 0
2
 z
z
z1
对于复数除法
【典例 1】（2025·江西·一模）设 i 为虚数单位，复数 z 的共轭复数为 z ，若的点位于第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
【答案】A
z  2  i ，则 z 在复平面内对应
i2025
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】由复数的运算性质化简得 z  1  2i，则 z  1  2i ，即答案可求.
【详解】由题意得 z 
 i i45061
 2  i  1 2i ，
i
所以 z  1  2i ，则 z 在复平面内对应的点位于第一象限，
故选：A.
【典例 2】（2025·河北·一模）若
z
z 1
 1 i ，则 z  （ ）
1  i
1  i
1i
1  i
【答案】D
【知识点】复数的除法运算
【分析】利用复数除法法则，结合条件,直接解出复数 z .
【详解】因为故选：D.
z
z 1
 1 i ，所以 z  1  i  1  i .
i
五：复数范围内方程的根
1．判别式法（实系数一元二次方程）
当 a, b, c  R 时，先计算判别式   b2  4ac 。
  0 时：方程有两个实根， 根据求根公式 x  b  求解。
2a
  0 时：方程有两个共轭虚根，同样使用求根公式 x 
b 4ac  b2 i
2a
2．配方法与公式法（复系数一元二次方程）
对于复系数一元二次方程，判别式法不再适用，可采用配方法或直接使用公式
x 
b  b2  4ac
2a
（这里 b2  4ac 是对复数开方，要考虑复数的多值性）。
3．韦达定理的应用
无论方程的根是实数还是复数， 韦达定理始终成立， 即若 x1, x2 是方程 ax2  bx  c  0 的两根， 则
x  x   b , x x  c
12
a
1 2
a
【典例 1】（2025·山东济宁·二模）已知1 2i 是关于 x 的方程 x2  ax  b  0a, b  R 的一个根，则 a  bi 
（）
29
A．2B．3C．5D．
【答案】D
【知识点】复数范围内方程的根、求复数的模
2 
a  b  3  0
【分析】将1 2i 代入 x  ax  b  0 化简整理有 a  b  3  4  2a i  0 ，即
4  2a  0
解出a, b ，最后求复
数的模即可.
【详解】将1 2i代入 x2  ax  b  0 有： 1 2i2  a 1 2i  b  0 ，


化简整理有a  b  3  4  2ai  0 ，即a  b  3  0 ，解得a  2 ，
所以 a  bi 
a2  b2

4  2a  0
22  52
 29 ，
b  5
故选：D.
【典例 2】（多选）（2025·吉林长春·一模）在复数范围内，方程 z2  z  2  0 的两个根分别为 z1 ，z2 ，则（ ）
A． z1 z2  iB． z1  z2  1
C． z1  z2D． z1  z2 
2
【答案】BCD
【知识点】复数范围内方程的根、求复数的模
【分析】根据韦达定理和复数范围内一元二次方程两根的特点一一分析即可.
【详解】对 A，根据韦达定理知 z1z2  2 ，故 A 错误；
对 B，根据韦达定理知 z1  z2  1，故 B 正确；
1 7i
对 C，解出两根分别为，显然两根互为共轭复数，则 z  z
，故 C 正确；
2
对 D，因为 z1  z2 ，则 z1  z2

 1 2
2
 2    2 
 7 



12
2
，故 D 正确.
故选：BCD.
【典例 3】（2025·山东·模拟预测）已知 z 是方程3x2  2x 1  0 的一个复数根，则 z  （ ）
1
3
【答案】B
3
3
2
3
6
3
【知识点】复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算、求复数的模
【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合复数模的公式进行求解即可.
【详解】由题，因为  4  4  3  8  0 ，所以 z 和 z 是方程3x2  2x 1  0 的两个根，
所以 z  z  1 ，即 z 2  1 ，所以 z  3 .
333
故选：B.
六：根据相等条件求参数
1．复数运算化简：
对含复数的表达式（如 、in 幂运算、方程根），先通过复数运算法则（除法分母实数化、in 周期性）
b
z
化简，转化为 a  bi(a, b  R) 形式。 2．应用＂ 复数相等＂条件：
若两个复数 m  ni  p  qi(m, n, p, q  R) ，则实部相等 (m  p) 且虚部相等(n  q) ，据此列方程求解
参数。
3．结合共轭复数／方程根性质： 实系数方程虚根成对（ 共轭虚根）；
共轭复数 z 与 z 实部相同、虚部相反。
【典例 1】（2025·安徽·模拟预测）若复数 z  1  i ，实数a, b 满足 z  b  a  0 ，则a  b  （ ）
z
1
4
C．1D．4
【答案】D
【知识点】复数范围内方程的根、根据相等条件求参数、复数的除法运算
【分析】法一：利用复数运算法则得到 z  b  a  1 a  b  b  1 i ，从而得到方程组，求出a  b  2 ，得
z2 2

到答案；
法二：变形得到 z2  az  b  0 ， z  1  i 是 z2  az  b  0 的根，故 z  1 i 是方程的另一个根，由韦达定理得到a  2, b  1  i2  2 ，求出答案.
【详解】法一：因为 z  1  i ，
bbb 1 i
b  b
所以 z   a 1 i  a 1 i 
z1 i2
 a 1  a  2  2 1 i  0，

1 a  b  0

所以
2，解得a  b  2 ，故a  b  4 ；
b
1  0
2
法二： z  b  a  0 ，故 z2  az  b  0 ，
z
因为 z  1  i 是 z2  az  b  0 的根，故 z  1 i 是方程的另一个根，由韦达定理得1  i  1  i  a ， 1 i1 i  b ，
故a  2, b  1  i2  2 ，所以a  b  4 .
故选：D
【典例 2】（2025·陕西宝鸡·二模）已知关于 x 的实系数方程 x2  2x  k  0 的一个虚根为1i ，则另外一个根
的虚部为（ ）
B． 1
iD． i
【答案】A
【知识点】复数范围内方程的根、求复数的实部与虚部、根据相等条件求参数
【分析】将虚数根代入可得k  2 ，即可求解方程的虚数根，利用虚部的定义求解即可.
【详解】将1i 代入 x2  2x  k  0 中可得1 i2  21 i k  0，解得k  2 ，故 x2  2 x  2  0  x 12  1，故 x 1  i ，
因此另一个虚数根为 x  1 i ，故其虚部为 1，
故选：A
【典例 3】（2025·湖南长沙·二模）若z  i2024 i  i5  i6 ，则 z 的虚部为（ ）
A． 1
C． i
D．i
【答案】A
【知识点】求复数的实部与虚部、根据相等条件求参数、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方
【分析】根据复数的运算法则，结合复数相等的条件求出 z ，再根据共轭复数的定义求出 z ，最后确定 z 的虚部.
【详解】设 z  a  bia, b  R ，则由已知得a  bi 1i  1 i ，
a 1  1,
∴ b  a 1i  1 i ．∴ b  1,

a  2,
b  1,
解得，∴ z  2 i，∴ z  2  i ，∴ z 的虚部为1．

故选：A．
七：在各象限内点对应复数的特征
1．共轭复数的象限特征
共轭复数 z  a  bi 与 z  a  bi 的实部相同、虚部相反，因此象限关于实轴对称：若 z 在第一象限(a  0, b  0) ，则 z 在第四象限(a  0, b  0) ；
若 z 在第二象限(a  0, b  0) ，则 z 在第三象限(a  0, b  0) 。 2．复数运算后的象限判断
若涉及复数加减乘除后的象限，需先计算结果的实部和虚部，再按上述步骤分析。
【典例 1】（2025·福建厦门·一模）在复平面内， i 1 i 对应的点位于（ ）
第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】根据已知化简复数得出对应点的坐标进而判断选项.
【详解】i1 i  i 1 ，所以il  i 对应的点为1,1 ，位于第二象限，
故选：B．
【典例 2】（多选）（2025·广东·模拟预测）已知i 为虚数单位，复数 z 满足 z  1 5i ，则（ ）
1 i
z 的实部为 3
z 的虚部为2i
z  z  13
z 在复平面内对应的点在第四象限
【答案】ACD
【知识点】在各象限内点对应复数的特征、共轭复数的概念及计算、求复数的模、根据除法运算结果求复数特征
【分析】先根据复数除法法则化简 z ，即可判断 A,B；再计算复数的模以及共轭复数定义，结合复数几何意
义判断 C,D.
1  5i1  5i1  i1  5i  i  5i2
【详解】由于 z  3  2i ，
1  i1  i1  i2
则 z 的实部为3, z 的虚部为 2，不是2i ，所以 A 正确，B 错误；
1 5i
1 i
12  52
12 12
由于 z 
13, z  z  z 2
 13, z  3  2i 在复平面内对应的点3, 2 在第四象限，所以 CD 都
正确，
故选：ACD.
【典例 3】（多选）（2025·湖南·二模）若 z1 ， z2 均为复数，下列说法正确的是（ ）
z1
z2  z1z2
2
若 z1 1  z2 1 ，则z1  z
若 z1  z1  2z2 ， z2  R
21
若 z1  1 i ， z  i2024  z  n 在复平面内对应的点在第一象限，则实数 n 的范围是, 1
【答案】AC
【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数的坐标表示、求复数的模、复数代数形式的乘法运算
【分析】设 z1  a  bi ， z2  c  di，a,b,c, d  R ，求出复数的模判断 A；利用特值法判断 B；利用复数的运算以及复数的分类判断 C；化简复数后求出对应点坐标判断 D.
a2  b2
【详解】 z1  a  bi ， z2  c  di，a,b,c, d  R ，则 z1

， z2 
c2  d 2
ac2  ad 2  bd 2  bc2
a2  b2 c2  d 2 
z1 z2  ac  bd   ad  bc i ，
ac  bd 2  ad  bc2
z1z2



 z1 z2
，故 A 正确
2
2
设 z1  i ， z2 1，则 z1 1  z2 1 ，而 z1  z2 ，故 B 错误
设 z1  x  yi,x, y  R ， z1  x  yi ，则 z1  z1  2x  2z2 ，则 z2  x  R ，故 C 正确
21
1
因为i2024  1 ，因此 z  i2024  z  n = z  n  1 n  i ，所对应点为1 n,1
该点在第一象限，说明1 n  0 ，即n  1，故 D 错误.故选：AC.
八：根据复数的坐标写出对应的复数
在复平面中，复数与坐标——对应，已知坐标写复数的关键是明确实部（横坐标）、虚部（ 纵坐标）与复数的关系，直接构建 z  a  bi(a, b  R) 形式，以下是具体解题技巧：
复平面内，点(a, b) 唯一对应复数 z  a  bi ，其中：
a 是实部， 对应点的横坐标；
b 是虚部， 对应点的纵坐标；
i 是虚数单位i2  1 。
【典例 1】（2025·黑龙江大庆·三模）在复平面内，点 Z (3, 4) 对应的复数为 z ，则| 1  i | （ ）
z
2
25
【答案】D
1
5
2
5
2
5
【知识点】根据复数的坐标写出对应的复数、求复数的模、复数的除法运算
【分析】根据给定条件，求出复数 z ，再利用复数除法及模的运算求解.
【详解】点 Z (3, 4) 对应的复数 z  3  4i ，
则1 i  1 i  (1 i)(3  4i)  1 7i   1  7 i ，

z3  4i(3  4i)(3  4i)252525
( 1 )2 ( 7 )2
25
25
所以| 1 i |2 .
z5
故选：D
【典例 2】（2025·山东枣庄·二模）已知复数 z 在复平面内对应的点为(1, 2) ，则 z 1  （ ）
z  i
1  i
1i
1+iD． 1  i
【答案】C
【知识点】根据复数的坐标写出对应的复数、复数的除法运算
【分析】根据给定条件，求出复数 z ，再利用复数的除法求解.
【详解】由复数 z 在复平面内对应的点为(1, 2) ，得 z  1  2i ，所以 z 1  1 2i 1  2i  2i  (1 i)  2  2i  1 i .
z  i1 2i  i1 i(1 i)(1 i)2
故选：C
【典例 3】（2025·广西·模拟预测）已知复数 z 在复平面内对应的点为1, 2 ，则 z 1  （ ）
z  i
4  2 i
55
【答案】B
4  2 i
55
3  1 i
44
3  1 i
44
【知识点】根据复数的坐标写出对应的复数、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算
【分析】结合复数的几何意义，以及复数的四则运算法则，即可求解．
【详解】因为复数 z 在复平面内对应的点为1, 2 ，则 z  1 2i ，
故 z 1  2  2i  2  2i1 3i  4  2 i.
z  i1 3i1 3i1 3i55
故选： B.
九：与复数模相关的轨迹（图形）问题
对于| z | r(r  0) ，表示复平面内以原点为圆心， r 为半径的圆。
对于 z  z0  r r  0, z0  x0  y0i ，表示复平面内以 x0 , y0  为圆心， r 为半径的圆。
对于 z  z1  z  z2  2a 2a  z1  z2  ， 表示复平面内以 z1 , z2 对应的点为焦点， 长轴长为$2 a$的椭圆（当 2a  z1  z2 时，轨迹是线段；当 2a  z1  z2 时，无轨迹）。
转化问题： 将复数模的等式转化为几何图形（圆、椭圆等），利用图形的性质（如圆心、半径、焦点、长轴短轴等）求解距离的取值范围、最值、离心率等。
【典例 1】（2025·河南·三模）若复数 z 满足 z  z  1，则 z  2i 的取值范围为（ ）．

A． 1, 2 
1, 3
1, 2
1, 3

【答案】D
【知识点】共轭复数的概念及计算、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】根据已知有 z  z | z |2  1 ，确定 z 对应点的轨迹，再应用圆上点到定点距离范围的求法得到 z  2i 的范围.
【详解】由 z  z | z |2  1，即 z 对应点在以复平面的原点为圆心，1 为半径的圆上，由 z  2i 表示上述圆上点到点(0, 2) 的距离，结合圆的性质，易知 z  2i [1, 3].
故选：D
【典例 2】（2025·上海杨浦·二模）已知复数 z 满足| z 1 i | 1 ，其中i 为虚数单位，则 z 的最小值为.
2
【答案】1
【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求出最小值.
【详解】在复平面内， | z 1 i | 1 表示复数 z 对应的点 Z 与复数1i 对应点 A(1, 1) 的距离为 1，因此点 Z 的轨迹是以 A(1, 1) 为圆心，1 为半径的圆，
z 表示点Z 到原点O 的距离，所以 z 的最小值为| OA | 1  2 1 .
2
故答案为：1
【典例 3】（2025·辽宁·一模）若复数 z 满足 z  2  z  2  6 ，则复数 z 在复平面内对应点的轨迹的离心率为.
【答案】 2
3
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】由椭圆的定义和离心率的定义可得.
【详解】由 z  2  z  2  6 可得复数 z 在复平面内对应点的轨迹是以2, 0, 2, 0 为焦点，长轴长为 6 的椭圆，
所以c  2, a  3 ，
2所以离心率为 .
3
故答案为： 2
3