江苏宿迁市2025-2026学年高二下学期期末质量监测数学试卷（含答案）

这是一份江苏宿迁市2025-2026学年高二下学期期末质量监测数学试卷（含答案），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.C62+C63A73的值为( )
A. 17B. 16C. 7D. 6
2.在1+x1−x3的展开式中，x3的系数是( )
A. 2B. −2C. 1D. −1
3.某市高三理科学生有30000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ∼N95,σ2，且P806.635=x0.01，
所以依据小概率值α=0.01的独立性检验，推断H0不成立．
即可以认为学生成绩优秀与主动预习有关．
(3)由题意可知从全市所有在校学生中随机抽取1人，其主动预习的概率为45100=0.45，
则Y∼B20,0.45．
所以E(Y)=20×0.45=9，D(Y)=20×0.45×(1−0.45)=4.95．

18.【答案】解：(1)在面PAB内，过A作AM⊥PB交PB于M，
因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，
AM⊂平面PAB，
所以AM⊥平面PBC．
BC⊂平面PBC，所以AM⊥BC．
因为PA⊥底面ABC，AB,BC⊂底面ABC，所以PA⊥BC．
又AP∩AM=A，且AP,AM⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．
因为AB⊂平面PAB，所以AB⊥BC．
(2)①解法1：如图所示，在▵PBC内过点M作ME⊥PC交PC于E，连接AE，
由(1)知，AM⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，所以AM⊥PC．
又ME⊥PC，ME,AM⊂平面AME，ME∩AM=A，所以PC⊥平面AME．
又因为AE⊂平面AME，所以PC⊥AE．
故∠AEM为二面角A−CP−B的平面角．
因为AM⊥平面PBC，ME⊂平面PBC，所以AM⊥ME．
因为AP⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，所以AP⊥AB，AP⊥AC．
设AB=x，则在Rt△PAB中，AM=2x 4+x2，Rt▵PAC中，PA=AC=2，AE= 2．
在Rt▵AME中，sin∠AEM=AMAE，即 427=2x 4+x2 2．
解得x= 3，即AB= 3
解法2：以A为原点，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系A−xyz，
则A0,0,0，P0,0,2，C0,2,0，设Ba,b,0，由(1)可知AB⋅CB=0，即a2+bb−2=0．
设平面PBC的一个法向量n1=x,y,z，
又PC=0,2,−2，BC=−a,2−b,0
所以n1⋅BC=0n1⋅PC=0，即2y−2z=0−ax+2−by=0，取z=1，则y=1，x=2−ba，
所以n1=2−ba,1,1．
由题意得，平面PAC的一个法向量n2=1,0,0
因为二面角A−CP−B的正弦值为 427，
所以二面角A−CP−B的余弦值的绝对值为 77．
所以csn1,n2=n1⋅n2n1⋅n2=2−ba 2−ba2+1+1= 77．
即a2=3b2−12b+12，将a2=2b−b2代入得，2b2−7b+6=0．
解得b1=32，b2=2．
当b=2时，a=0，此时B0,2,0，与C重合，舍；
当b=32时，a2=34，此时AB= a2+b2= 3.
②解法1：以A为原点，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系A−xyz，则A0,0,0，P0,0,2，C0,2,0，B 32,32,0．
因为AD⋅DC=0，D为平面ABC内一点，
所以D在以AC为直径的圆上，则设Dcsθ,1+sinθ,0．
设平面PBC的一个法向量n3=x,y,z，
则n3⋅PB=0n3⋅PC=0，即 32x+32y−2z=02y−2z=0，取y=z= 3，则x=1．
所以n3=1, 3, 3．
D到平面PBC的距离为d=PD⋅n3n3=csθ+ 3sinθ− 3 7=2sinθ+π6− 3 7．
因为θ∈R，所以D到平面PBC的距离最大值为2 7+ 217．
解法2：因为AP⊥平面ABC，所以AP为三棱锥P−ABC的高，
由(1)知，BC⊥平面ABP，PB⊂平面ABP，所以BC⊥BP．
在直角三角形PBC中，BC=1，PB= 7，所以S▵PBC= 72．
由(1)知，S△ABC=12AB⋅BC= 32
设D到平面PBC的距离为ℎ，
因为VP−DBC=VD−PBC，所以13PA⋅S▵DBC=13ℎ⋅S▵PBC，即ℎ=4S▵DBC 7．
又D在平面ABC内，且AD⋅DC=0，所以D在以AC为直径的圆上，
所以▵BCD面积的最大值为S▵DBC=12×1×1+ 32=2+ 34．
故D到平面PBC的距离ℎ的最大值为ℎmax=4S▵DBC 7=2 7+ 217．

19.【答案】解：(1)由题意，当掷2次骰子后，球在甲处，共有2种情况：
甲→甲→甲，其概率为23×23=49；甲→乙→甲，其概率为13×12=16；
所以掷2次后，球在甲处的概率为P2=49+16=1118．
当掷3次骰子后，球在甲处，共有4种情况：
甲→甲→甲→甲，其概率为23×23×23=827；
甲→甲→乙→甲，其概率为23×13×12=19；
甲→乙→甲→甲，其概率为13×12×23=19；
甲→乙→丙→甲，其概率为13×12×23=19；
所以掷3次后，球在甲处的概率为P3=827+19+19+19=1727．
(2)由题意知，X=0,1,2,3，
PX=0=13×12×13=118，
PX=1=13×12×13+13×12×23+23×13×12=518，
PX=3=233=827，
PX=2=1−PX=0−PX=1−PX=3=1027，
所以随机变量X的分布列为：
随机变量X的数学期望为EX=0×118+1×518+2×1027+3×827=10354；
(3)设掷n次后，球在乙处的概率为Qn，
所以当n≥2时，Pn=23Pn−1+12Qn−1+231−Pn−1−Qn−1=−16Qn−1+23，
Qn=13Pn−1+131−Pn−1−Qn−1=−13Qn−1+13，
所以Qn−14=−13Qn−1−14,Q1−14=13−14=112．
所以数列Qn−14是以112为首项，−13为公比的等比数列．
所以Qn−14=112⋅−13n−1,Qn=112−13n−1+14．
所以Pn=−18−13n+58n≥2,P1=23符合该式．所以Pn=−18−13n+58．
设变量ξn=1,n次传球后足球在甲处0,n次传球后足球不在甲处，那么Eξn=0⋅1−Pn+1⋅Pn=Pn，
EY=i=1nEξn=P1+P2+⋅⋅⋅+Pn=58n−18−13+−132+⋅⋅⋅+−13n
=5n8+132−132×−13n．
x/t
3
4
5
6
y/t标准煤
2.5
3
m
4.5
主动预习
不主动预习
合计
合格
优秀
10
合计
100
Pχ2≥x0
0.050
0.010
0.001
x0
3.841
6.635
10.828
主动预习
不主动预习
合计
合格
25
45
70
优秀
20
10
30
合计
45
55
100
X
0
1
2
3
P
118
518
1027
827