新高考数学二轮复习提升讲与练专题05 第1讲 直线与圆（2份，原卷版+解析版）

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第1讲 直线与圆
一、考点透析
考点1 直线方程
1.(多选题)(苏州模拟)已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是( )
A．不论a为何值，l1与l2都互相垂直
B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0，1)和B(－1，0)
C．不论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称
D．如果l1与l2交于点M，O为坐标原点，则|MO|的最大值是 eq \r(2)
【答案】ABD
【解析】对于A，a×1＋(－1)×a＝0恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；
对于B，直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化时，x＝0，y＝1恒成立，
所以l1恒过定点A(0，1)；l2：x＋ay＋1＝0，当a变化时，x＝－1，y＝0恒成立，
所以l2恒过定点B(－1，0)，故B正确；
对于C，在l1上任取点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，ax＋1)) ，其关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－ax－1，－x)) ，代入l2：x＋ay＋1＝0，则
左边不恒等于0，故C不正确；
对于D，联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax－y＋1＝0，,x＋ay＋1＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(－a－1,a2＋1)，,y＝\f(－a＋1,a2＋1)，)) 即M eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－a－1,a2＋1)，\f(－a＋1,a2＋1))) ，所以|MO|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－a－1,a2＋1)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－a＋1,a2＋1)))\s\up12(2)) ＝ eq \r(\f(2,a2＋1)) ≤ eq \r(2) ，所以|MO|的最大值是 eq \r(2) ，故D正确．
2.(2025·四川省绵阳市·模拟)过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1:2x+y−8=0和l2:x−3y+10=0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为 ．
【答案】x+4y−4=0
【解析】解：设l1与l的交点为A(a,8−2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(−a,2a−6)在l2上，
代入l2的方程得−a−3(2a−6)+10=0，解得a=4，
即点A(4,0)在直线l上，
又点P(0,1)在直线l上，
所以直线l的方程为x4+y=1，
即x+4y−4=0．
故答案为x+4y−4=0．
考点2 圆的方程
1.(2025·海南省·模拟)已知圆C与直线l1:x−y+1=0和l2:x−y+5=0都相切，且圆心在y轴上，则圆C的方程为( )
A. x2+(y+3)2=8B. x2+(y+3)2=2
C. x2+(y−3)2=8D. x2+(y−3)2=2
【答案】D
【解析】解：设所求圆的方程为x2+(y−b)2=r2(r>0)，
圆心C(0,b)到直线l1:x−y+1=0的距离d1为：
d1=|0−b+1| 12+(−1)2=|1−b| 2；
圆心C(0,b)到直线l2:x−y+5=0的距离d2为：
d2=|0−b+5| 12+(−1)2=|5−b| 2；
由于圆C与直线l1:x−y+1=0和l2:x−y+5=0都相切，所以圆心到这两条直线的距离相等，则|1−b| 2=|5−b| 2=r，解得b=3,r= 2，
所以圆的方程为x2+(y−3)2=2．
故选：D．
2.(2025·陕西省西安市·模拟)已知点A(−1,1)，⊙M的方程为(x−1)2+(y+1)2=10，P，Q为⊙M上的动点，满足∠PAQ=90°，则PQ中点的轨迹方程为 ．
【答案】x2+y2=3
【解析】解：由题意设线段PQ的中点为B(x,y)，∠PAQ=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半有|BP|=|BQ|=|BA|，

连接MB，则MB⊥PQ，故|BM|2+|BQ|2=|MQ|2，所以|BM|2+|BA|2=|MQ|2，
又因为A(−1,1),M(1,−1),|MQ|= 10，
所以(x−1)2+(y+1)2+(x+1)2+(y−1)2=10，化简整理有x2+y2=3．
故答案为：x2+y2=3．
3．古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k＞0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O(0，0)，A(3，0)，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上有且仅有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的值为________．
【答案】1或5
【解析】设动点P(x，y)，由|PA|＝2|PO|，得(x－3)2＋y2＝4x2＋4y2，
整理得(x＋1)2＋y2＝4，又点P是圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上有且仅有的一点，
所以两圆相切．圆(x＋1)2＋y2＝4的圆心坐标为(－1，0)，半径为2，
圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)的圆心坐标为(2，0)，半径为r，两圆的圆心距为3，
当两圆外切时，r＋2＝3，得r＝1；当两圆内切时，|r－2|＝3，r＞0，得r＝5.
所以答案为：1或5
考点3 直线与圆相关位置关系
1.(2025·陕西省·模拟)已知圆C:(x−1)2+(y−2)2=25，直线l:(2m+1)x+(m+1)y−10m−7=0，则直线l与圆C的公共点个数为( )
A. 0个B. 1个
C. 2个D. 与m有关，不能确定
【答案】C
【解析】解：直线l:(2x+y−10)m+(x+y−7)=0，
令2x+y−10=0x+y−7=0，解得x=3y=4,
即直线l恒过定点A(3,4)，
由(3−1)2+(4−2)2=80)内切，则r的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】解：将⊙C1方程配方得：⊙C1:(x−a)2+y2=1，则C1(a,0)，半径为1，
由⊙C2:(x−1)2+(y+1)2=r2可得C2(1,−1)，半径为r，
因⊙C1与⊙C2内切，则有|C1C2|=|r−1|，
由于|C1C2|= (a−1)2+1⩾1，则得|r−1|⩾1，解得r⩾2，即r的最小值为2．
故选：B．
4.(多选题)(2025·福建省福州市·模拟)已知点A(−3,0)，B(3,0)，动点C满足|CA|=2|CB|，记C的轨迹为Γ.过点A的直线与Γ交于P，Q两点，直线BP与Γ的另一个交点为M，则( )
A. 点Q，M关于x轴对称B. △PAB的面积的最大值为6 3
C. 当∠PMQ=45 ∘时，|PQ|=4 2D. 直线AC的斜率的范围为− 3, 3
【答案】AC
【解析】解：设点C(x,y)，由|CA|=2|CB|，得 x+32+y2=2 x−32+y2，整理得Γ的方程为x−52+y2=16，则动点C的轨迹是以点H(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．
对于A项，因为|PA|=2|PB|，|MA|=2|MB|，所以|PA||MA|=|PB||MB|，所以∠PAB=∠MAB，
又轨迹Γ的图像关于x轴对称，所以点Q，M关于x轴对称，故A项正确．
对于B项，当点P位于点(5,4)时，△PAB的面积最大，S△PAB=12×6×4=12，故B项错误．
对于C项，由∠PMQ=45 ∘，可得∠PHQ=90°，则PQ= 2QH=4 2，故C项正确．
对于D项，设直线AC与圆H相切，设直线AC的方程为y=kx+3，则5k−0+3k k2+1=4，解得k=± 33，故直线AC的斜率的范围为− 33, 33，故D项错误．
故答案为：AC．
跟踪练习
1.(2025·广东省东莞市·联考)已知直线l1：ax+(a+2)y+2=0与l2：x+ay+1=0平行，则实数a的值为( )
A. −1或2B. 0或2C. 2D. −1
【答案】D
【解析】解：由题意知a1=a+2a，即a·a−a+2=0，即a2−a−2=0，解得a=2或−1．
经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．
∴a=−1．
故选：D．
2.(2025·四川省成都市·模拟)若坐标原点O关于动直线l:mx−y−m+1=0(m∈R)的对称点为A，则点A的轨迹为( )
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线
【答案】A
【解析】解：由mx−y−m+1=0得m(x−1)−(y−1)=0，所以直线l过定点B(1,1)，
又|OB|=|AB|= 2，所以点A到点B的距离为 2，
所以点A的轨迹为以B为圆心的圆．
故选：A．
3.(2025·广东省惠州市·模拟)已知圆x2+y2=4，直线l：y=x+b，若圆上恰有三个点到直线l的距离等于1，则b的值为( )
A. 0B. ±1C. ± 2D. ±3 2
【答案】C
【解析】解：圆x2+y2=4的圆心坐标是O(0,0)，半径为2，
因为圆上恰有三个点到直线l距离等于1，
所以圆心O到直线l：x−y+b=0的距离d为1，
即|b| 2=1，得b=± 2．
故选：C．
4.(2025·湖北省省直辖县·模拟)已知直线l与圆(x−2)2+(y−3)2=1和圆(x+1)2+(y+1)2=36均相切，则l的方程为( )
A. x+2y−23=0B. x+2y+23=0
C. 3x+4y−23=0D. 3x+4y+23=0
【答案】C
【解析】解：圆(x−2)2+(y−3)2=1的圆心为M(2,3)，半径为R1=1，
圆(x+1)2+(y+1)2=36的圆心为N(−1,−1)，半径为R2=6，
∵|MN|= (2+1)2+(3+1)2=5=R2−R1，
所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线l为两个圆的公共弦所在的直线方程，
所以l:(x+1)2+(y+1)2−(x−2)2−(y−3)2=36−1，
整理得l:3x+4y−23=0，
故选：C．
5.(2025·上海市市辖区·模拟)定义：min(P,C)表示点P到曲线C上任意一点的距离的最小值．已知P是圆(x−1)2+y2=9上的动点，圆C:x2+y2=1，则min(P,C)的取值范围为 ·
【答案】[1,3]
【解析】解：记O为坐标原点，O在圆(x−1)2+y2=9内，
O到圆(x−1)2+y2=9的圆心距离d为1，圆的半径r为3，
根据圆内一点到圆上一点的最大最小值公式，
有OPmin=r−d=3−1=2，OPmax=r+d=3+1=4，
所以OP∈2,4，而圆C的半径rc为1，
则min(P,C)=|OP|−rc∈[1，3]，
故minP,C的取值范围为1,3．
6.(多选题)(2025·福建省龙岩市·模拟)已知直线l:x+ay−3=0与圆C:x2+y2−8x+6y+16=0，则下列说法正确的是( )
A. 当a=2时，直线l与圆C相交
B. 若直线l与圆C相切，则a=43
C. 圆C上一点P到直线l的最大距离为 10+3
D. 若圆C上恰好有三个点到直线l的距离为2，则a=34
【答案】AC
【解析】解：对于A：当a=2时，直线l:x+2y−3=0，圆C的方程可化为(x−4)2+(y+3)2=9，
所以圆心C(4,−3)，半径r=3，则圆心C到直线l的距离d=|4−3×2−3| 12+22= 5