新高考数学二轮复习核心专题讲练第1讲 直线与圆综合问题（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：直线倾斜角与斜率
突破二：两条直线平行与垂直
突破三：直线方程
突破四：距离问题
突破五：圆的方程
突破六：与圆上点有关的距离最值问题
突破七：圆的切线问题
突破八：两圆的公共弦问题
突破九：圆的弦长问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、直线斜率的坐标公式
如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：
（1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；
（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；
（3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。
2、两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
或，斜率都不存在.
3、两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
4、直线方程
①直线过点和斜率（已知一点+斜率）：
②直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距）：
③直线在轴上的截距为，在轴上的截距为：
④直线的一般式方程：
5、直线系方程
（1）平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.
（2）垂直直线系方程
一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.
6、点到直线的距离
平面上任意一点到直线：的距离.
7、对称问题
（1）点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)
求点关于点的对称点
由：
（2）点关于直线对称问题（联立两个方程）
求点关于直线：的对称点
①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中；
②
整理得：
（3）直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则）
方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解；
方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数.
方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上.
（4）直线关于直线对称问题
4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线
①求出与的交点
②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点
③根据，两点求出直线
4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线
①
②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线.
8、圆的标准方程
我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.
9、圆上的点到定点的最大、最小距离
设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;
①若点在外，则;
②若点在上，则;
③若点在内，则;
10、圆的一般方程
对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.
①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；
②当时，方程表示一个点
③当时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.
11、直线与圆相交
记直线被圆截得的弦长为的常用方法
（1）几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
（2）代数法
直线：；圆
联立消去“”得到关于“”的一元二次函数
弦长公式：
12、圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；
13、圆与圆的公共弦
（1）圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
（2）公共弦所在直线的方程
设:
:
联立作差得到：即为两圆共线方程
（3）公共弦长的求法
代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
第二部分：重难点题型突破
突破一：直线倾斜角与斜率
1．（2022·湖南·怀化市湖天中学高二阶段练习）已知、，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·辽宁·大连市第二十三中学高二期中）已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．或
3．（2022·广东·深圳中学高二期中）已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·四川省泸县第四中学高二期中（文））已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是________.
突破二：两条直线平行与垂直
1．（2022·江苏南通·高二期中）是直线与直线平行的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既非充分又非必要
2．（2022·湖北宜昌·高二期中）若直线：与：平行，则实数（ ）
A．2B．－2C．D．
3．（2022·福建省福州第十一中学高三期中）已知，，直线与直线垂直，则的最小值是___________.
4．（2022·浙江·元济高级中学高二期中）已知直线：，：，若，则实数_________．
突破三：直线方程
1．（2022·北京四中高二期中）与直线平行，且与圆相切的直线方程为______.
2．（2022·福建·晋江市季延中学高二期中）直线被圆截得的弦长为定值，则直线l的方程为_________________________．
3．（2022·辽宁沈阳·高二期中）直线l过点，若点到直线的距离为3，则直线的方程为______.
4．（2022·广东湛江·高三阶段练习）写出与直线垂直且和圆相切的一条直线的方程：__________．
突破四：距离问题
1．（2022·浙江·高二期中）点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
2．（2022·湖北宜昌·高二期中）函数的最小值是（ ）
A．5B．4C．D．
3．（2022·北京工业大学附属中学高二期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·福建省厦门第二中学高二阶段练习）点到直线（为任意实数）的距离的最大值为 （ ）
A．B．C．D．
5．（2022·山东青岛·高二期中）直线过点，和两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
6．（2022·辽宁省康平县高级中学高二期中）若圆M：上至少有3个点到直线l：的距离为，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·河北·石家庄市第十八中学高二阶段练习）若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值是（ ）
A．25B．C．17D．
8．（2022·湖北·高二阶段练习）平面直角坐标系中有点，，直线经过点，且点到直线的距离是，则直线的方程是__________．
9．（2022·河南·宜阳县第一高级中学高二阶段练习）已知直线与平行，则，间的距离为___________.
10．（2022·黑龙江省饶河县高级中学高二阶段练习）已知直线，，则直线与之间的距离最大值为______.
11．（2022·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高二阶段练习）实数满足：，则的最小值为________
12．（2022·辽宁·东北育才学校高二阶段练习）若实数，，，满足，则的最小值为______.
13．（2022·上海市嘉定区第二中学高二期中）已知为直线上的动点，，则m的最小值为___________.
突破五：圆的方程
1．（2022·北京丰台二中高三阶段练习）若直线截取圆所得弦长为2，则（ ）
A．B．C．1D．
2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线恒过定点P，则与圆C：有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期中）已知方程表示圆，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全国·高二课时练习）已知，则的外接圆的方程是___________．
5．（2022·江西·高三阶段练习（文））设圆心在直线与直线上，点在上，则的方程为______．
突破六：与圆上点有关的距离最值问题
1．（2022·黑龙江·绥棱县第一中学高三阶段练习）已知圆C：上的点到直线l：的最大距离为M､最小距离为m，若，则实数k的值是（ ）
A．B．1C．或1D．或1
2．（2022·贵州贵阳·高二阶段练习）直线被圆截得的最短弦长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·模拟预测）已知点P是曲线上的动点，则点P到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·吉林吉林·高二期中）已知是圆上的一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·安徽省泗县第一中学高二期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知圆的方程为，是圆上一动点，点，为线段的中点，则的最小值为__________.
7．（2022·北京市第五十七中学高三阶段练习）若点在半径为1，且圆心为坐标原点的圆上，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为___________.
8．（2022·湖南·衡阳市一中高二期中）已知是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是__________．
9．（2022·上海市青浦高级中学高二阶段练习）一束光线从点射出，经轴上一点反射后到达圆上一点，则的最小值为_____．
10．（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知O是坐标原点，A，B是圆O：上两点，且，若弦的中点为，则的最小值为___________.
突破七：圆的切线问题
1．（2022·江苏连云港·高二期末）从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为（ ）
A．1B．C．2D．3
2．（2022·全国·高三专题练习）已知直线是圆：的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则等于（ ）
A．2B．C．D．
3．（2022·辽宁鞍山·高二期中）过点引圆的切线，则切线的方程为（ ）
A．或B．
C．或D．
4．（2022·四川省南充高级中学高二阶段练习（理））若圆C:上任意一点关于直线的对称点都在圆上，由点向圆作切线，则切线段长的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．6
5．（2022·全国·高二课时练习）过点作圆的切线，则切线的方程为_________．
6．（2022·全国·高二课时练习）曲线与直线l：y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是________．
突破八：两圆的公共弦问题
1．（2022·四川·成都七中高二期中（文））圆 ​与圆​公共弦所在直线方程为___________．
2．（2022·四川成都·高二期中（文））圆与圆的公共弦长为______．
3．（2022·天津·耀华中学高二期中）两圆和相交于两点，则公共弦的长为__________.
4．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（理））过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB 的方程为_____．（请用直线方程的一般式作答）
突破九：圆的弦长问题
1．（2022·天津市第二耀华中学高三阶段练习）若直线被圆截得线段的长为6，则实数的值为__________.
2．（2022·四川省绵阳江油中学模拟预测（理））若直线过，且被圆截得的弦长为，则直线方程为______
3．（2022·广东·模拟预测）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相交于点两点，若，则______．
4．（2022·河南·高二阶段练习（文））过点作一条直线与圆分别交于M，N两点.若弦MN的长为，则直线MN的方程为______.
5．（2022·山西运城·高二阶段练习）已知圆过平面内三点，，．
(1)求圆的标准方程；
(2)若点B也在圆上，且弦AB长为，求直线AB的方程．
6．（2022·福建·厦门外国语学校石狮分校高二期中）已知圆:，点坐标为，为圆上动点，中点为.
(1)当点在圆上动时，求点的轨迹方程；
(2)过点的直线与的轨迹相交于两点，且，求直线的方程.
7．（2022·北京市师达中学高二阶段练习）已知圆，直线.
(1)若直线与圆交于两点，，求的值.
(2)求证：无论取什么实数，直线与圆恒交于两点；
(3)求直线被圆截得的最短弦长，以及此时直线的方程.
8．（2022·辽宁·本溪满族自治县高级中学高二阶段练习）已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直.
(1)求直线的方程；
(2)若圆过点，且圆心在轴的负半轴上，直线被圆所截得的弦长为，求圆的标准方程.
9．（2022·山东省济南市莱钢高级中学高二期中）已知圆和点．
(1)过点M向圆O引切线，求切线的方程；
(2)求以点M为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆M的方程；
10．（2022·贵州贵阳·高二阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)若过点的直线被圆截得的弦的长为4，求直线的方程.
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·浙江省杭州第九中学高二期中）直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江·杭州市源清中学高二期中）已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·浙江大学附属中学高二期中）已知x，y满足，若不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·浙江大学附属中学高二期中）若直线与互相垂直，则实数（ ）
A．B．C．或0D．或0
5．（2022·河北·任丘市第一中学高二阶段练习）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河北·涉县第一中学高三期中）过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·河南·马店第一高级中学模拟预测（理））已知动点M，N分别在抛物线：和圆：上，则的最小值为（ ）
A．B．C．5D．6
8．（2022·湖南长沙·高二阶段练习）已知直线：和圆：交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·四川·威远中学校高二期中（文））一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在的直线方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．
10．（2022·四川省遂宁高级实验学校高二期中（理））已知圆，圆，过圆上任意一点作圆的两条切线、切点分别为、，则的最小值是（ ）
A．B．3C．D．
11．（2022·江苏·南京市天印高级中学高二阶段练习）若圆与圆关于直线对称，圆上任意一点均满足，其中，为坐标原点，则圆和圆的公切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
二、多选题
12．（2022·浙江·杭州市源清中学高二期中）已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆内B．圆M关于对称
C．直线与截圆M的弦长为D．直线与圆M相切
13．（2022·浙江大学附属中学高二期中）设动直线交圆于A，B两点（C为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线l过定点B．当取得最大值时，
C．当最小时，其余弦值D．的取值范围是
14．（2022·福建省南安国光中学高三阶段练习）已知圆（为圆心），直线，点在直线上运动，直线分别与圆切于点．则下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积最小值为
B．最短时，弦长为
C．最短时，弦直线方程为
D．直线过定点为
三、填空题
15．（2022·吉林·长春博硕学校高二期中）在平面直角坐标系中，若直线与曲线，有两个公共点，b的取值范围是______.
16．（2022·山东·菏泽市定陶区明德学校（山大附中实验学校）高二期中）在平面直角坐标系中，过轴上的点分别向圆和圆引切线，记切线长分别为、.则的最小值为__________.
四、解答题
17．（2022·河北·涉县第一中学高三期中）已知为双曲线的右焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点的直线与双曲线相交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，求直线的方程.
18．（2022·海南·嘉积中学高二阶段练习）已知抛物线，点在直线上，直线绕点旋转，与交于，两点.当直线垂直于轴时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)当点为弦的中点时，求直线的方程.
19．（2022·河北·任丘市第一中学高二期中）已知圆经过点，，且______．从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答．
①与轴相切；②圆恒被直线平分；③过直线与直线的交点C．
(1)求圆的方程；
(2)求过点的圆的切线方程．
20．（2022·山西·晋城市第二中学校高二阶段练习）已知圆，直线，，且直线和均平分圆.
(1)求圆的标准方程
(2)直线与圆相交于，两点，且，求实数的值.