（艺考生）新高考数学一轮复习考点基础讲义+分层练3.4平面向量的坐标运算（分层训练）（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc194047338" 2题型二、向量数量积的坐标运算 PAGEREF _Tc194047338 \h 2
\l "_Tc194047339" 3题型三、向量共线定理的坐标运算 PAGEREF _Tc194047339 \h 2
\l "_Tc193902717" 题型一、向量加减法的坐标运算
1．若向量a=3,−2，b=0,−1，则向量2b+a的坐标是（ ）
A．3,−4B．−3,4C．3,4D．−3,−4
【答案】A
【分析】根据平面向量的坐标运算可得答案.
【详解】向量a=3,−2，b=0,−1，
则向量2b+a=20,−1+3,−2=3,−4.
故选：A.
2．已知向量PQ=1,−5，QR=−2,1，则PR=（ ）
A．4,−6B．−1,−4C．−2,4D．2,−4
【答案】B
【分析】利用向量加法的坐标表示，求出PR的坐标
【详解】PR=PQ+QR=−1,−4.
故选：B.
3．已知向量AB=(1,−1),AC=(4,3)，则|BC→|=（ ）
A．5B．29C．2D．2
【答案】A
【分析】求出BC的坐标，再利用向量模的坐标表示计算即得.
【详解】向量AB=(1,−1),AC=(4,3)，则BC⃗=AC⃗−AB⃗=(3,4)，
所以|BC|=32+42=5.
故选：A
4．已知向量a=1,−2,b=−1,2，则下列结论正确的是（ ）
A．a⊥bB．a+b=2a−b
C．b−a与a同向D．2a//b
【答案】D
【分析】根据向量共线、向量运算、基底等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】A选项，a⋅b=1×(−1)+(−2)×2=−5≠0，故A错误；
B选项，a+b=0,0=0，2a−b=3,−6，B错误，
C选项，b−a=−2,4=−2a，所以b−a与a反向，C错误.
D选项，由于b=−a，所以a//b，得2a//b，所以D正确.
故选：D
5．已知向量AB=2,4，AC=0,2，则12BC等于（ ）
A．−2,−2B．2,2
C．1,1D．−1,−1
【答案】D
【分析】利用平面向量线性运算的坐标运算可得结果.
【详解】因为BC=AC−AB=0,2−2,4=−2,−2，故12BC=12−2,−2=−1,−1.
故选：D.
6．已知向量a=1,1，b=−1,2，则a+b=（ ）
A．0,3B．2,−1C．1,0D．1
【答案】A
【分析】根据平面向量坐标运算的加法公式即可求解.
【详解】因为a=1,1，b=−1,2，所以a+b=1,1+−1,2=0,3.
故选：A
7．已知向量a=5,2，b=−4,−3，若c满足3a−2b+c=0，则c=（ ）
A．−23,−12B．23,12
C．7,0D．−7,0
【答案】A
【分析】根据向量线性运算的坐标运算直接得解.
【详解】因为a=5,2，b=−4,−3，且c满足3a−2b+c=0，
所以c=2b−3a=−23,−12，
故选：A.
8．已知向量AB=3,5,AC=−1,2，则CB=（ ）
A．4,3B．−4,−3C．−4,3D．4,−3
【答案】A
【分析】根据向量的减法法则易得.
【详解】由题意，CB=AB−AC=(3,5)−(−1,2)=(4,3).
故选：A.
9．已知点A(1,0)，B(2,2)，O为坐标原点，向量AC=4CB，则OA⋅OC=（ ）
A．95B．85C．−95D．−85
【答案】A
【分析】设点C坐标，然后得到向量AC,CB坐标，由AC=4CB得到方程组，求出点C坐标，即可得到OA⋅OC.
【详解】设Ca,b，则AC=a−1,b，CB=2−a,2−b，
∵AC=4CB，∴a−1=42−ab=42−b，解得a=95b=85，即C95,85，
∴OA⋅OC=95.
故选：A.
10．已知向量e1=1,0，e2=1,3，设a=4e1+e2，b=3e1−e2，则a与b的夹角为（ ）
A．π6B．π4C．π3D．2π3
【答案】C
【分析】由条件结合向量坐标运算公式求a⃗，b⃗，再求a⋅b，a，b，再结合向量夹角公式求结论.
【详解】因为e1=1,0，e2=1,3，
所以a=4e1+e2=4,0+1,3=5,3，
b=3e1−e2=3,0−1,3=2,−3，
所以a⃗⋅b⃗=5×2+3×−3=7，a=52+32=27，
b⃗=22+−32=7，
设a与b的夹角为θ，
则csθ=a⋅ba⋅b=727×7=12，又θ∈0,π，
所以θ=π3，即a与b的夹角为π3.
故选：C.
\l "_Tc193902718" 题型二、向量数量积的坐标运算
1．已知向量a=−2,1，b=x,2，若a⊥b，则x=（ ）
A．0B．12C．1D．2
【答案】C
【分析】由向量垂直转化为数量积为0，进而可得.
【详解】由a⊥b得a⋅b=−2x+2=0，得x=1，
故选：C
2．已知向量a=4,m−1,b=m+2,−2，若a⊥b，则m=（ ）
A．−2B．−3C．−4D．−5
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得结论.
【详解】因为a⊥b，
所以a⋅b=0，
a=4,m−1,b=m+2,−2，
则4m+2−2m−1=0，
解得m=−5．
故选：D．
3．已知向量p=6,2a−3，q=−1,2，且p⊥q，则实数a=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据向量垂直数量积等于0即可求解.
【详解】因为p⊥q，所以p⋅q=6,2a−3⋅−1,2=−6+4a−6=0，解得a=3.
故选：C.
4．已知向量a→=2,3，b→=1,0，a→+tb→=3，则t=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【答案】A
【分析】先求出a+tb的坐标，再利用模长公式，即可求出结果.
【详解】因为a→=2,3，b→=1,0，
所以a→+tb→=2,3+t,0=2+t,3，
因为a→+tb→ =3，
所以2+t2+9=3，即2+t2=0，
解得t=−2.
故选：A.
5．已知向量a=1,3,b=0,1，则向量a与b的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【答案】A
【分析】根据条件，利用数量积的坐标运算及模长公式，求得a⋅b=3,a=1+3=2,b=1，再利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】因为a=1,3,b=0,1，则a⋅b=3,a=1+3=2,b=1，
所以csa,b=a⋅ba⋅b=32，又a,b∈0,π，所以a,b=π6，
故选：A.
6．已知向量a=2,−1，b=1,x，c=1,2.若a+b⋅c=3，则x=（ ）
A．−1B．1C．2D．−3
【答案】B
【分析】利用向量垂直坐标运算性质求解即可．
【详解】因为向量a=2,−1，b=1,x，所以a+b=3,x−1，
所以a⃗+b⃗⋅c⃗=3+2x−1=3，解得x=1.
故选：B.
7．已知a=1,1,b=2,0，若a+λb⊥a+b，则λ=（ ）
A．−43B．−23C．23D．43
【答案】B
【分析】根据向量线性运算的坐标表示与向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】因为a=1,1,b=2,0，
所以a+λb=1+2λ,1，a+b=3,1，
又因为a+λb⊥a+b，
所以a+λb⋅a+b=0，即31+2λ+1×1=0，
解得k=−23.
故选：B.
8．已知向量a=2,0,b=−3,3，则csa+b,a=（ ）
A．32B．−32C．12D．−12
【答案】D
【分析】先计算出a+b=−1,3，利用向量夹角余弦公式求出答案.
【详解】a=2,0,b=−3,3，a+b=−1,3，
所以a+b⋅a=−1,3⋅2,0=−1×2+3×0=−2，
a+b=−12+32=2，
所以csa+b,a=a+b⋅aa+b⋅a=−22×2=−12.
故选：D
9．若向量a=−7,t,b=−1,4，且a⊥b，则t=（ ）
A．28B．−28C．74D．−74
【答案】D
【分析】由a⊥b，结合a⋅b=0，列出方程，即可求解.
【详解】由向量a=−7,t,b=−1,4，
因为a⊥b，可得a⋅b=(−7)×(−1)+4t=0，即4t+7=0，解得t=−74.
故选：D.
10．已知向量a，b满足a=5，b=3,4，且a，b的夹角为π3，则a−b=（ ）
A．52B．53C．5D．10
【答案】C
【分析】运用向量的数量积的运算和向量的坐标运算即可.
【详解】由题意得b=32+42=5,
a−b=(a−b)2=a2−2ab+b2
=a2−2abcsπ3+b2=52−2×5×5×12+52=5.
故选：C.
\l "_Tc193902719" 题型三、向量共线定理的坐标运算
1．设平面向量a=1,2,b=−3,y，若a∥b，则b等于（ ）
A．5B．25C．20D．35
【答案】D
【分析】由向量平行的坐标表示及模长公式即可求解.
【详解】由a∥b，
可得：y+6=0，即y=−6，
所以b=9+36=35，
故选：D
2．已知向量a=x,1,b=2,y,c=1,−2，且a ∥ c,b⊥c，则向量2a+b在向量c上的投影向量为（ ）
A．−1,2B．1,−2C．−12,−32D．12,32
【答案】A
【分析】由平行向量的坐标关系可求出x，由垂直向量的坐标关系可求出y，然后由向量投影公式即可求解.
【详解】因为向量a→=x,1,c→=1,−2,a→//c→，
所以−2x=1×1，解得x=−12，
所以a=−12,1，
因为b⊥c,b=2,y,c=1,−2
所以2−2y=0，解得y=1，
所以向量b=2,1，
所以2a+b=1,3，2a+b⋅c=−5，
所以2a+b在向量c上的投影向量为2a+b⋅c|c|2⋅c=−55c=−c=−1,2.
故选：A.
3．已知向量a=−2,6，b=x,x+4，且a//b，则2a−3b=（ ）
A．3B．10C．23D．25
【答案】B
【分析】根据平面向量共线的坐标表示求出x的值，可求出向量2a−3b的坐标，利用平面向量的模长公式可求得2a−3b的值.
【详解】因为向量a=−2,6，b=x,x+4，由a//b可得6x=−2x+4，解得x=−1，
故2a−3b=2−2,6−3−1,3=−1,3，故2a−3b=−12+32=10．
故选：B．
4．设向量a→=x+1,x,b→=x,2，则（ ）
A．“x=−3”是“a⊥b”的必要条件
B．“x=−3”是“a//b”的必要条件
C．“x=0”是“a⊥b”的充分条件
D．“x=−1+3”是“a//b”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示以及充分条件、必要条件的定义逐项判断即可.
【详解】对A，当a⊥b时，则a⋅b=0，所以x⋅(x+1)+2x=0，解得x=0或−3，即必要性不成立，故A错误；
对B，当a//b时，则2(x+1)=x2，解得x=1±3，即必要性不成立，故B错误；
对C，当x=0时，a→=1,0,b→=0,2，故a⋅b=0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；
对D，当x=−1+3时，不满足2(x+1)=x2，所以a//b不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
5．设x,y∈R，向量a=x,1,1,b=1,y,1,c=3,−6,3且a⊥c,b ∥ c，则a+b=（ ）
A．22B．23C．4D．3
【答案】D
【分析】根据向量垂直和共线列方程得到a,b，然后求模即可.
【详解】解析因为a⊥c，则a⋅c=3x−6+3=0，解得x=1，则a=1,1,1.
因为b ∥ c，则13=y−6，解得y=−2，即b=1,−2,1，所以a+b=2,−1,2，因此a+b=4+1+4=3.
故选：D.
6．已知向量AB=(−2,23)，CD=(2,0)，则向量AB在向量CD上的投影向量为（ ）
A．−2B．2C．(−2,0)D．12,−32
【答案】C
【分析】根据AB，CD的坐标结合投影向量的定义即可求得答案.
【详解】AB=(−2,23)，CD=(2,0)，
所以向量AB在向量CD上的投影向量为AB⋅CD|CD|2⋅CD=2×−2+0×234CD=−CD=(−2,0).
故选：C.
7．已知向量 a→=−1,2，b→=2,−1 ，则向量 a→ 在向量 b→ 方向上的投影向量为（ ）
A．45b→B．−45b→C．45a→D．−45a→
【答案】B
【分析】根据投影向量公式计算即可.
【详解】因为向量 a→=−1,2,b→=2,−1 ，所以a→·b→=−2−2=−4,b→=5，
向量a在向量b方向上的投影向量为a · b|b|2b=−45b，
故选:B．
8．已知向量a=1，2,c=−1,−3，若向量b满足c+a//b，a+b⊥c，则b=（ ）
A．73B．3C．7D．53
【答案】A
【分析】设b=x,y，根据向量平行和垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】设b=x,y，则c+a=0,−1，a+b=x+1,y+2，
因为c+a//b，a+b⊥c，
所以x=0，且−x+1−3y+2=0，
即−1−3y+2=0，解得y=−73，则b=0,−73，
则b=73.
故选：A.
9．已知向量a=x+1,−1,b=x,2，则（ ）
A．“x=−2”是“a∥b”的充分条件
B．“x=1”是“a⊥b”的充分条件
C．“x=−2”是“a⊥b”的必要条件
D．“x=23”是“a∥b”的必要条件
【答案】B
【分析】由向量共线的坐标表示与向量垂直的坐标表示求出x的值，逐项判断即可.
【详解】因为a=x+1,−1,b=x,2，
若a∥b，则2x+1+x=0，解得x=−23，
故“x=−2”是“a ∥ b”的既不充分也不必要条件，故A错误；
所以“x=23”是“a ∥ b”的既不充分也不必要条件，故D错误；
若a⊥b，则xx+1−2=0，解得x=−2或1，
所以“x=1”是“a⊥b”的充分条件，故B正确；
“x=−2”是“a⊥b”的充分不必要条件，故C错误；
故选：B
10．若向量a=x,1，b=1,−1，且a//a+3b，则a⋅b=（ ）
A．−1B．2C．−2D．1
【答案】C
【分析】借助向量的线性运算及共线的坐标运算求得x，结合数量积坐标运算计算可得.
【详解】因为向量a=x,1，b=1,−1，所以a+3b=x+3,−2，
由a//a+3b，可得−2x=x+3，故x=−1，即a=−1,1，
则a⋅b=−1×1+1×−1=−2.
故选：C.