新高考数学二轮复习专题突破练习微专题15 数列与其他知识的交汇问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专题突破练习微专题15 数列与其他知识的交汇问题（2份，原卷版+解析版）
3.数列与圆锥曲线融合交汇的综合题是高考中的热点题型.这类试题体现了以能力立意的命题指导思想,呈现出立意新、角度活、思维跨度大、综合性强等特点.
4.数列与导数的交汇主要考查利用导数研究函数的性质,再运用结论解决数列问题.
二．典型例题
1. 数列与三角的交汇
例1 已知f(x)=x+2sin x,等差数列{an}的前n项和为Sn,记Tn=n∑i=1f(ai).
(1)求证:函数y=f(x)的图象关于点(π,π)中心对称;
(2)若a1,a2,a3是某三角形的三个内角,求T3的取值范围;
(3)若S100=100π,求证:T100=100π.反之是否成立?并请说明理由.
(1)证明 f(x)=x+2sin x,
f(2π-x)=(2π-x)+2sin(2π-x)=2π-x-2sin x,
f(x)+f(2π-x)=x+2sin x+2π-x-2sin x=2π,
故函数y=f(x)的图象关于点(π,π)中心对称.
(2)解 因为{an}为等差数列,
所以a1+a2+a3=3a2,
又因a1,a2,a3是某三角形的三个内角,
所以a1+a2+a3=π,
得a2=π3,a1+a3=2π3,
T3=a1+2sin a1+a2+2sin a2+a3+2sin a3
=π+2sin a1+2sinπ3+2sin2π3−a1,
化简得T3=π+3+3sin a1+3cs a1=π+3+23sina1+π6,
因为a1,a2,a3是某三角形的三个内角,
且a2=π3,所以a1∈0,2π3,
即a1+π6∈π6,5π6,sina1+π6∈12,1,
可得T3∈π+23,π+33.
(3)证明 若S100=100π,根据等差数列性质可得50(an+a101-n)=100π(1≤n≤50,n∈N*),
由此可得an+a101-n=2π,a101-n=2π-an,
sin a101-n=sin(2π-an)=-sin an,
即sin an+sin a101-n=0,
T100=100∑i=1f(ai)=100∑i=1(ai+2sin ai)=100∑i=1ai+2100∑i=1sin ai=S100+2×50(sin an+sin a101-n),
解得T100=100π,证毕.
反之,若T100=100π,
即T100=100∑i=1f(ai)=S100+100∑i=1sin ai=100π.
因为{an}为等差数列,所以50(an+a101-n)=S100⇒an+a101-n=S10050(1≤n≤50,n∈N*),
即T100=100∑i=1f(ai)
=S100+50∑i=1sin ai+sinS10050−ai=100π,
当且仅当sinS10050−ai=-sin ai时,S100=100π,
若sinS10050−ai≠-sin ai,
则S100≠100π,
故反之不成立,证毕.
训练1 (2025·汕头二模)已知数列{an},an=n2cs2nπ3−sin2nπ3,其前n项和为Sn.
(1)求a1+a2+a3;
(2)求S3n;
(3)若数列{bn}的前n项和为Tn,且bn=S3nn·2n−1,证明:Tna,
∴b−a=1,b+a−100=99或b−a=3,b+a−100=33
或b−a=9,b+a−100=11或b−a=11,b+a−100=9
或b−a=33,b+a−100=3或b−a=99,b+a−100=1,
解得a=99,b=100或a=65,b=68或a=51,b=60或a=49,b=60或a=35,b=68或a=1,b=100.
故满足条件的数对有(1,100),(35,68),(49,60),(51,60),(65,68),(99,100).
(3)由题意,“漂亮数”一定是完全平方数,
又322=1 024,992=9 801,
故此时数列{an}中的数全部是四位数.
可设{an}中的“漂亮数”为p2=100x+y且p=x+y,
其中32≤p≤99,x为两位数,y为两位数或一位数.
∴(x+y)2=100x+y,
∴(x+y)2-(x+y)=99x,
即(x+y)(x+y-1)=99x,
∴99整除(x+y)(x+y-1).
注意到99=1×99=3×33=9×11,
又32≤x+y≤99,
①若x+y=99,则x+y-1=x,
此时x=98,y=1,
∴9 801是一个“漂亮数”;
②若x+y0,此时(*)式不成立;
②当t≤50时,若i>2t,则2i-(2s+4t)≥2i-2i-1-4t=2i-1-4t≥22t-22t=0,此时(*)式不成立;
若i0,此时(*)式也不成立;
若i=2t,则取s=2j,此时(*)式成立.
由上分析知和集中重复的元素个数共50×492=1 225个.
所以|A+B|=100×100-1 225=8 775.
(3)证明 充分性的证明:
当|D(A)∪D(B)|=1时,不妨设D(A)=D(B)={d},
设集合A={a1,a2,…,am},
B={b1,b2,…,bm},
其中a1