新高考数学二轮复习专题突破练习微专题14 数列中的最值、范围问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专题突破练习微专题14 数列中的最值、范围问题（2份，原卷版+解析版）试卷主要包含了　求数列不等式中参数的取值范围，定义在的增函数f满足等内容，欢迎下载使用。
高考真题
1.(2024·上海卷)等比数列{an}的首项a1>0,公比q>1,记In={x-y|x,y∈[a1,a2]∪[an,an+1]},若对任意正整数n,In是闭区间,则q的取值范围是 .
2.(2021·浙江卷)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-94,且4Sn+1=3Sn-9(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足3bn+(n-4)an=0(n∈N*),记{bn}的前n项和为Tn.若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.
二．典型例题
1. 求数列和式的最值、范围
例1 (2025·长沙调研)已知数列{an}是首项等于116的等比数列,公比q∈N*,Sn是它的前n项和,满足S4=5S2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=lgaan(a>0且a≠1),求数列{bn}的前n项和Tn的最值.
规律方法 求数列和式最值、范围的基本方法
(1)利用不等式组Sn≥Sn+1,Sn≥Sn−1(n≥2)确定和式的最大值;
利用不等式组Sn≤Sn+1,Sn≤Sn−1(n≥2)确定和式的最小值.
(2)利用和式的单调性(要先判断其单调性).
(3)把数列的和式看作函数求其最值、值域.
训练1 (2025·连云港调研)记数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*,有Sn=n(an+n-1).
(1)证明:{an}是等差数列;
(2)若当且仅当n=7时,Sn取得最大值,求a1的取值范围.
2. 求n的最值或范围
例2 已知数列{an}是递增的等比数列.设其公比为q,前n项和为Sn,且满足a1+a5=34,8是a2与a4的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=n·an,Tn是{bn}的前n项和,求使Tn-n·2n+1>-100成立的最大正整数n的值.
规律方法 求n的值或最值,一般涉及数列的项或和的最值与范围,通常化归为解关于n的不等式,或根据数列的单调性求解.
训练2 (2025·丹东段测)记Sn为等差数列{an}的前n项和,4Sn=anan+1+1,an≠0,n∈N*.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=Sn22an,求使bn取得最大值时n的值.
3. 求数列不等式中参数的取值范围
例3 (2025·重庆质检)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn+1-Sn=2,a1=1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn},{cn}满足bn=-2lg2an,cn=bn+2an,{cn}的前n项和为Tn,若不等式Tn-2≥λcn对一切正整数n恒成立,求λ的取值范围.
易错提醒 求数列不等式中参数的取值范围问题要看清楚是恒成立,还是有解问题,若f(n)≥M恒成立,则f(n)min≥M;若f(n)≥M有解,则f(n)max≥M.
训练3 已知数列{an}中,an=1+1k+2(n−1)(k≠0).
(1)若k=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值;
(2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求k的取值范围.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·哈尔滨模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+a70,则Sn的最大值为( )
A.S4B.S5
C.S6D.S7
2.(2025·兰州调研)已知数列{an}为等比数列,a1=512,公比q=14,则数列{an}的前n项积Tn最大时,n=( )
A.4B.5
C.6D.7
3.(2025·丽水模拟)已知等比数列{an}的首项为m,且01,a2 024a2 025>1,a2 024−1a2 025−1