新高考数学二轮复习核心考点题型训练专题一 三角函数、解三角形与平面向量 第四讲 平面向量（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习核心考点题型训练专题一 三角函数、解三角形与平面向量 第四讲 平面向量（2份，原卷版+解析版）
【探究真题.明确方向】
1.(2025·全国Ⅰ卷，T6)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.表格给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为( )
A.轻风B.微风C.和风D.劲风
2.(2024·全国甲卷，T9)设向量a=(x+1，x)，b=(x，2)，则( )
A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件
C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件D.“x=-1+3”是“a∥b”的充分条件
3.(2024·新课标Ⅱ卷，T3)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|等于( )
A.12B.22C.32D.1
4.(2025·全国Ⅱ卷，T12)已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|= .
5.(2025·天津卷，T14)在△ABC中，D为AB边的中点，CE=13CD，AB=a，AC=b，则AE= (用a，b表示)，若|AE|=5，AE⊥CB，则AE·CD= .
6.(2024·天津卷，T14)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=12DE，BE=λBA+μBC，则λ+μ= ；若F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则AF·DG的最小值为 .
【命题预测】本讲是历年高考命题常考的内容，属于中低档题目，主要题型为选择题或填空题.分值为5分.
【考向预测】一是考查平面向量的基本运算，主要考查线性运算(加、减、数乘、共线问题)和坐标运算以及平面向量的数量积，利用已知向量分解目标向量，根据平面向量的模与夹角求平面向量数量积或由模的值求参数等；二是考查平面向量基本定理，利用基底表示向量及向量共线求参数等；三是考查平面向量的综合应用，根据向量的几何意义或数量积的定义与坐标运算，研究最值问题或平面图形的几何性质等.
考点一 平面向量的基本运算
【典例】1 (1)(多选)向量a，b满足|a|=2，|b|=1，(a+2b)·a=6，下列说法正确的是( )
A.a·b=12
B.a与b的夹角θ为60°
C.a在b上的投影向量的模为1
D.|a-b|=3
(2)如图，在四边形ABCD中，|AC|=4，BA·BC=12，E为AC的中点.BE=2ED，则AD·CD的值为( )
A.0B.12C.2D.6
【考法归纳】
1.求非零向量a，b数量积的三种方法
(1)定义法：a·b=|a||b|cs〈a，b〉.
(2)坐标法：①若已知向量的坐标，则直接利用坐标运算求解，即设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2；②若未知向量坐标，则可通过建立平面直角坐标系表示出向量的坐标，进而利用坐标运算求解.
(3)几何法：灵活运用平面向量数量积的几何意义进行求解.
2.含有线段中点的向量问题，利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化.
极化恒等式：a·b=14[(a+b)2-(a-b)2].
【变式训练】1 (1)(2025·杭州模拟)已知向量a=(1，-1)，b=(2，1)，若(ta+b)⊥(-2a+tb)，则实数t等于( )
A.1或12B.-2或12
C.-1或2D.-2或1
(2)(2025·合肥质检)已知向量e1=(1，0)，e2=(1，3)，设a=4e1+e2，b=3e1-e2则a与b的夹角为( )
A.π6B.π4C.π3D.2π3
考点二 平面向量基本定理
【典例】2 (1)(2025·重庆模拟)如图，在平行四边形ABCD中，已知CE=12CD，AF=13AD，直线BE，CF交于点O，若AB=a，AD=b，则AO等于( )
A.38a+14bB.35a+45b
C.13a+23bD.58a+34b
(2)如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，BC上的点，BE=3EA，BF=3FC.若线段EF上存在一点M，使得DM=12DC+xDA(x∈R)，则x等于( )
A.34B.32C.23D.43
【考法归纳】
1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
2.平面向量等和线定理
平面内一个基底{OA，OB}及任一向量OP，且OP=λOA+μOB(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k=OPOF=OB1OB=OA1OA，则λ+μ=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.
(1)当等和线恰为直线AB时，k=1；
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，+∞)；
(4)当等和线过O点时，k=0；
(5)若两条等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
(6)定值k的绝对值与等和线到O点的距离成正比.
【变式训练】2 (1)(2025·大庆模拟)如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，点D是BC的中点，点E在AD上，且DE=2AE.若BE·AD=-293，则AC等于( )
A.6B.8C.213D.65
(2)(多选)(2025·长沙模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2b2+2c2=5a2，AE=13AC，AF=13AB，BE交CF于点M，AM交BC于点D，则( )
A.cs∠BAC≥35
B.BD=23BC
C.AD=a
D.若△ABC的面积为18，BE=3，则CM=8
考点三 平面向量的最值与范围问题
【典例】3 (1)如图，边长为1的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC(包括端点)上一点，则AP·AB的取值范围是( )
A.1，4+24B.1，2+22
C.1，1+22D.24，1
(2)(2025·安庆模拟)已知向量a，b满足|a|=|b|=2，a·b=2，向量a-c与向量 b-c的夹角为π6，则|a-c|的最大值为( )
A.3B.2C.433D.4
【考法归纳】向量数量积的最值(范围)问题的解题策略
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断.
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决.
【变式训练】3 (1)在平行四边形ABCD中，AB|AB|+3AD|AD|=λAC|AC|，λ∈[7，3]，则cs∠BAD的取值范围是( )
A.−12，−16B.−12，13
C.−23，13D.−23，−16
(2)(2025·宜春模拟)若图中正方形ABCD的边长为4，圆O的半径为 42，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动点P在圆O上，且AP=λAB+μAD，则 λ+μ的最大值为( )
A.1B.2C.3D.4
专题强化练
[分值：84分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2025·北京延庆区模拟)已知|a|=3，|b|=2，a·b=3，则〈a，b〉为( )
A.π6B.π4C.π3D.π2
2.(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC·ED等于( )
A.5B.3C.25D.5
3.(2025·滁州质检)已知O为△ABC的重心，D为AB的中点，则OD等于( )
A.12AB-13ACB.16AB-13AC
C.13AB+14ACD.12AB+23AC
4.(2025·郴州模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(2，-1)，B(1，1)，OP=λOA+(2-λ)OB，若OP⊥OB，则λ的值为( )
A.4B.2C.-2D.-3
5.(2025·蚌埠模拟)在四边形ABCD中，2AB=3DC，AB=(1，2)，AD=(2，-1)，则该四边形的面积为( )
A.4B.22C.52D.154
6.(2025·河南豫东名校模拟)已知平面向量a，b，c，满足 |a|=|b|=43，a与b的夹角为π3且 (a-2c)·(b-c)=0，则|c|的最大值为( )
A.25+3B.21+3
C.25+3D.21+3
7.若AB为双曲线x216-y24=1上经过原点的一条动弦，M为圆C：x2+(y-2)2=1上的一个动点，则MA·MB的最大值为( )
A.154B.7C.-7D.-16
8.(2025·安庆模拟)已知Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，SnTn=3n+24n+5，设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且AP=a2+a6b3AB+λAC，则实数λ的值为( )
A.825B.-925C.225D.-2125
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·广州模拟)无人机的飞行速度向量、风速向量会影响其实际飞行轨迹.无人机不受风影响时的飞行速度对应的向量称为空速向量，实际观测到的飞行速度对应的向量称为地速向量，其为空速向量与风速向量之和.无人机搭载的设备可监测线路缺陷，当无人机相对线路的横向偏移量(垂直线路方向的向量分量)超过2 m/s或纵向偏移量(沿线路方向的向量分量，其标准值为4 m/s)超过标准值1 m/s时，需调整飞行姿态.已知某区域风速稳定，某次无人机计划沿x轴正方向为线路巡检时，空速向量为(3，4)(单位：m/s)，风速向量为(1，-1)(单位：m/s)，则( )
A.地速向量的大小为5 m/s
B.地速向量的方向与空速向量的方向相同
C.纵向偏移量与标准值无偏差
D.该无人机需要调整飞行姿态
10.(2025·重庆模拟)已知点P是△ABC所在平面内一点，且AP=2mAB+nAC， m，n∈R，则下列说法正确的是( )
A.若m=n=12，则点P是边BC的中点
B.若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则m=n=13
C.若2m+n=12，则S△PBC=2S△ABC
D.若点P在BC的中线上，且2m+n=23，则点P是△ABC的重心
11.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，M为线段AD上的动点(包括端点)，BM=λBE+μBD，则下列结论正确的是( )
A.当M为线段AD的中点时，λ+μ=32
B.λμ的最大值为13
C.μ的取值范围为[0，1]
D.λ+μ的取值范围为12，2
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2025·辽阳模拟)已知向量a=(-2，1)，b=(1，x)，若a∥b，则a·(a-b)= .
13.已知△AOB，点P在直线AB上，且满足OP=2tPA+tOB(t∈R)，则|PA||PB|= .
14.(2025·天津南开模拟)在梯形ABCD中，AB=AD=2，BC=34AD，AC·BD=-12，记AB=a，AD=b，用a和b表示CD= ；若点E为BD上一动点(包括端点)，则AE·BC的最大值为 .
【巩固必刷题】(15题6分，16题5分，共11分)
15.(多选)奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，且SA·OA+SB·OB+SC·OC=0.设O是锐角 △ABC内的一点，角A，B，C分别是△ABC的三个内角，则( )
A.若OA+2OB+3OC=0，则SA∶SB∶SC=1∶2∶3
B.若|OA|=|OB|=2，∠AOB=5π6，2OA+3OB+4OC=0，则S△ABC=92
C.若O为△ABC的内心，3OA+4OB+5OC=0，则C=π2
D.若O为△ABC的垂心，3OA+4OB+5OC=0，则cs∠AOB=-66
16.(5分)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以C为圆心，且与直线BD相切的圆内(不含边界)运动，设AP=αAD+βAB(α，β∈R)，则α+β的取值范围是 .
级数
名称
风速大小(单位：m/s)
2
轻风
1.6~3.3
3
微风
3.4~5.4
4
和风
5.5~7.9
5
劲风
8.0~10.7