新高考数学二轮专题复习《数列》专练第08讲 数列的证明（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮专题复习《数列》专练第08讲 数列的证明（2份，原卷版+解析版），共3页。
\l "_Tc8988" 思维导图 PAGEREF _Tc8988 \h 2
\l "_Tc3797" 高考分析 PAGEREF _Tc3797 \h 2
\l "_Tc22720" 学习目标 PAGEREF _Tc22720 \h 3
\l "_Tc17199" 知识要点 PAGEREF _Tc17199 \h 3
\l "_Tc7423" 题型归纳 PAGEREF _Tc7423 \h 4
\l "_Tc12069" 题型01：等差等比数列的证明 PAGEREF _Tc12069 \h 4
\l "_Tc6433" （一）利用等差数列定义证明数列是等差数列 PAGEREF _Tc6433 \h 4
\l "_Tc15445" （二）利用an+an+2=2an+1证明数列是等差数列 PAGEREF _Tc15445 \h 4
\l "_Tc10229" （三）证明数列不是等差数列 PAGEREF _Tc10229 \h 5
\l "_Tc15183" （四）利用等比数列的定义证明数列是等比数列 PAGEREF _Tc15183 \h 5
\l "_Tc15554" （五）利用anan+2=an+12证明数列是等比数列 PAGEREF _Tc15554 \h 5
\l "_Tc2896" （六）证明数列不是等比数列 PAGEREF _Tc2896 \h 6
\l "_Tc22174" 题型02：证明数列是新定义的数列 PAGEREF _Tc22174 \h 6
\l "_Tc191" 题型03：证明数列的单调性 PAGEREF _Tc191 \h 8
\l "_Tc2927" 题型04：数列中的等式与不等式的证明 PAGEREF _Tc2927 \h 8
\l "_Tc2197" 题型05: 证明与通项有关的不等式 PAGEREF _Tc2197 \h 12
\l "_Tc20530" 题型06: 直接求和证明不等式 PAGEREF _Tc20530 \h 13
\l "_Tc14367" 题型07: 先求和再放缩,证明与前n项和有关的不等式 PAGEREF _Tc14367 \h 17
\l "_Tc13244" 题型08:先放缩,再求和,证明与前n项和有关的不等式 PAGEREF _Tc13244 \h 18
\l "_Tc29555" 题型09: 与导数有关的数列不等式. PAGEREF _Tc29555 \h 25
\l "_Tc27771" 题型10:数学归纳法证明数列不等式 PAGEREF _Tc27771 \h 28
\l "_Tc29709" 题型11: 数列不等式与三角函数综合 PAGEREF _Tc29709 \h 30
\l "_Tc29643" 题型12: 数列不等式与概率统计 PAGEREF _Tc29643 \h 33
\l "_Tc9696" 题型13：新定义数列 PAGEREF _Tc9696 \h 34
【考情定位】
数列是高中代数的核心内容之一，在高考中通常占据 10~17分 的分值。数列证明题主要出现在解答题的第1问（基础送分）或压轴题的第2、3问（拉分难点）。
【命题趋势】
1. 难度分层明显：
◦ 基础层：证明等差/等比数列、求通项公式（全国卷及新高考卷常考）。
◦ 进阶层：证明数列不等式（如 S_n < k）、证明数列的单调性或有界性。
◦ 创新层：结合数学归纳法、反证法、函数构造思想，考察逻辑推理与代数变形能力。
2. 交汇性增强：数列证明常与函数（导数）、不等式、解析几何（点列问题）交汇命题，考察“转化与化归”思想。
1. 核心概念：能熟练运用定义法证明 {an} 为等差或等比数列。
2. 运算能力：掌握累加法、累乘法、构造法（如 an+1=pan+q）求通项，为证明奠基。
3. 放缩技巧：掌握常见的放缩模型（如裂项相消放缩、二项式定理放缩），证明数列不等式。
4. 逻辑推理：熟练掌握数学归纳法的书写规范，以及反证法在存在性问题中的应用。
知识点：数列的证明方法
利用等差数列定义证明数列是等差数列
利用定义法证明an是等差数列,就是证明对任意n∈N*,an+1－an是同一常数．
利用an+an+2=2an+1证明数列是等差数列
若对任意n∈N*,数列an满足an+an+2=2an+1,则an是等差数列.
(三)证明数列不是等差数列
证明数列不是等差数列,一般只需要证明该数列的连续3项不成等差数列,通常利用反证法证明.
(四)利用等比数列的定义证明数列是等比数列
利用定义法证明an是等比数列,就是证明对任意n∈N*,an+1an是同一常数．
(五)利用anan+2=an+12证明数列是等比数列
若对任意正整数n,都有anan+2=an+12,且an≠0,则数列an是等比数列.
(六)证明数列不是等比数列
证明数列不是等比数列,一般只需要证明该数列的连续3项不成等比数列,通常利用反证法证明.
(七)证明数列是新定义的数列
此类问题通常把满足某些条件的数列称为一类新数列,求解关键是证明所给数列满足新数列给定条件
(八)证明数列的单调性
证明数列an是递增（减）数列,通常是证明（an+1−an0,也可根据an+1an>1（an+1an0）,对任意的正整数n,Sn=a1+a2+⋅⋅⋅+an,并有Sn满足Sn=nan−a12．
(1)求a的值；
(2)证明数列an是等差数列．
（三）证明数列不是等差数列
【变式训练3】给定数列an,若首项a1>0且a1≠1,对任意的n,m∈N∗,都有an+m=an⋅am,则称数列an为“指数型数列”.
(1)已知数列an为“指数型数列”,若,求a2,a3；
(2)已知数列an满足a1=12,an=2anan+1+3an+1n∈N∗,判断数列1an+1是不是“指数型数列”？若是,请给出证明；若不是,请说明理由；
(3)若数列an是“指数型数列”,且a1=a+2a+3a∈N∗,证明：数列an中任意三项都不能构成等差数列.
（四）利用等比数列的定义证明数列是等比数列
【典型例题】在直角坐标平面内有线段A1A2,已知点A3是线段A1A2上靠近的三等分点,点A4是线段A2A3上靠近A3的三等分点,……,点An+1是线段An−1An（n≥2,n∈N∗）上靠近An的三等分点,设点An的横坐标为an.
(1)求证：数列an+1−an为等比数列；
(2)若a1=1,a2=5,求an的通项公式.
【解析】（1）解：由题意得an+2−anan+1−an+2=2 所以3an+2=2an+1+an,可得3an+2−3an+1=an−an+1,
又由a2−a1≠0,所以an+2−an+1an+1−an=−13
所以数列an+1−an是首项为a2−a1,公比为−13的等比数列.
（2）解：因为a1=1,a2=5,所以a2−a1=4,
因为数列an+1−an是公比为−13的等比数列,所以n≥2时,an−an−1=4−13n−2.
由累加法可得n≥2时,an−a1=41+−13+⋅⋅⋅+−13n−2
=41−−13n−11+13=3−3·−13n−1,即当n≥2时,an=4+−13n−2,
经检验,a1=1满足上式,所以数列an的通项公式an=4+−13n−2.
【变式训练4】记Sn为数列an的前n项和,已知na1+n−1a2+⋯+an=2Sn−1.
(1)证明：数列Sn是等比数列；
(2)求最小的正整数m,使得对一切n∈N∗都成立.
（五）利用anan+2=an+12证明数列是等比数列
【变式训练5】在无穷数列an中,若对任意的n∈N∗,都存在m∈N∗,使得,则称an为m阶等差数列.在正项无穷数列bn中,若对任意的n∈N∗,都存在m∈N∗,使得,则称bn为m阶等比数列．
(1)若数列bn为1阶等比数列,b1+b2+b3=72,b3+b4+b5=78,求bn的通项公式及前n项的和；
(2)若数列lncn为m阶等差数列,求证：cn为m阶等比数列；
(3)若数列lncn既是m阶等差数列,又是m+1阶等差数列,证明：cn是等比数列．
（六）证明数列不是等比数列
【变式训练6】混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中,比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等,其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一,假设在一个混沌系统中,用xn来表示系统在第n(n∈N∗)个时刻的状态值,且该系统下一时刻的状态xn+1满足xn+1=fxn,0