2027年中考数学一轮复习练习（二）含答案 29. 第五章 第二十三节 矩形与菱形

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1．(2025湖南省卷)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB=3，则四边形ABCD的周长为( )
A. 6B. 9C. 12D. 18
2．(2024甘肃省卷)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD=60∘，AB=2，则AC的长为( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
3．(人教八下习题改编)如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1=20∘，则∠2的度数为( )
A. 20∘B. 60∘C. 70∘D. 80∘
4．(2025德阳)如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是( )
A. AB//CDB. AB=BCC. ∠B=∠DD. AC=BD
5．(2025泸州)矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A. 对角线相等B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直D. 对角相等
6．如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B'处，CB'⊥AD于点F.若CD=10cm，FB'=2cm，则折痕CE的长为( )
A. 4072cmB. 8cmC. 62cmD. 7cm
7．(2025上海)如图，在矩形ABCD中，E在边CD上，E关于直线AD的对称点为F，连接BE，AF，如果四边形AFEB是菱形，那么AB:AD的值为 。
8．(2025辽宁)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=12，点E在线段OA上，AE=2，点F在线段OC上，OF=1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为 。
9．(2025凉山州)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，若AC=12，BD=16，则FG的长为 。
10．(2025实验外国语模拟)如图，在矩形ABCD中，E为AB上一点，连接CE，DE，过点D作DF⊥CE，垂足为F．若CE=CD，DF=3，BE=4，则DE= ．
11．(2025云南)如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，O是AC的中点。延长BO至点D，使OD=OB.连接AD，CD.记AB=a，BC=b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3.
(1) 求证：四边形ABCD是矩形；
(2) 若l2-l1=2，l3=28，求AC的长。
12．(2025贵州)如图，在▱ABCD中，E为对角线AC的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E．延长BC至F，使CF=CE，连接EF，FD，且EF交CD于点G．
(1) 求证：▱ABCD是菱形；
(2) 若BE=EF，EC=4，求△DCF的面积．
能力提升
13．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，对角线AC与BD交于点O，E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F，G，则EF+EG= ．
参考答案
1. C 【解析】∵四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直平分，∴四边形ABCD为菱形.∵AB=3，∴四边形ABCD的周长为3×4=12.
2. C 【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=90°.∵∠ABD=60°，∴∠ADB=30°，∴BD=2AB=4，∴AC=BD=4.
3. C 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴∠DCA=∠1=20°，∴∠2=90°－∠DCA=70°.
4. D 【解析】A.由AB∥CD，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意；B.由AB=BC，能判定平行四边形ABCD是菱形，不一定是矩形，故不符合题意；C.由∠B=∠D，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意；D.由AC=BD，能判定平行四边形ABCD是矩形，故符合题意.
5. A 【解析】对于选项A，∵矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，∴该选项矩形具有而菱形不具有，故选项A符合题意；对于选项B，∵矩形和菱形的对角线都互相平分，∴该选项矩形和菱形都具有，故选项B不符合题意；对于选项C，菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不一定互相垂直，∴该选项菱形具有而矩形不具有，故选项C不符合题意；对于选项D，∵矩形和菱形的对角都相等，∴该选项矩形和菱形都具有，故选项D不符合题意.
6. A 【解析】如解图，过点E作EH⊥BC于点H，则∠BHE=∠CHE=90°，∵四边形ABCD为菱形，∴BC∥AD，CD=BC=10 cm，∠B=∠D，由折叠的性质可得，BC=B′C=10 cm，∠BCE=∠B′CE，∵FB′=2 cm，∴CF=B′C－FB′=8 cm，∵CB′⊥AD，∴∠CFD=90°，∴∠BCB′=∠CFD=90°，DF= CD2－CF2= 102－82=6(cm)，∴∠BCE=∠B′CE=45°，∴∠HEC=90°－∠BCE=45°，∴∠HEC=∠BCE，∴CH=EH，∵EHBE=sin B=sin D=CFCD=810=45，BHBE=cs B=cs D=DFCD=610=35，∴CH=EH=45BE，BH=35BE，∴BC=BH＋CH=35BE＋45BE=10 cm，∴BE=507(cm)，∴EH=45×507=407(cm)，∴CE= 2EH=40 27(cm).
第6题解图
7. 233 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD.∵四边形AFEB是菱形，∴AB=CD=AF=EF.设AB=2m，∴AB=AF=EF=2m.∵E关于直线AD的对称点为F，∴DF=DE=12EF=12AF，∴∠DAF=30°，∴AB∶AD=AF∶AD=1cs30°=132=233.
8. 13 【解析】∵四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=12，∴∠AOB=∠BOC=90°，AO=CO=4，BO=6.又∵AE=2，∴OE=OA－AE=2，∴EF=EO＋OF=3，又∵EC=EO＋CO=6，∴F为EC的中点.在△EBC中，G为BE的中点，F为EC的中点，∴FG为△EBC的中位线，∴FG=12BC.在Rt△BOC中，BC=BO2＋CO2=62＋42=213，∴FG=12BC=13.
9. 5 【解析】如解图，连接OE.∵四边形ABCD是菱形，且AC=12，BD=16，∴AC⊥BD，OC=12AC=6，OD=12BD=8，∴∠COD=90°，在Rt△COD中，由勾股定理得：CD=OC2＋OD2=62＋82=10.∵E是边CD的中点，∴OE是Rt△OCD斜边上的中线，∴OE=12CD=5.∵EF⊥BD，EG⊥AC，∴∠OGE=∠OFE=∠COD=90°，∴四边形OGEF是矩形，∴FG=OE=5.
第9题解图
10. 10 【解析】在矩形ABCD中，DF⊥CE于点F，∴AB∥CD，∠A=∠B=∠DCB=90°，∠DFC=90°，AD=BC，AB=CD，
∴∠DFC=∠B，∠DCF=∠CEB，
在△CFD和△EBC中，
∠DCF=∠CEB，∠DFC=∠B，CD=CE，∴△CFD≌△EBC(AAS)，∴CF=BE=4，DF=BC=3=AD，∴CD=DF2＋CF2=32＋42=5=AB，∴AE=AB－BE=5－4=1，∴DE=AE2＋AD2=12＋32=10.
11. (1)证明：∵O是AC的中点，
∴OA=OC，
∵OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
(2)解：∵记AB=a，BC=b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3，
∴l2－l1=BC－AB=b－a=2，l3=2(AB＋BC)=2(a＋b)=28，
∴b－a=2，b＋a=14，
∴a=6，b=8，
∴AB=6，BC=8，
∴AC=AB2＋BC2=10.
12. (1)证明：∵E为对角线AC的中点，BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AB=BC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴▱ABCD是菱形；
(2)解：∵BE=EF，
∴∠EBF=∠EFB.
∵CF=CE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴∠BCE=∠CEF＋∠CFE=2∠CFE=2∠EBF.
∵∠BEC=90°，
∴∠CBE=30°，∠BCA=60°，
∴∠ACD=∠ACB=60°，
∴∠DCF=180°－60°－60°=60°，
∴∠BCE=∠DCF.
∵BC=CD，CE=CF，
∴△BCE≌△DCF(SAS)，
∴∠DFC=∠BEC=90°.
∵CF=CE=4，
∴DF=3CF=43，
∴△DCF的面积=12DF∙CF=12×4×43=83.
13. 6013 【解析】如解图，连接OE.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，BC=AD=12，AO=CO=BO=DO.∵AB=5，BC=12，∴AC=AB2＋BC2=13，∴OB=OC=132，∴S△BOC=S△BOE＋S△COE=12OB∙EG＋12OC∙
EF=12S△ABC=12×12×5×12=15，∴12×132EG＋12×132EF=12×132(EG＋EF)=15，∴EG＋EF=6013.
第13题解图