新高考数学一轮复习易错题+专题提升练第6章专题03 等差数列性质培优归类（13题型）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习易错题+专题提升练第6章专题03 等差数列性质培优归类（13题型）（2份，原卷版+解析版），共25页。

题型1 等差数列的判定
1．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知各项都是正数的数列的前n项和为，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．是等比数列
C．D．
2．（2024·北京西城·三模）中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面角依次为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高三上·山东聊城·期中）若函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数的定义域与值域均为，且满足，且，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
题型2 等差中项
1．（2025·陕西安康·模拟预测）已知中，角A，B，C与，，分别成等差数列，若外接圆的面积为，则的周长为（ ）
A．B．6C．D．
2．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知数列的通项公式是为常数，则“存在，使得成等差数列”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高二下·安徽·阶段练习）设公比不为的等比数列的前项和为，且恰为和的等差中项，则（ ）
A．4B．5C．16D．17
4．（24-25高三上·陕西·阶段练习）已知正项数列满足，且，则（ ）
A．为等差数列B．为等差数列
C．为等比数列D．为等比数列

题型3 等差数列“高斯技巧”
1.（2021·江苏·高二专题练习）已知等差数列满足，则的最大值为（ ）
A．B．20C．25D．100
2.（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，若，则 .
3.（2023春·广东深圳·高二校联考期中）若前项和为的等差数列满足，则 .
4.（2023·上海·高三专题练习）已知等差数列满足（，），则 ．
题型4 等差数列“函数型高斯技巧”
1.（2024春·江苏·高三阶段练习）已知函数．项数为的等差数列满足,且公差，若，则当 时，．
2.（2023·山西·模拟）等差数列的前项和为，且，，则 .
3.（2023秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）已知函数，设数列的通项公式为，则 .
4.（2022·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知数列为等差数列，，若函数记，则数列的前9项和为 .
题型5 双等差比值转换型
1．（24-25高二上·河南·期中）设等差数列和的前n项和分别为和，若，则（ ）
A．B．C．D．2
2．（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知两个等差数列的前项和分别是，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 与 , 且, 则（ ）
A．B．C．D．

题型6 奇数项与偶数项和
1．（23-24高三·四川·阶段练习）已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）．
A．30B．29C．28D．27
2．（24-25高三·全国·阶段练习）含项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三·安徽宣城·阶段练习）已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2016·海南·一模）已知等差数列的前项和为，，定义为数列的前项奇数项之和，则
A．B．
C．D．

题型7 函数性质：单调性
1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知等差数列的前项和为且，则使的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
2．（24-25高三上·北京海淀·期中）设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二下·湖北·期中）已知数列的前项和（为常数），则“为递增的等差数列”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
题型8 函数性质：最值型
1．（23-24高三四川模拟）已知等差数列的前项和为，且满足，令，则数列的前项和取最大值时的值为（ ）
A．12B．13C．14D．15
2．（19-20高一下·四川宜宾·阶段练习）在各项均为正数的等差数列中，为其前项和，，则的最小值为（ ）
A．9B．C．D．2
3．（24-25高三上·安徽 阶段练习）已知是等差数列的前n项和，且，给出下列五个命题：
①公差
②
③
④数列中的最大项为
⑤
其中正确命题的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（24-25高三上·福建福州·期末）设等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为
A．1009B．1010C．1011D．1012

题型9 函数性质：正负不等式型
1．（2023·河南·模拟预测）设数列为正项等差数列，且其前项和为，若，则下列判断错误的是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二上·浙江绍兴·阶段练习）在等差数列中，为其前项和.若，，则下列判断错误的是（ ）
A．数列为递增数列B．
C．数列的前项和最小D．
3．（2020·浙江杭州·模拟预测）设等差数列的前项和为，并满足：对任意，都有，则下列命题不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（22-23高二·全国·课后作业）等差数列的前项和为，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论是（ ）
A．②③B．①③C．①④D．②④
题型10 函数性质：数列恒成立型求参
1．（22-23高三·江苏阶段练习）设Sn为数列{an}的前n项之和，若不等式对任何等差数列{an}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为 ．
2．（2022高三·全国·专题练习）等差数列的前项和为，，，若对任意恒成立，则的取值范围为 ．
3．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知各项均不为0的数列的前项和为，且，．
（1）的通项公式为 ．
（2）若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为 ．
4．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知等差数列的前项和为，且.在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 .
题型11 函数性质：三角函数与等差
1．（24-25高三 ·广西·开学考试）设等差数列的前项和为，已知，，设，则数列的前n项和为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·山西吕梁·模拟）设等差数列的公差为，前项和为，记，则数列的前项和是
A．B．C．D．
3．（2022·河南·一模）已知数列的通项公式为，若对于任意正整数，都有，则实数的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
4．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）已知数列满足：，，且，，其中．若，数列的前n项和为，则使得成立的（ ）
A．60B．61C．120D．121
题型12 等差数列应用
1．（2025·江西·模拟预测）著名的“冰雹猜想”定义了一个具有两种运算的函数，其定义域和值域均为正整数集：例如：设初始值为5，则接下来的复合运算为从集合中随机抽取一元素，使得的前五次复合运算分别为的概率为 ．
2．（24-25高三下·上海·阶段练习）为进一步缓解中小学放学时道路拥堵问题，小明提出一个改造方案：假设校门口有条长155米，宽10米的公路（如图矩形ABCD），公路的一侧划有31个长5米宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段造成道路拥堵，在不改变停车位的大小和汽车通道宽度的条件下，通过压缩道路边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），此时，停车位相对道路倾斜的角度，其中，该路段改造后的停车位比改造前增加 个.

3．（2022高三·全国·专题练习）随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为 ．
4．（24-25高三下·北京·阶段练习）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2积分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡需从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，若连续打卡5天，则共获得积分为 ；若该会员从3月1日开始到3月20日，他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天可以是3月 日．
题型13 等差数列第19题题型
1．（25-26高三上·云南曲靖·阶段练习）设等差数列的每一项均为正整数，公差大于零，记为数列的前项和．
(1)已知．
①求数列的通项公式；
②若是数列的项，由所有的组成的数列为，且，记数列的前项和为，求．
(2)设，且，写出一个数列的公差．
(3)若等差数列中有一项为完全平方数，证明：中存在无穷项完全平方数．
2．（25-26高三上·山东日照·开学考试）已知实数，且a，b，c依次构成等差数列，对于曲线，，若依次构成等差数列，则曲线，为曲线.
(1)当时，，为曲线，求实数的值；
(2)已知曲线，都为曲线，证明：为曲线；
(3)若，为曲线，求的取值范围.
3．（2025·浙江·二模）若数列中某相邻三项成等差数列，则称该三项为“等差组”；若数列中某相邻三项成等比数列，则称该三项为“等比组”.现有一个12项的正项数列，其共有10组相邻三项，记第组相邻三项为.
(1)若数列满足，
①为“等差组”，为“等比组”，求；
②为“等比组”，为“等差组”，求.
(2)若数列满足，且为“等差组”或“等比组”，求满足条件的数列的个数；
(3)若数列满足，且中恰有5组“等差组”和5组“等比组”，求的最大可能值.
4．（24-25高三·辽宁·模拟）设和是两个等差数列，记，其中表示这s个数中最大的数．
(1)若，
（ⅰ）求，，的值；
（ⅱ）证明：是等差数列
(2)证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当时，；或者存在正整数m，使得是等差数列．


等差数列的判定与证明的方法.
1.等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．
2.判定方法
定义法：为同一常数 ⇔是等差数列
等差中项法：成立⇔是等差数列
通项公式法：为常数）对任意的正整数都成立⇔是等差数列
前n项和法：验证为常数）对任意的正整数都成立⇔是等差数列
等差中项的概念
若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
等差数列“高斯技巧”
若{an}为等差数列，且m+n=p+q,则
，…仍是等差数列，公差为．
4.，…也成等差数列，公差为．
函数型高斯技巧：
核心思维是等差数列“高斯技巧”特征：
等距性
等差中项性质
函数性质，即是“中点坐标公式”，也是“对称中心”型函数与直线（也是对称中心型曲线）相交，形成等距性特征。
双等差比值型
若与为等差数列，且前项和分别为与，则.
设数列是等差数列，且公差为，
若项数为偶数，设共有项，则①； ② ；
若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②.
等差数列的增减性：
时为递增数列，且当时前n项和有最小值．
时为递减数列，且当时前n项和有最大值．
在处理等差数列的前项和的最值时，往往转化为判定的符号变化：
①若，当时，则当且仅当最大；
②若，当时，则当且仅当最小；
③若最大，则.
在等差数列中
（1）若，则满足的项数使得取得最大值；
（2）若，则满足的项数使得取得最小值．
即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；
若，则有最小值（所有负项或非正项之和）．
数列恒成立求参：
数列恒成立题型，第一思维是“参变分离”，分离参数，转化为求最值。
研究数列型母函数单调性，借助函数单调性来求最大值最小值求参。
特别注意点：
数列是“离散型”函数，所以最值点，要比较确认对应的正整数值。如果牵扯到奇偶“正负”变号型数列，要注意，奇数，对应n=1,3,5,6.。。，偶数时，对应n=2,4,6,。。。，