新高考数学二轮复习重难点培优专练第5章04 向量中的不等式体系与新定义问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习重难点培优专练第5章04 向量中的不等式体系与新定义问题（2份，原卷版+解析版），共25页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 3
\l "_Tc16555" 题型一 向量中的函数不等式（★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 3
\l "_Tc7141" 题型二 向量中的基本不等式（★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 4
\l "_Tc26803" 题型三 向量中的三角不等式（★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 5
\l "_Tc13512" 题型四 与数量积有关的最值（范围）问题（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 6
\l "_Tc3897" 题型五 与模长有关的最值（范围）问题（★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 7
\l "_Tc326" 题型六 与夹角有关的最值（范围）问题（★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 8
\l "_Tc11957" 题型七 与系数有关的最值（范围）问题（★★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 9
\l "_Tc17557" 题型八 向量中的新定义问题（★★★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 11
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 12
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 12
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 15
一、向量的三角不等式
我们知道，首尾相连的向量的和满足三角形法则，如图，，记，，则，在中，显然有，因此有．
当与同向时，，即；
当与反向时，，即．
综上得，当且仅当与同向时，，当且仅当与反向时，．
同理可得，，当且仅当与反向时，，当且仅当与同向时，．
综合起来，我们还可以简单表示为，这就是首尾相连的向量的“和（差）不等式”，又称向量三角形不等式．
二、平面向量中的最值（范围）问题
以下是几种解决平面向量最值问题的方法：
1、函数，当时，在单调递增；当时，在单调递减.
2、二次函数，当时，在上单调递减，在上单调递增；当在上单调递增，在上单调递减.
3、反比例函数，在，上单调递减；反比例函数，在，上单调递增.
4、对勾函数的单调递增区间为，单调递减区间为，.
5、判别式法：对于任意实数，不等式恒成立，即对于任意实数，不等式恒成立，将二次不等式恒成立问题转化为△.
6、基本不等式
（1）基本不等式：≤，基本不等式成立的条件：a>0，b>0.当且仅当a＝b时取等号.
利用基本不等式求最值
①已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
②已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
（2）基本不等式链：若a＞0，b＞0，则≤≤≤.
其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式.
7、三角函数的性质
（1）正弦函数的值域为.
（2）余弦函数的值域为.
8、利用平面几何知识
（1）如图：，当且仅当三点共线时等号成立.
（2）平面几何图形中的特殊点，动点与定点重合，动点是某线段的中点或与线段端点重合.对三角形而言，特殊点还可以是重心、内心或垂心.


题型一 向量中的函数不等式
1．在正方形中，，点是边的中点，点在边上，且，若，，则的取值范围是 .
2．在平面直角坐标系中，已知，，，则的取值范围是
3．已知向量，不共线，且，，若，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，正方形的边长为，，分别为边，上的点，且，则的取值范围为 .
5．设点是的外心，，，，则的取值范围为 ．

题型二 向量中的基本不等式
1．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（ ）
A．2B．1C．D．
2．已知点E，F分别在正方形的边上运动，且，设，，若，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．D．
3．在中，已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知是两个非零向量，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
5．在四边形中，，，，为中点．若，则的最大值为 ．
6．如图，在平面四边形中，，，，．则四边形的面积的最大值为 ．

7．已知的重心为，，，其中，，且三点共线，则 ；与的面积之比的最小值为 ．

题型三 向量中的三角不等式
【技巧通法·提分快招】
1．已知是两个非零向量，则与的大小关系是 （ ）
A．B．
C．D．
2．若函数，则最小值为 ．
3．已知向量，，的模长分别为2，1，1，记向量与的夹角为θ，，则的最大值为 ．
4．已知平面向量，，满足：，，，则 ，且的取值范围为 .
5．已知平面向量满足，若，则的取值范围为 .

题型四 与数量积有关的最值（范围）问题
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，已知是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·安徽滁州·二模）已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三下·江西吉安·月考）已知平面向量均为单位向量，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
4．（2025·北京海淀·三模）已知中，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知是圆上不同的两点，且．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知正三角形的边长为，点，都在边上，且，，为线段上一点，为线段的中点，则的最小值为（ ）
A．B．0C．D．
8．已知平面向量、、满足：与的夹角为锐角.，，，且的最小值为，向量的最大值是（ ）.
A．B．C．D．

题型五 与模长有关的最值（范围）问题
【技巧通法·提分快招】
1．已知，，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
2．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知平面向量，，满足，，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．3
3．（2024·安徽·一模）已知平面向量、满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三下·海南·月考）设是非零向量，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知是两个非零向量，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
6．已知向量满足，，则的最小值与最大值的和是（ ）
A．B．C．D．4
7．已知向量，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
8．已知向量满足，，若对任意实数都有，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
9．已知平面内两个单位向量的夹角为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．

题型六 与夹角有关的最值（范围）问题
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·河南·三模）在中，向量，，若为锐角，则实数x的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知非零向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三下·江苏南通·月考）已知与均为单位向量，其夹角为，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，不共线，且，，若，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·江西·模拟预测）若平面向量、、满足，则有（ ）
A．最大值B．最小值
C．最大值D．最小值

题型七 与系数有关的最值（范围）问题
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·甘肃白银·模拟预测）在△ABC中，点D在BC上，，，，，且存在实数λ，使得，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．8
2．在正六边形中，是正六边形内部以及边界上任意一点，且，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．已知向量满足，，，若为线段的中点，并且，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．1
4．（24-25高三上·吉林长春·月考）已知点为扇形的弧上任意一点，且，若 （），则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．在△ABC中，D为AC上一点且满足，若P为BD上一点，且满足，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为 .
6．已知点在以为圆心的圆弧上运动，，．若，其中，则的最大值是 ．
7．四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围 ．
8．在中，，，若为钝角或直角，点满足且，则的最小值为

题型八 向量中的新定义问题
1．（2025·河南新乡·二模）已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．我们定义：“”为向量与向量的“外积”，若向量与向量的夹角为，它的长度规定，现已知：在中，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（多选题）设Ox，Oy是平面内相交的两条数轴，其中（且），，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若平面向量满足，则有序数对称为向量在“仿射”坐标系xOy下的“仿射”坐标，记作，下列命题中是真命题的是（ ）
A．已知，则
B．已知，，则
C．已知，，则
D．已知，，若，则
4．（2025·四川成都·三模）（多选题）对于空间中一组向量，若存在不全为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（ ）
A．若，，，则，，线性相关
B．若，，，则，，线性无关
C．若，，线性无关，则，，线性相关
D．对于非零向量，，，若存在实数，使得，则，，线性相关
5．（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 .
6．（2025·四川·一模）如图，设、是平而内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点，若向量，则记，．已知平面内两点、，其中，则点的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 ．

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（24-25高三上·河北·期中）已知向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．且
C．D．且
2．（24-25高三上·江苏·月考）中，是的中点，在上，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2025·广东·模拟预测）若平面向量，，满足，则的最大值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（2025·北京海淀·三模）已知为等腰直角三角形，为直角，直角边长为2，点P在三角形所在平面上，向量为单位向量，点D满足，则的最大值为（ ）
A．4B．C．5D．6
5．（2025·广东东莞·模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，则的最大值是（ ）．
A．B．0C．D．
6．（24-25高三上·浙江嘉兴·月考）已知圆O是圆心为原点的单位圆，A，B是圆O上任意两个不同的点，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知非零平面向量，满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
8．（2025·辽宁沈阳·一模）已知中，，点P，Q是线段AB上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．若平面向量，，满足，，，且，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
10．（2025·北京西城·一模）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设为图中7个正六边形（边长为4）的某一个顶点，为两个固定顶点，则的最大值为（ ）
A．44B．48
C．72D．76
11．在直角梯形中，,,,,分别为 的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
12．（24-25高三上·吉林·期末）已知，为单位向量，且，向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
13．（多选题）若非零向量的夹角为锐角，且，则称被“同余”．已知被“同余”，则在方向上的投影数量结果不正确的是（ ）．
A．B．C．D．
14．（多选题）如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（ ）
A．当点在线段上移动时，
B．满足的点有且只有一个
C．满足的点有两个
D．最大值为3
15．（2024·河南·模拟预测）（多选题）设向量，，当且仅当，且时，则称；当且仅当，且时，则称，则下列结论正确的有（ ）
A．若且，则
B．若，，则
C．若，则对于任意向量，都有
D．若，则对于任意向量，都有
16．如图，在中，，点P在线段上，若的面积为，，则的最小值为 .
17．（24-25高三下·天津·开学考试）已知为的重心，直线过，交线段于，交线段于，其中，则的最小值为 ．
18．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知是所在平面内一点，且，则的最大值为 .
19．在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的最大值为 .
20．（2024·四川德阳·模拟预测）已知向量，为单位向量，则向量与夹角的最大值为

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（24-25高三上·江西·月考）在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·北京通州·一模）已知平面向量，，若满足，设与夹角为，则（ ）
A．有最大值为B．有最大值为
C．有最小值为D．有最小值为
3．边长为2的正三角形的内切圆上有一点P，已知，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知为圆上的三个点，且为正三角形，则的最小值为（ ）
A．B．C．11D．
5．（多选题）对于非零向量，定义变换以得到一个新的向量.现对于非零向量与，作如上变换，则下列说法正确的是（ ）
A．存在单位向量，使得
B．对任意、，恒成立
C．若，则的最大值为
D．，则
6．（2025·北京海淀·一模）已知向量，，则的最大值为 ；与的夹角的取值范围是 ．
，应用向量的三角形不等式时，要把问题的结构特征与向量三角形不等式的结构特征联系起来，抓住两者的相似性，构造出合适的结构，同时应特别关注等号成立的条件．
数量积的最值范围处理方法：
（1）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算．
（2）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理．
（3）利用极化恒等式来处理．
处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有：
（1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得．
（2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得．
（3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直．
求两个非零向量夹角的步骤
第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积；
第二步：分别求出这两个向量的模；
第三步：根据公式求解出这两个向量夹角的余弦值；
第四步：根据两个向量夹角的范围是及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角．
此类问题一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然后利用函数的性质或基本不等式求解．
（1）平面向量共线定理：已知，若三点共线，反之亦然；
（2）等和线：平面内一组基底，及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立。我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。
= 1 \* GB3 ①当等和线恰为直线时，；
= 2 \* GB3 ②当等和线在点和直线直线时，；
= 3 \* GB3 ③当直线在点和等和线之间时，；
= 4 \* GB3 ④当等和线过点时，；
= 5 \* GB3 ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数．