2025-2026学年上海市普陀区桃浦中学高二（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年上海市普陀区桃浦中学高二（下）期末数学试卷试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列数列中，既是等差数列也是等比数列的是（ ）
A. 1，-1，1，-1B. 1，2，3，4C. 2，3，5，7D. 5，5，5，5
2.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（ ）
A. y=3x2或y=-3x2B. y=3x2C. y2=-9x或y=3x2D. y=-3x2或y2=9x
3.在一个平面上，设F1、F2是两个定点，P是一个动点，且满足P到F1的距离与P到F2的距离差为|F1F2|，即|PF1|-|PF2|=|F1F2|，则动点P的轨迹是（ ）
A. 一条线段B. 一条射线C. 一个椭圆D. 双曲线的一支
4.已知数列{an}的前n项和为Sn，设（n为正整数）.若存在常数c,使得任意两两不相等的正整数i,j,k,都有（i-j）tk+（j-k）ti+（k-i）tj=c,则称数列{an}为“轮换均值数列”.现有下列两个命题：
①任意等差数列{an}都是“轮换均值数列”.
②存在公比不为1的等比数列{bn}是“轮换均值数列”.
则下列说法正确的是（ ）
A. ①是真命题，②是假命题B. ①是假命题，②是真命题
C. ①、②都是真命题D. ①、②都是假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.直线的倾斜角为______．
6.焦点为（1，0）的抛物线的标准方程为 .
7.若直线l1：x+2y-1=0与l2：ax-4y+5=0平行，则a= .
8.已知数列{an}为等比数列，且a1=3，公比q=2，则该数列的前5项的和等于 .
9.从A校高一年级学生中抽取66名学生测量他们的身高，其中最大值为184cm,最小值152cm,绘制身高频率分布直方图，若组距为3，且第一组下限为151.5，则组数为 .
10.过点（1，-1）且与直线2x+y+2=0垂直的直线方程为 .
11.现从编号为01，02，…，50的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第5支水笔的编号为 .
39832776 39918535 32591131 40469235 04982212 20671263
12.过点P（1，1）的直线被圆x2+y2=4截得的最短弦长为 .
13.抛物线具有如下的光学性质：所有平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后都过这条抛物线的焦点.设抛物线的方程为y2=8x,一束光线从平行于其对称轴方向射向抛物线，光线所在直线交抛物线y2=8x于一点，这点的纵坐标为8.则这束光线经过抛物线反射后所在直线的一个法向量为 .
14.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P在第一象限，且PF2与双曲线的一条渐近线平行，则△PF1F2的面积为 .
15.双曲线C1：=1的左、右焦点分别为F1和F2，若以点F2为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）与C1在第一象限交于点P，且∠PF1F2=，则C1的离心率为 .
16.关于曲线，则以下结论正确的为 （填序号）.
①曲线C关于原点对称；
②曲线C中x∈[-2，2]，y∈[-2，2]；
③曲线C与曲线D：|x|+|y|=4有4个交点，这4点构成正方形；
④曲线C是不封闭图形，且它与圆x2+y2=8无公共点.
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
某学习小组拟对本校高二年级学生上学路上花费时间（单位：分钟）进行统计调查，随机抽取了男生、女生各10人，按他们上学路上花费时间绘制了如图茎叶图，并将上学路上花费时间划分了时间等级（时间越短等级越小），如下表所示.
（1）试根据茎叶图，求出这10名女生上学路上花费时间的极差和中位数；
（2）已知高二年级共有200人，若该20个样本数据是以性别分层抽样的方式获取，试根据茎叶图估计全年级上学路上花费时间不超过40分钟的男生人数；
（3）求男生上学路上花费时间的第25百分位数与第50百分位数.
18.(本小题14分)
著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式S=πab（a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础.已知椭圆.
（1）求C的面积；
（2）若直线l：2x-y-2=0交C于A，B两点，求|AB|.
19.(本小题14分)
王老师将全班40名学生的高二数学期中考试成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将[50，60）记作第一组，[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]分别记作第二、三、四、五组.已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.
（1）估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；
（2）已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差.
20.(本小题18分)
已知抛物线，，直线l交抛物线Γ1于点A、D，交抛物线Γ2于点B、C，其中点A、B位于第一象限.
（1）若点A到抛物线Γ1焦点的距离为2，求点A的坐标；
（2）若点A的坐标为（4，4），且线段AC的中点在x轴上，求原点O到直线l的距离；
（3）若，求△AOD与△BOC的面积之比.
21.(本小题18分)
已知双曲线Γ的中心位于坐标原点O，焦点F2，F1分别在x轴的正、负半轴上，|F1F2|=2，直线y=-x是Γ的一条渐近线，直线l1：y=x+t（t＜0）与Γ有且只有一个公共点P.
（1）求Γ的方程；
（2）若点Q在y轴上，且∠F1QP为直角，求点Q的坐标；
（3）设动直线l2平行于OP，与Γ交于点A，B，与l1交于点K，是否存在常数λ，使得|KA|•|KB|=λ|KP|2总成立？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】
6.【答案】y2=4x
7.【答案】-2
8.【答案】93
9.【答案】11
10.【答案】x-2y-3=0
11.【答案】31
12.【答案】
13.【答案】（4，-3）
14.【答案】
15.【答案】+1
16.【答案】①④
17.【答案】极差为37，中位数为29 80 人 17；23.5
18.【答案】8π
19.【答案】74.5
20.【答案】解：（1）易知抛物线y2=4x的准线为x=-1，
因为点A到抛物线Γ1焦点的距离为2，
所以点A到抛物线Γ1准线的距离为2，
则点A的横坐标为1，
故点A的坐标为（1，2）；
（2）不妨设C（x0，y0），
可得线段AC的中点坐标为，
因为线段AC的中点在x轴上，
所以，
解得y0=-4，
因为点C在抛物线Γ2上，
所以C（8，-4），
可得直线l的方程为，
即2x+y-12=0，
则原点O到直线l的距离；
（3）易知直线l的斜率k显然存在且k≠0，
不妨设直线l的方程为y=kx+b,A（x1，y1），D（x2，y2），B（x3，y3），C（x4，y4），
因为，
所以y3-y1=2（y2-y4）=1，①
联立，消去x并整理得，
由韦达定理得，，
同理得，，
所以y1+y2=2（y3+y4）=2，②
又y1y2=2y3y4，③
联立①②，解得y2=-y3，④
联立③④，解得y1=-2y4，⑤
联立②⑤，解得3y2=4y4，
不妨设点O到直线l的距离为d,
故．
21.【答案】（1）x2-y2=1 （2）（0，2）或（0，-1） （3）存在λ=1符合题意 花费时间x（分钟）
0≤x＜20
20≤x＜40
x≥40
时间等级
一级
二级
三级