2025-2026学年上海市杨浦区高二（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年上海市杨浦区高二（下）期末数学试卷试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列平面图形旋转后能得到如图所示几何体的为（ ）
A.
B.
C.
D.
2.已知事件A和B互斥，下列等式一定成立的为（ ）
A. P（A∪B）=1B. P（A∩B）=P（A）P（B）
C. P（A∪B）=P（A）+P（B）D. P（A）+P（B）=1
3.若数列{an}满足an+2-an+1＞an+1-an，则称{an}是差增数列.
对于以下两个命题：
①若{an}是差增数列，则{an}是严格增数列；
②若由{an}的奇数项组成的子数列{a2n-1}和偶数项组成的子数列{a2n}都是差增数列，则{an}是差增数列，
下列判断正确的为（ ）
A. ①是真命题，②是假命题B. ①是假命题，②是真命题
C. ①是真命题，②是真命题D. ①是假命题，②是假命题
4.甲同学要计算图中伞面布料的面积.他观察发现伞面有8根伞骨支撑，测量得到伞口处AB长为90厘米，伞拱高PO为28厘米.
甲作假设：
①忽略伞面布料重叠和接缝的面积；②_____.
甲根据假设和已知条件建立数学模型，计算得到伞面布料的面积约为6905平方厘米，则假设②为（ ）
A. 将伞面视作圆锥的侧面
B. 将伞面视作正八棱锥的侧面
C. 将伞面视作圆台的侧面和上底面之和，其上底面的半径视作下底面半径的三分之二
D. 将伞面视作正八棱台的侧面和上底面之和，其上底面边长视作下底面边长的三分之二
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.2和4的等差中项为 .
6.抛物线y2=4x的焦点坐标为 ．
7.抛掷1枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为 .
8.半径为1的球的表面积是______．
9.等比数列{an}的首项为1、公比为2，其前6项的和S6的值为 .
10.圆x2+y2-2x+4y-4=0的圆心坐标是 .
11.某校统计一组学生的单日志愿者服务时长（单位：分钟），如下是根据统计数据绘制的茎叶图，以时长的十位数字为“茎”排列在左侧、以时长的个位数字为“叶”排列在右侧：该组学生单日志愿者服务时长的中位数为 分钟.
12.已知=（1，1，0），=（-1，0，2），且k+与2-垂直，则k的值为 ．
13.某社区开展青少年实践活动，现有15人在线报名，在线平台根据报名先后顺序将这15人分为两组，两组成员的年龄（单位：岁）如下：
甲组：12、10、17、16、16、13、15、11；
乙组：13、15、11、10、11、16、14.
社区计划将甲组的1人调到乙组，使得甲、乙两组人员的平均年龄都变大，则应该将甲组年龄为 岁的成员换到乙组.
14.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为正方形A1B1C1D1的中心，若，则λ+μ+v的值为 .
15.如图，在空间中，由点O引出三条射线l1、l2、l3，从中任取两条射线与点O构成的角均为.在l1上取点P1，使得线段OP1的长度为1.过点P1作直线P1P2交l2于点P2，且P1P2⊥l1；过点P2作直线P2P3交l3于点P3，且P2P3⊥l2；过点P3作直线P3P4交l1于点P4，且P3P4⊥l3；…，以此类推，得到一系列点Pn（n为正整数），连接点P99和P101，则直线P99P101与直线OP100所成角的余弦值为 .
16.已知双曲线Γ：x2-y2=2025的左右焦点分别是F1、F2，在双曲线Γ的右支上取2026个不同的点P1、P2、…、P2026，要求同时满足下列两个条件：
①△PnF1F2（1≤n≤2026且n∈Z）是锐角三角形；
②令rn=|PnF1|，数列{rn}是共有2026项的等差数列，
则数列{rn}的公差d的一个可能的值为 （答案不唯一）.
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1.
（1）求异面直线PC与AD所成角的大小；
（2）求证：CD⊥平面PAD.
18.(本小题14分)
已知三条直线l1：4x+y-4=0，l2：mx+y=0，l3：2x-3my-4=0，m∈R.
（1）若l1⊥l2，求m的值；
（2）若l1、l2、l3不能围成三角形，求m的值.
19.(本小题16分)
为了解学生使用图书馆情况，某高中按年级进行分层抽样抽取100名学生，以他们一周使用图书馆的时间（单位：小时）作为样本，调查发现样本中的数据均小于5，这100个数据在各区间内的频数记录如下表（x、s、t、m、n均为自然数）：
（1）已知该高中三个年级一共有500名学生，其中高一年级有150名学生，求x的值；
（2）用区间的中点值给区间内每个数据赋值，估计高二年级学生一周使用图书馆的平均时间；
（3）现从样本中任意抽取1个数据，记事件A为“抽到的数据是高二学生的”，记事件B为“抽到的数据在[2，3）”，判断事件A和事件B是否独立，并说明理由.
20.(本小题18分)
如图，“斗”是中国古代标准容积量器，其形状可视作一个正四棱台ABCD-A1B1C1D1.已知该正四棱台的高为15.8厘米，AB=30厘米，A1B1=20厘米.
（1）求证：B1D1∥BD；
（2）求AA1与平面ABCD所成角的大小；
（3）古代的米店里用“斗”给顾客量米时，为了显示诚信，用斗量米并用木尺刮平斗口后，会特意再抓一把米小心翼翼地添在斗口中央，让米堆起来形成一个“尖”的形状.假设将这个“尖”视作以A1B1C1D1为底面的正四棱锥，记作P-A1B1C1D1.根据物理学中“休止角”的理论，大米的休止角约为30°，即可视作二面角P-A1B1-C1的最大值为30°.若忽略“斗”壁的厚度，求这个“斗”加上“尖”最多可以装大米多少立方厘米.（保留到整数位）
21.(本小题18分)
已知椭圆Γ：=1，点A、B分别是椭圆位于x轴、y轴正半轴的两个顶点，点M是椭圆Γ上位于第一象限的一个动点.
（1）求椭圆Γ的离心率；
（2）设点M关于原点O中心对称的点为M1，求四边形M1AMB面积的最大值；
（3）点P满足，直线MP与椭圆Γ的另一个交点为点N.过点M做垂直于x轴的直线l,设直线l交线段AB于点T，若点H满足，求证：直线NH过定点.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】3
6.【答案】（1，0）
7.【答案】
8.【答案】4π
9.【答案】63
10.【答案】（1，-2）
11.【答案】75
12.【答案】
13.【答案】13
14.【答案】1
15.【答案】
16.【答案】0.001（答案不唯一）
17.【答案】 因为CD⊥AD，
又PA⊥平面ABCD，
则PA⊥CD，
又PA∩AD=A，
即CD⊥平面PAD
18.【答案】- =-1或或4或
19.【答案】8 2 事件A与事件B不是相互独立事件．理由如下：
由题意P（A）==0.34，P（B）=，
P（AB）=，
P（A）P（B）=0.34×0.21=0.0714，
∴P（AB）≠P（A）P（B），
∴事件A与事件B不是相互独立事件
20.【答案】证明：由正四棱台的性质，BB1与DD1相交于一点，
所以B，B1，D，D1四点共面，
平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面ABCD∩平面BB1D1D=BD，
平面A1B1C1D1∩平面BB1D1D=B1D1，
所以BD∥B1D1 65.9° 10777立方厘米
21.【答案】 ，则P（2，1），易知，
设lMN：y=k（x-2）+1，M（x1，y1），N（x2，y2），

联立，消去y整理可得（1+4k2）x2-8k（2k-1）x+16k2-16k，
所以，
则，
又，所以H（x1，-x1+2-y1），
则，
即，
因为
==
=
=
=
=
=，
所以，故直线NH过定点（2，0） 使用时间
[0，1）
[1，2）
[2，3）
[3，4）
[4，5）
高一
5
x
12
3
2
高二
6
16
5
3
4
高三
S
t
4
m
n