2024-2025学年上海市普陀区桃浦中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市普陀区桃浦中学高二（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是( )
A. (0,+∞)B. (0,2)C. (1,+∞)D. (0,1)
2.某市职业技能大赛的移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛.若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的( )
A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差
3.甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如图1，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好(图2)，则下列结论正确的是( )
A. 甲得分的极差小于乙得分的极差
B. 甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数
C. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数
D. 甲得分的方差小于乙得分的方差
4.已知点A(x1,y1)在圆x2+y2=9上，点B(x2,y2)在圆x2+y2=12上，且x1x2+y1y2=x1+x2−1，O为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是( )
①在坐标平面内存在点P，使得AP⊥BP恒成立
②三角形OAB面积的最小值为 22
A. ①是真命题，②是真命题B. ①是假命题，②是真命题
C. ①是真命题，②是假命题D. ①是假命题，②是假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.抛物线x2=4y的准线方程为______．
6.直线l1：x+my+1=0与直线l2：y=2x−1垂直，则m=______．
7.斜率为−1的直线的倾斜角为______．
8.直线x=−2与直线 3x−y+1=0的夹角为_____．
9.直线l：y=x+1与圆C：x2+y2−4x−2y=0相交所得的弦长为______．
10.在由1，2，3，4这四个数组成的无重复数字的三位数中，偶数的概率为______．
11.直线3x+4y−5=0上的动点P和直线3x+4y+10=0上的动点Q，则点P与点Q之间距离的最小值是______．
12.设一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球，不放回的每次摸一个球，设第一次没有摸到黑球是事件A，第二次没有摸到黑球是事件B，则P(B|A)的值为______．
13.以抛物线y2=16x的顶点为中心，焦点为右焦点，且分别以p=( 3,−1)、q=( 3,1)为两条渐近线的法向量的双曲线方程为______．
14.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ．
15.已知某次数学的测试成绩X服从μ=75、σ2=64的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了______%的学生(精确到0.1%)．
(参考数据：P(|X|2故00)，则y2=2x．
(1)利用两点间的距离公式可得|PQ|= (x−2)2+y2=2，联立即可解得点Q的坐标．
(2)|PQ|= (x−2)2+y2，其中y2=2x.可得|PQ|2=(x−2)2+2x=x2−2x+4=(x−1)2+3(x≥0)利用二次函数的单调性即可得出．
本题考查了两点间的距离公式、二次函数的单调性、方程的思想方法．
18.【答案】3x+4y−36=0；
(3,1)，证明见解析；
弦长为4 5；直线方程为2x−y−5=0．
【解析】(1)根据题意，圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，其圆心(1,2)，半径为5，
设点(4,6)为点G，有(4−1)2+(6−2)2=25，
则点(4,6)在圆上，所以设要求切线斜率为k，
则kGC=6−24−1=43，则k=−34；
所以直线方程为y−6=−34(x−4)，即3x+4y−36=0；
(2)(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R)变形为(2x+y−7)m+x+y−4=0，
令2x+y−7=0x+y−4=0，解得x=3，y=1，
所以直线l恒经过点(3,1)，
因为(3−1)2+(1−2)20)，C(x1,y1)，D(x2,y2)，
联立直线AB与椭圆C2的方程y=− 33x+1x2+3y2=λ，
代入整理得2x2−2 3x+3−λ=0，
Δ=12−8(3−λ)=8λ−12>0，可得λ>12，
由韦达定理可得x1+x2= 3，x1x2=3−λ2，
故|CD|= 1+(− 33)2|x1−x2|=2 3 (x1+x2)2−4x1x2=2 3 3−2(3−λ)
=2 3 2λ−3=3|AB|=6，
解得λ=15，
所以C2的标准方程为x215+y25=1．
(3)由题，设C2的方程为3x2+y2=λ(λ>0)，
由题意，AP⊥AQ，且|AP|2=|AQ|2，
任取C1上一点P(x0,y0)(不与点A重合)，则|AP|2=(x0− 3)2+y02，kAP=y0x0− 3，
设Q(xQ,yQ)，则|AQ|2=(xQ− 3)2+yQ2，
直线AQ的方程为x=1kAQy+ 3=−kAPy+ 3，故xQ− 3=−kAPyQ，
代入得|AQ|2=(xQ− 3)2+yQ2=(kAP2+1)yQ2=(x0− 3)2+y02(x0− 3)2yQ2=|AP|2(x0− 3)2yQ2，
因为|AP|2=|AQ|2，解得yQ2=(x0− 3)2，
由对称性，不妨设yQ=x0− 3，
代回直线AQ方程可解得Q( 3−y0,x0− 3)，
而点Q位于C2上，所以λ=3( 3−y0)2+(x0− 3)2=3(y02−2 3y0+3)+x02−2 3x0+3
=(x02+3y02)+12−2 3(x0+3y0)，
P(x0,y0)为C1上任一点，所以x02+3y02=3为定值，
化简得λ=15−2 3(x0+3y0)，
设x0+3y0=b，P(x0,y0)为C1上任一点，
即x023+y02=1x0+3y0=b有解．
整理得12y02−6by0+b2−3=0，Δ=36b2−48(b2−3)=12(12−b2)≥0，
解得b∈[−2 3,2 3]，
所以λ=15−2 3b∈[3,27]，
故C ​2的长轴长2 λ∈[2 3,6 3]．
(1)运用离心率公式计算即可；
(2)先求出AB|=2，得到直线AB的方程，设C2的方程为x2+3y2=λ(λ>0)，C(x1,y1)D(x2,y2)，直曲联立，运用弦长公式得到|CD|，求出λ=15即可；
(3)先设出C2的方程，因为有AP⊥AQ，且|AP|2=|AQ|2的条件，所以任取C1上一点P(x0,y0)(不与点A重合)，算出|AP|2和直线的斜率kAP，接着设出点Q的坐标，算出|AQ|2，由于AP⊥AQ，得出直线AQ方程，进而得到xQ− 3与kAP、y2的关系，结合|AP|2=|AQ|2，以及曲线方程进一步求解λ，最后得到长轴取值范围即可．
本题考查椭圆方程的综合应用，属于难题．
21.【答案】16； 2； (32, 152)．
【解析】解：(1)根据双曲线定义得：|AF1|−|AF2|=2，|BF1|−|BF2|=2，
两式相加得|AF1|+|BF1|−(|AF2|+|BF2|)=4，
即|AF1|+|BF1|−|AB|=4，
由已知|AB|=6得|AF1|+|BF1|=10，
所以△ABF1的周长为16；
(2)设直线AN、BN的倾斜角分别为α、β，
由已知kAN+kBN=0得α+β=π，
不妨设0