2025-2026学年上海市普陀区桃浦中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市普陀区桃浦中学高二（上）期末数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知事件，其对立事件记为，若（A），则 ．
2．已知，，则（A） ．
3．若球的表面积为，则球的体积为 ．
4．的展开式中的系数为 ．
5．方程的解是 ．
6．以下论述，描述正确的为 ．（请填写对应序号）
①随机现象是不可重复的；
②概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小；
③随机现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的．
7．某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布，统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间，的学生人数约为 ．
8．如图所示，△是用斜二测画法画出的△的直观图，其中，则△的面积为 ．
9．空间四边形，，，分别为，，的中点，若异面直线和成的角，则 ．
10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为，值域为，的“同族函数”共有 个．
11．随机抽取的7位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 ．（默认每个月的天数相同，结果精确到
12．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体．如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
13．下列说法正确的是（ ）
A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是
B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上
C．某地发行彩票，其回报率为，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报
D．大量试验后，可以用频率近似估计概率
14．袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，用表示“第二次摸得白球”，则与是（ ）
A．互斥事件B．相互独立事件
C．对立事件D．不相互独立事件
15．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法错误的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法
C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法
D．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法
16．如图，可任意转动的正方体容器（忽略容器的器壁厚度）内部装满了水，为的中点，在点，，的位置凿出三个小洞（将三个小洞视为质点），则这个容器最多可盛原来水的（ ）
A．B．C．D．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17～19题每题14分，20～21题每题18分）
17．（1）已知（A），，，求（B）的值．
（2）设，求的值．
18．如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，，，为的中点．
（1）求圆柱的表面积；
（2）求二面角的大小．
19．为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响．
（1）若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率；
（2）若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布、期望及方差．
20．（18分）已知平面，平面，△为等边三角形，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线和平面所成角的正弦值．
21．（18分）如图，以长方体的顶点为坐标原点，是的中点，是的中点．过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，已知．
（1）分别写出点、点和的坐标；
（2）求到平面的距离；
（3）若点是棱上一个动点，是否存在点使得为一个等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．已知事件，其对立事件记为，若（A），则 0.7 ．
解：事件，其对立事件记为，（A），
由对立事件的性质得：
．
故答案为：0.7．
2．已知，，则（A） ．
解：因为，，
所以，
所以（A）．
故答案为：．
3．若球的表面积为，则球的体积为 ．
解：设球的半径为，则；
，
；
球的体积为．
故答案为：．
4．的展开式中的系数为 28 ．
解：因为的展开式的通项公式为，
当时，此项为，
则的系数为，
故答案为：28．
5．方程的解是 ．
解：由可得：，
即，则，
所以或（舍去），
经检验，是原方程的解．
故答案为：．
6．以下论述，描述正确的为 ② ．（请填写对应序号）
①随机现象是不可重复的；
②概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小；
③随机现象出现某一结果的可能性大小都是不可测的．
解：①：随机现象是可以重复的，比如抛硬币和掷骰子这类随机试验，都可以在相同条件下重复进行，故①错误；
②：概率就是描述随机现象中某些结果出现的可能性大小，故②正确；
③：比如抛一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的可能性显然小于偶数点朝上的可能性，故③错误．
故答案为：②．
7．某地区高三年级2000名学生参加了地区教学质量调研测试，已知数学测试成绩服从正态分布，统计结果显示，有320名学生的数学成绩低于80分，则数学分数属于闭区间，的学生人数约为 1360 ．
解：数学成绩低于8（0分）的概率为，
则数学分数属于闭区间，的概率为，
其人数约为．
故答案为：1360．
8．如图所示，△是用斜二测画法画出的△的直观图，其中，则△的面积为 8 ．
解：还原原图形，如图，其中，，
所以．
故答案为：8．
9．空间四边形，，，分别为，，的中点，若异面直线和成的角，则或 ．
解：连接、，
因为、分别为、的中点，
所以是△的中位线，可得，
同理可证，所以（或其补角）为异面直线、的所成角，
结合、所成角为，可得或．
故答案为：或．
10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为，值域为，的“同族函数”共有 9 个．
解：因为，值域为，的“同族函数”的定义域有
，，，，，，
，，，共9个．
故答案为：9．
11．随机抽取的7位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 0.889 ．（默认每个月的天数相同，结果精确到
解：随机抽取的7位同学中，
由于每名学生的出生月份可能是1月到12月中的任何一个，
因此7名学生的出生月份共有种可能的排列，
每个排列对应一个基本事件，从而基本事件就有个，
且每个基本事件发生的概率都相等，
设表示事件“7名学生中没有任何2名学生在同一月份出生”，
那么7名学生的出生月份共有种可能的排列，
即事件包含个基本事件，
所以事件的概率是，
则随机抽取的7位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率是（A）．
故答案为：0.889．
12．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球围成的几何体．如图所示，已知正四面体的棱长为，若勒洛四面体内有一球，则该球的最大半径为 ．
解：勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体4个弧面都相切，即为勒洛四面体的内切球，
由对称性知，勒洛四面体的内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心，
设是底面的中心，是正四面体的中心，
也是正四面体的外接球球心，正四面体外接球的半径为，是高，如图1所示，
由正四面体的棱长为，
可得，
则，所以，
在直角△中，由，
得，
解得，
因此，如图2所示，勒洛四面体的内切球半径．
故答案为：．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）
13．下列说法正确的是（ ）
A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是
B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上
C．某地发行彩票，其回报率为，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报
D．大量试验后，可以用频率近似估计概率
解：根据题意，依次分析选项：
对于，可得中靶的结果是频率，不是概率；故错误，
对于，做掷硬币试验，掷了6次，不一定有3次正面向上，错误；
对于，有人花了100元钱买彩票，不一定会有47元的回报，错误；
对于，符合概率的估算方法，故正确．
故选：．
14．袋内有质地均匀且大小相同的3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用表示“第一次摸得白球”，用表示“第二次摸得白球”，则与是（ ）
A．互斥事件B．相互独立事件
C．对立事件D．不相互独立事件
解：根据题意，由于是有放回地摸球，事件与可以同时发生，
因此事件与不互斥，也不对立，、错误；
显然，，因此与是相互独立事件，正确，错误．
故选：．
15．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法错误的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法
C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法
D．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法
解：对于，从六门课程中选两门的不同选法有种，正确；
对于，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，正确．
对于，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，正确；
对于，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，错误．
故选：．
16．如图，可任意转动的正方体容器（忽略容器的器壁厚度）内部装满了水，为的中点，在点，，的位置凿出三个小洞（将三个小洞视为质点），则这个容器最多可盛原来水的（ ）
A．B．C．D．
解：根据题意可知要使容器可盛水最多，需让平面为水平面，
取的中点，连接，，，，由于，所以，，，四点共面，
则所在平面为，
所以容器可盛水最多时水的体积等于正方体体积减去三棱锥的体积和四棱锥的体积之和．
不妨设正方体的棱长为2，则正方体的体积，
因为为的中点，所以点到平面的距离为2，
则，
所以，
点到平面的距离为1，，
所以，
所以容器最多可盛原来水的，
故选：．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17～19题每题14分，20～21题每题18分）
17．（1）已知（A），，，求（B）的值．
（2）设，求的值．
解：（1）设（B），因为（A），，，
又，
所以，整理得到，解得，
所以；
（2）因为，
令，可得，
令，可得，
则，
又展开式的通项为且，
所以，，，，，，
所以．
18．如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，，，为的中点．
（1）求圆柱的表面积；
（2）求二面角的大小．
解：（1），，，
底面圆的半径，
圆柱的侧面积为，
又圆柱的底面积为，
圆柱的表面积．
（2）连接，
平面，平面，；
，即，，，平面，
平面，又平面，
；
即为二面角的平面角，
，，，，
即二面角的大小为．
19．为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响．
（1）若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率；
（2）若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布、期望及方差．
解：（1）若一班在前两轮得20分，后三轮得90分，总分为110分，
则，
若一班在前两轮得40分，后三轮得60分或90分，总分为100或130分，
则，
故所求概率为．
（2）的取值为60，80，100，120，
所以，，
，．
的分布列为：
所以，
．
20．（18分）已知平面，平面，△为等边三角形，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线和平面所成角的正弦值．
解：（1）证明：平面，平面，△为等边三角形，
，，为的中点，
取的中点，连接、，又为的中点，则且，
而平面，平面，则，，又，则，
四边形为平行四边形，则，而平面，平面，
平面．
（2）证明：在等边△中，为的中点，则，
由平面，平面，得，
而，于是，，又，，平面，
平面，
又平面，平面平面．
（3）在平面内，过作于，连接，
由平面平面，平面平面，平面，
得平面，则为和平面所成的角，
由，，得，
，，
在△中，，
直线和平面所成角的正弦值为．
21．（18分）如图，以长方体的顶点为坐标原点，是的中点，是的中点．过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，已知．
（1）分别写出点、点和的坐标；
（2）求到平面的距离；
（3）若点是棱上一个动点，是否存在点使得为一个等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）由于，0，，，则，3，，
于是，0，，，3，，，0，，，3，，则，3，；
（2）由题知：，，，，0，，，3，，
则，，，
设为面的法向量，则，取，则，
于是，
故到平面的距离为：；
（3）设，3，且，由（2）知：，，，
则，，，显然，
当时，，结合可得，此时；
当时，，可得，此时，
综上，存在点或使得为一个等腰三角形．
60
80
100
120