新高考数学一轮复习考点举一反三重难点14 解三角形的图形类问题和重要模型（专项训练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点举一反三重难点14 解三角形的图形类问题和重要模型（专项训练）（2份，原卷版+解析版），共6页。

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\l "_Tc25098" 【题型1 两次使用余弦定理】 PAGEREF _Tc25098 \h 3
\l "_Tc2721" 【题型2 等面积法】 PAGEREF _Tc2721 \h 4
\l "_Tc27110" 【题型3 解三角形中的中线模型】 PAGEREF _Tc27110 \h 6
\l "_Tc14127" 【题型4 解三角形中的倍角模型】 PAGEREF _Tc14127 \h 9
\l "_Tc27515" 【题型5 解三角中的角平分线模型】 PAGEREF _Tc27515 \h 12
\l "_Tc8659" 【题型6 解三角中的高模型】 PAGEREF _Tc8659 \h 15
\l "_Tc19970" 【题型7 解三角形中的等分点模型】 PAGEREF _Tc19970 \h 18
\l "_Tc16640" 【题型8 三角形的重心问题】 PAGEREF _Tc16640 \h 22
\l "_Tc4568" 【题型9 三角形的外接圆、内切圆问题】 PAGEREF _Tc4568 \h 26
1、解三角形的图形类问题和重要模型
解三角形是高考的重点、热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正、余弦定理解三角形在选择题、填空题中考查较多，难度较易；解答题中正、余弦定理解三角形、三角形的面积公式、解三角形的图形类问题和一些重要模型也是考查的重要内容，中等难度，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，解题方法多种多样，需要灵活求解.
知识点1 三角形图形类问题的解题策略
1．解决三角形图形类问题的常用方法：
(1)两次使用余弦定理：两次使用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理
的性质解题；
(2)等面积法：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
(3)正、余弦定理结合：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
(4)相似三角形：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
(5)平面向量：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
(6)建系：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
知识点2 解三角形中的重要模型
1．中线模型
(1)中线长定理：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线，则.
(2)向量法：.
2．倍角模型
，这样的三角形称为“倍角三角形”．
推论1：；
推论2：.
3．角平分线模型
角平分线张角定理：如图，为平分线，则
斯库顿定理：如图，是的角平分线，则，可记忆：中方=上积-下积．
4．等分点模型
如图，若在边上，且满足，，则延长至，使，连接.易知∥，且，，．

【题型1 两次使用余弦定理】
【例1】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）在△ABC中，已知AC=5,AB=3,BC=7,AD是BC边上的中线，则AD=（ ）
A．154B．192C．72D．157
【答案】B
【解题思路】利用两次余弦定理即可求解.
【解答过程】
由余弦定理得：csB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC=9+49−252×3×7=1114，
再由余弦定理得：AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcsB=9+494−2×3×72×1114=194，
则AD=192，
故选：B.
【变式1-1】（2025·云南昆明·模拟预测）在△ABC中，AB=2,AC=3,csA=34，则csB=（ ）
A．18B．−18C．19D．−19
【答案】B
【解题思路】首先利用余弦定理求出BC的长度，再根据余弦定理求出csB的值.
【解答过程】在△ABC中，AB=2,AC=3,csA=34；
由余弦定理BC2=AB2+AC2−2AB·AC·csA，解得BC=2.
再根据余弦定理csB=AB2+BC2−AC22AB·BC，解得csB=−18.
故选：B.
【变式1-2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=3,BC边上中线AD长为1，则bc最大值为（ ）
A．74B．72C．3D．23
【答案】A
【解题思路】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程求出b2+c2=72，然后利用基本不等式求出最值即可.
【解答过程】由题意得∠ADB+∠ADC=π，
所以cs∠ADB+cs∠ADC=0，
又a=3，且D是BC的中点，所以DB=DC=32，
在△ABD中，cs∠ADB=AD2+BD2−c22AD⋅BD=74−c23，
在△ADC中，cs∠ADC=AD2+CD2−b22AD⋅CD=74−b23，
所以cs∠ADC+cs∠ADB=74−b23+74−c23=0，
即b2+c2=72，得2bc≤b2+c2=72⇒bc≤74，当且仅当b=c=72取等号，
故选：A.
【变式1-3】（24-25高三下·河南·阶段练习）记△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=3，b2=c2+3c+9，∠ABC的平分线交边AC于点D，且BD=2，则b=（ ）
A．25B．27C．6D．37
【答案】D
【解题思路】根据题意，利用余弦定理求得csB=−12，得到B=2π3，结合S△ABC=S△ABD+S△BCD，列出方程求得c=6，再利用余弦定理，即可求解.
【解答过程】因为a=3及b2=c2+3c+9，可得b2=a2+c2+ac，
由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=−12，
又由00，所以C,B−C∈0,π，
所以C=B−C或C+B−C=B=π（舍去），
所以只能B=2C；
（2）由题意csinC=bsinB=asinA，所以a=csinAsinC=sinB+CsinC=sin2CcsC+cs2CsinCsinC=4cs2C−1，
因为△ABC为锐角三角形，所以0