新高考数学一轮复习考点举一反三专题4.5 函数y=Asin(ωx+φ)（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc12230" 【题型1 三角函数的图象变换】 PAGEREF _Tc12230 \h 2
\l "_Tc23538" 【题型2 描述正（余）弦型函数图象的变换过程】 PAGEREF _Tc23538 \h 3
\l "_Tc2067" 【题型3 由部分图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式】 PAGEREF _Tc2067 \h 4
\l "_Tc8499" 【题型4 图象与性质的综合应用】 PAGEREF _Tc8499 \h 6
\l "_Tc12032" 【题型5 函数的零点（方程的根）问题】 PAGEREF _Tc12032 \h 7
\l "_Tc9469" 【题型6 三角函数模型】 PAGEREF _Tc9469 \h 8
\l "_Tc9220" 【题型7 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】 PAGEREF _Tc9220 \h 10
1、函数y=Asin(ωx+φ)
知识点1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
1．函数y=Asin(ωx+φ)的图象的作法
作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图：用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图，主要是通过变量代换，设z=ωx+φ，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法：由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
2．三角函数的图象变换问题的求解方法
解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：
(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；
(2)变同名：函数的名称要变得一样；
(3)选方法：即选择变换方法.
知识点2 由部分图象确定函数解析式的解题方法
1．由部分图象确定函数解析式的方法
由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标，则令即可求出φ.
(2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.
知识点3 三角函数图象、性质的综合应用的解题策略
1．研究函数y=Asin(ωx+φ)性质的技巧
研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
2．函数的零点（方程的根）的问题的解题策略
函数的零点（方程的根）的个数可转化为两个函数图象的交点个数，据此进行求解即可.
3．三角函数模型
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.
【方法技巧与总结】
1．函数y=Asin(ωx+φ)+k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2．由y= sinωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
【题型1 三角函数的图象变换】
【例1】（2025·海南·模拟预测）先将函数fx=sin4x+π4的图象向右平移12个最小正周期，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数gx的图象，则gx=（ ）
A．sin2x−3π4B．sin8x−3π4
C．sin2x+3π4D．sin8x+3π4
【变式1-1】（2025·山东临沂·二模）将函数fx=sin2x+φ,φ0，ω>0，φ0,|φ|0,ω>0,|φ|0,ω>0,φ0,ω>0,φ0图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2,gx=sin2x+2π3，则（ ）
A．fx的最小正周期为2π
B．fx的图象关于点2π3,0对称
C．将gx的图象向左平移π3个单位长度可得到fx的图象
D．fx与gx的图象关于y轴对称
【变式4-1】（2025·天津·一模）已知x=π6是函数f(x)=2cs(2x+φ)|φ|0,ω>0,00）图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，再向左平移π12ω个单位长度，得到函数gx的图象，若gx在0,π上恰有2个零点，则ω的最大值为（ ）
A．58B．1924C．2324D．98
【变式5-1】（2025·甘肃庆阳·三模）已知函数fx=sinπ2x+φφ≤π4，将y=fx图象上所有的点向左平移23个单位长度后得到的曲线关于y轴对称，则下列结论正确的是（ ）
A．y=fx在0,1上为增函数
B．φ=π8
C．y=fx在−1,2上有两个零点
D．y=fx在−1,2上有无数个零点
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）函数fx=2sin2x+φ−π20在−∞,3π上有5个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．1718,2318B．1718,2318C．1118,1718D．1118,1718
【题型6 三角函数模型】
【例6】（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（ ）
A．92.5mB．87.5mC．82.5mD．5532+65m
【变式6-1】（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I=Asinωt+φA>0,ω>0,00,b>0)在区间π18,2π9上单调递增，在区间2π9,5π9上单调递减，且f7π18=0.若将f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后所得函数的图象关于y轴对称，则φ的最小值为（ ）
A．π18B．π9C．2π9D．π3
【变式7-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数f(x)=sin2x+π3+cs2x，gx=sinx.
(1)求函数f(x)的最小正周期和对称中心；
(2)将函数f(x)图象向右平移π6个单位，再将图象向下平移1个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的833倍得到函数ℎ(x)的图象，并设Fx=ℎx+tgx+gx+π2.若F(x)>0在0,π2上有解，求实数t的取值范围.
【变式7-3】（2024·山西·模拟预测）已知函数f(x)=sin4x+2sinxcsx−cs4x.
(1)若α∈0,π2，fα2=23，求csα+π12的值；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π24个单位长度，得到函数g(x)的图象，再将函数g(x)图象上各点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)（纵坐标不变），得到函数ℎ(x)的图象，若ℎ(x)在区间π4,π2上没有零点，求ω的取值范围.
一、单选题
1．（2025·湖南长沙·三模）将函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的图象向左平移π6个单位得到的函数图象关于y轴对称，则ω的值可以为（ ）
A．12B．1C．2D．5
2．（2024·北京·模拟预测）将y=sinx的图象变换为y=sin3x−π6的图象，下列变换正确的是（ ）
A．将图象上点的横坐标变为原来的13倍，再将图象向右平移π6个单位
B．将图象上点的横坐标变为原来的3倍，再将图象向右平移π18个单位
C．将图象向右平移π6个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的13倍
D．将图象向右平移π6个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3倍
3．（2025·广东佛山·三模）将函数fx=4cs2x+π3的图象向右平移π3个单位长度，得到函数gx的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．gx是奇函数B．gx的图象关于直线x=π12对称
C．gx在−π6，π3上的值域为−2，4D．gx在0，π2上单调递增
4．（2025·河南·模拟预测）将函数f(x)=3sin2x−cs2x图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若g(x)在0,π3上单调，则ω的取值范围为（ ）
A．(0,1]B．0,12C．[1,+∞)D．12,+∞
5．（2025·陕西咸阳·模拟预测）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条葫芦曲线的方程为y=2−122xπsinωx0≤x≤2π，其中x表示不超过x的最大整数，如−2.1=−3,10,|φ|0,φ0，ω>0，φ