新高考数学一轮复习题型分类讲练3.4 导数的综合应用（精讲）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型分类讲练3.4 导数的综合应用（精讲）（2份，原卷版+解析版），共3页。试卷主要包含了判断零点的个数，根据零点个数求参数，恒成立求参数，隐零点，不等式的证明，极值点偏移，放缩法证明不等式等内容，欢迎下载使用。

考向一 判断零点的个数
【例1-1】（2025·广东湛江·一模）已知函数，其中．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)当时，试判断的零点个数并证明．
【例1-2】（2025·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数.
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数在上零点的个数.
【一隅三反】
1．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数.
(1)证明：，；
(2)求函数的零点个数.
2．（23-24内蒙古通辽·期中）已知函数.
(1)当时，求函数.
(2)讨论函数的极值点个数.
考向二 根据零点个数求参数
【例2-1】（23-24河南）已知函数在及处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若方程有三个不同的实根，求c的取值范围．
【例2-2】（2025·四川广安·二模）已知函数（为常数）.
(1)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值；
(2)是否存在实数，使得有3个零点？若存在，求实数的范围；若不存在，请说明理由.
【例2-3】（2025·新疆·三模）已知函数，且．
(1)当（为自然对数的底数）时，求函数在处的切线方程；
(2)函数在上有且仅有两个零点，求a的取值范围．
【例2-4】（2025·北京·模拟预测）已知函数.
(1)若函数的极值点在内，求m的取值范围；
(2)若有两个零点，求m取值的范围.
【例2-5】（24-25高三上·山西·阶段练习）若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是 .
【一隅三反】
1．（24-25高二下·山东·期中）函数有两个零点，则m的取值范围是 .
2．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数．
(1)当时，求的极小值；
(2)若函数有2个零点，求的取值范围．
3．（2025·贵州毕节·二模）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若方程有两个根，求的取值范围.
4．（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在上的函数.
(1)若，判断是否存在极小值点，并说明理由；
(2)若存在两个零点，求的取值范围.
5．（2025·山东·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线的斜率为（是自然对数的底数），求的值；
(2)若有且只有两个零点，求的取值范围．
考向三 恒（能）成立求参数
【例3-1】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中．
(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【例3-2】（2025·湖北·三模）已知函数（为自然对数的底数）.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【一隅三反】
1．（2025·河南鹤壁·二模）已知函数.
(1)当时，证明:.
(2)若对于定义域内的任意恒成立，求t的取值范围.
2．（2025·湖北武汉·二模）已知函数．
(1)若在处的切线斜率为，求；
(2)若恒成立，求的取值范围．
3．（2025·北京·模拟预测）已知函数，，.
(1)求函数的极值；
(2)若恒成立，求实数的最小值.
考向四 隐零点
【例4】（2024湖北）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求证：函数的图象在x轴上方.
【一隅三反】
1.(2025河南)已知a≥1，函数f(x)＝x ln x－ax＋1＋a(x－1)2．
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)讨论f(x)的零点个数．
2.（2023·陕西西安·校联考模拟预测）已知函数，．
(1)求的极值；
(2)证明：当时，．（参考数据：）
3.（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
考向五 不等式的证明
【例5】（2025·湖北鄂州·一模）已知函数有两个零点.
(1)求的值；
(2)证明：当时，.
【一隅三反】
1．（2025·北京顺义·一模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求证：是上的单调递减函数；
(3)求证：当时，.
2．（2025·辽宁锦州·二模）已知．
(1)若在上单调递增，求a的取值范围；
(2)若的图像在处的切线为，求a与b的值，并证明时，．
3．（2025·江西南昌·一模）已知．
(1)若在定义域上单调递增，求a的取值范围；
(2)若有极大值m，求证：
考向六 极值点偏移
【例6-1】（2025·湖南郴州·三模）已知函数.
(1)当时，求函数的最值；
(2)若函数有两个不同极值点，证明：.
【例6-2】（2025·江苏·模拟预测）设，曲线在处的切线方程为.
(1)求，的值；
(2)证明：；
(3)若存在两根，，且，证明：.
【一隅三反】
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若函数有两个零点，求的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：．
2.（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知函数.
(1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程；
(2)若函数在上恰有2个零点，.
①求的取值范围；
②求证：.
3．（2025·江苏南京·一模）已知函数.
(1)当时，求证：；
(2)若对于恒成立，求的取值范围；
(3)若存在，使得，求证：.
考向七 放缩法证明不等式
【例7-1】（2025·湖南·二模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若恒成立，求的值；
(3)求证：.
【变式】
1．（2025·浙江宁波·三模）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
(3)求证：当时，.
2．（2025·陕西咸阳·二模）已知，.
(1)当时，求函数在的最小值；
(2)若函数为增函数，求实数的取值范围；
(3)若时，，，证明：.
3．（2025·陕西咸阳·一模）已知函数．
(1)若，求a的值；
(2)设，求证：．