新高考数学一轮复习题型分类讲练2.4 指数运算及其指数函数（精讲）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型分类讲练2.4 指数运算及其指数函数（精讲）（2份，原卷版+解析版），共3页。试卷主要包含了指数的运算，指数函数的图像，指数函数定义域，指数型函数的值域，指数型函数的单调性，指数型函数的奇偶性，指数函数的实际应用，指数型函数的综合应用等内容，欢迎下载使用。

考向一 指数的运算
【例1-1】（2025高三·全国·专题练习）[多选]下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则．
【答案】BD
【解析】对于A，，A错误；
对于B．
，B正确；
对于C，原式
，C错误；
对于D，当时，，得，
由，得，
所以，D正确．
故选：BD.
【一隅三反】
（2026高三·全国·专题练习）化简与求值．
(1)；
(2)．
(3)化简：；
(4)计算：；
(5)已知，求的值．
(6)；
(7)
（8）求值：
（9）
（10）(10)
【答案】(1)(2)1(3)(4)(5)(6)(7)（8）100（9）2（10）-16
【解析】（1）原式．
（2）原式．
（3）原式.
（4）原式.
（5）对两边平方，得，可得，
再对两边平方，得，所以，，
所以，.则.
（6）.
（7）.
（8）原式．
（9）
.
（10）原式
．
考向二 指数函数的图像
【例2-1】（2025湖北）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为___________.
【答案】9
【解析】∵恒过定点，
∴过定点
∴，即，
∴≥，
当且仅当即时等号成立，
∴所以的最小值为9，
故答案为：9.
【例2-2】（24-25高三上·山东·阶段练习）如图所示，若，函数与的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以指数函数在上单调递减，故排除A和D；
对于，当时，，所以的图象过点，
因为，故B错误，C正确.故选：C.
【一隅三反】
1．（24-25高三上·山东·阶段练习）函数的图象恒过的定点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，所以函数的图象恒过点.故选：D
2．（2025高三·全国·专题练习）已知且，则函数与函数的图象可能的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因，故，故，
而与关于对称，各选项中只有B满足，故选：B.
3．（2025高三·全国·专题练习）函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称，
且，∴函数为奇函数，故C错误；
又∵，故D错误；
当时，，故B错误,A正确.
故选：A．
考向三 指数函数定义域
【例3】（24-25江苏）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数的定义域为，
所以对于函数有，解得，
所以函数的定义域是.
故选：D.
【一隅三反】
1．（23-24四川）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数的定义域满足，解得且．则函数定义域为，故选：D
2．（23-24·福建漳州·期末）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】函数的定义域满足，解得.
所以该函数的定义域为.故选：B.
3.（2024湖南）设函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，故，故的定义域为，
令，则，故的定义域为.故选：D.
考向四 指数型函数的值域
【例4-1】（1）（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）函数的值域为
（2）（2024·贵州·模拟预测）已知函数，则的最大值是 .
（3）（2024上海虹口·期中）已知函数，则的值域为 ．
（4）（2025湖北）函数的值域为
【答案】（1）（2）16（3）（4）
【解析】易知为减函数，所以.所以函数的值域为，故选：A
（2）由，而，
因为单调递增，所以，则的最大值是16.故答案为：16
（3）当时，；
当时，在上单调递增，单调递减，所以，
综上可得的值域为.
故答案为：.
（4）设，则，
换元得，
显然当时，函数取到最小值，
所以函数的值域为．
故答案为：.
【例4-2】（1）（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
（2）（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
（3）（2024·河北保定·三模）已知的值域为，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）A（2）D（3）D
【解析】（1）由，可知有解，且无最大值，
即有解，且无最大值，
当时，有解，无最大值，符合题意；
当时，有解，但有最大值，不符合题意；
当时，有解需满足，解得，
此时无最大值，满足题意.
综上，实数a的取值范围是.
故选：A
（2）解法1：因为，
所以，所以关于对称.
因为，函数在区间上的值域为，所以.
解法2：因为在上递增，
所以.
解法3：取，因为在上递增，
所以.
故选D.
（3）①若，
当时，在上单调递减，此时，
当时，，当且仅当时，等号成立，
又函数的值域D满足，则解得；
②若，
当时，在上单调递增，此时，
当时，，当且仅当时，等号成立，
又函数的值域D满足，不合题意；
③当时，，
若，有（当且仅当时取等号）符合题意，
综上所述：.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）函数的值域为 ．
【答案】
【解析】当时，，
当时，，
所以的值域为．
故答案为：.
2．（2025·宁夏）已知函数，，则其值域为_______．
【答案】
【解析】令，∵，∴，
∴，
又关于对称，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，
时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即，
.故答案为：.
3（2025广东）已知函数存在最大值，则实数a的取值范围是
【答案】
【解析】易知在上单调递增，所以当时，；
在上单调递增，所以当时，.
所以要使函数存在最大值，只需(易错：注意等号能否取到)，解得.
4（2025·甘肃）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是
【答案】
【解析】当时，，
当时， ，
因为函数的值域为，所以，得，
所以实数的取值范围是，
5.（2025河北）已知的最小值为2，则的取值范围为
【答案】
【解析】当时，，
又因为的最小值为2，所以需要当时， 恒成立，
所以在恒成立，所以在恒成立，
即在恒成立，
令 ，则，原式转化为在恒成立，
是二次函数，开口向下，对称轴为直线，所以在上 最大值为，所以。
考向五 指数型函数的单调性
【例5-1】（2024上海静安·阶段练习）函数的严格增区间是 .
【答案】
【解析】因为关于单调递减，若函数关于单调递增，
则由复合函数单调性可知只需单调递减即可，
而的单调递减区间为，所以函数的严格增区间是.故答案为：.【例5-2】（2025·青海西宁·二模）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为为上的单调增函数，根据复合函数单调性可知，在区间上单调递减，故，解得．
故选：B．
【例5-3】（24-25高三下·北京·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意若函数为单调递增，可得；
若函数为单调递增，可得，即；
若保证在R上单调递增,还需满足，解得；
综上可得，a的取值范围为.
故选：D
【一隅三反】
1.（2024湖南岳阳·期中）已知函数，则函数单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令在单调递增，单调递减，所以函数在单调递减，单调递增，故选:C.
2（2025·河北秦皇岛·一模）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由在区间上单调递减，则需要在区间上单调递增，
故对称轴，则，解得，
故选：C
3．（2025·贵州毕节·二模）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则函数的减区间为，增区间为，
又因为函数在区间上单调递增，且外层函数在上为增函数，
所以，，可得，解得，
因此，实数的取值范围是.故选：A.
4．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数在R上单调递增，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】在上单调递增，需要满足，解得，所以.
故答案为：.
考向六 指数型函数的奇偶性
【例6-1】（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数为奇函数，则（ ）
A．2B．1
C．0D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为R，由函数为奇函数，得，
即，所以.故选：B
【例6-2】（2025·江苏）若函数是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【解析】函数的定义域为，由是偶函数，得，
即，整理得，所以.故选：A
【一隅三反】
1．（2025河北）已知函数，则“”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】函数定义域为R，函数为偶函数，
则,，
而不恒为0，因此，，解得或，
所以“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A
2.（2025北京）已知函数为偶函数，则（ ）
A．-1B．-2C．2D．1
【答案】A
【解析】因为函数为偶函数，所以，
，
，
所以，即得
可得，成立，
所以.故选：A.
3（2025·辽宁）函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（ ）
A．4B．2C．1D．0
【答案】B
【解析】因为，且是定义在R上的偶函数，所以，
令，则，所以，即，所以函数的周期为2，
所以.故选：B.
考向七 指数型函数性质的应用---比较大小
【例7-1】（24-25高三上·山西大同·期中）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数单调递增，所以，故，
又函数单调递减，所以，所以．
故选：A.
【例7-2】（2025·河北唐山·一模）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】已知，其定义域为，关于原点对称.
且，所以函数是偶函数.
那么.
当时，.
因为，所以在上单调递增.
因为，且在上单调递增，所以.
又因为，所以.
故选：A.
【一隅三反】
1.．（2025河北） 若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】若，且，
由函数在上为减函数，，
则，
又函数在上为减函数，则，
又函数在上为增函数，则，
因此可得.
故选：C.
2.（23-24高三下·河南周口·开学考试）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以，即，所以，即，所以，
又，又，所以，所以，所以．故选：B．
3.（2025河北）已知，， ，则、、的大小关系为_____________
【答案】
【解析】由题意可知，，故；
又，，因为，故，综合可得.
故答案为:
考向八 指数型函数性质的应用---解不等式
【例8-1】（2025·浙江嘉兴·三模）关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为在上为增函数，由有，
又在上为增函数，，，
故选：D.
【例8-2】（2024·四川德阳·一模）函数单调递增，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据指数函数的单调性可得，在上单调递增，
于是单调递增时只需，则；
又因为在上单调递增，
且，则，即
于是.
故选：C
【一隅三反】
1.（2025·湖南·模拟预测）设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
即函数关于对称，
当时，单调递增，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
因为，所以，解得，
即的取值范围是，
故选：B.
2（2024·辽宁·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当时，单调递增，当时，单调递增，且在分界点处，
所以函数在定义域上单调递增，所以，得，
所以不等式的解集为.故选：B
3（24-25高三上·江苏·开学考试）设函数，则使得成立的的解集是 ．
【答案】
【解析】函数的定义域为R，，则为奇函数，
又函数分别为R上的增函数和减函数，于是是R上的增函数，
不等式化为，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
考向九 指数函数的实际应用
【例9】（2024·云南楚雄·一模）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务．已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中、为正常数），经过个月，这种垃圾的分解率为，经过个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月（参考数据：）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，可得，解得，则，
这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以，
所以，则．
故选：B.
【一隅三反】
1.（2024·贵州）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数．如果在前消除了的污染物，则10小时后还剩下百分之几的污染物？（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，，所以，所以，
则时，.故选：C.
2．（24-25江西赣州·期末）某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则第10代得到的种子数为（ ）参考数据：，
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，第10代得到的种子数为
故第10代得到的种子数约为
故选：C.
3．（24-25湖南）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数）.2024年考古学家挖掘出某生物标本，经研究发现该生物体内碳14残余量约占原始含量的81%，则可推断该生物死亡时间属于（ ）附：①参考数据：，②参考时间轴如图：
A．东汉B．三国C．西晋D．东晋
【答案】C
【解析】因为大约每经过5730年，碳14含量衰减为原来的一半，
所以可近似认为时，，
又与死亡年数之间的函数关系式为，
所以，故，
所以，
令，可得，
两边取以为底数的对数可得，又，
所以，
，
所以该生物体大约死亡于公元年，即该生物体死亡时间属于西晋.
故选：C.
4．（24-25高三上·北京·阶段练习）德国科学家Wilhelm Peukert于19世纪末提出蓄电池的容量（单位：Ah），放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数，不同材料的Peukert常数不一样.有两块不同材料的蓄电池，第一块蓄电池的容量为，Peukert常数为；第二块蓄电池的容量为，Peukert常数为.第一块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间；第二块电池测试：当放电电流时，放电时间，当放电电流时，放电时间，则（ ）
A．， B．，C．，D．，
【答案】D
【解析】由题意：，所以；
，所以.
因为指数函数在上单调递减，且，所以.
又指数函数在上单调递增，且，所以，所以，即.
故选：D
考向十 指数型函数的综合应用
【例10-1】（2025重庆沙坪坝·期中）已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】任取，
，
即函数在上单调递减，
若，使得，则
即
故选：A
【例10-2】（2025陕西）设函数且是定义域为的奇函数，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若在上的最小值为，求的值．
【答案】（1）；（2）2．
【解析】（1）由题意，得，即，解得，
由，得，即，解得，或（舍去），
∴，
∴函数在上为增函数，
由，得
∴，解得，或，
∴的取值范围是；
（2）由（1）得，，
令，由得，，
∴函数转化为，对称轴，
①当时，，即，
解得，或（舍去）；
②当时，，
解得（舍去）；
综上：．
【一隅三反】
1．（2025·上海）已知函数关于点对称，若对任意的，，恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由为奇函数，可得其图象关于对称，可得的图象关于对称，
函数关于点对称，可得，
对任意的，，恒成立，即在，恒成立，
所以，令，由，，可得，，
设，
当时，取得最大值11，
则的取值范围是，
故选：．
2．（2025·辽宁）已知函数，若对于任意的、、，以、、为长度的线段都可以围成三角形，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，，则，
令，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，当时，，则，
，则，，
构造函数，其中，由，可得，
由于函数在区间上单调递减，则，可得.
二次函数的对称轴为直线，
则函数在区间上单调递增，
当时，，即.
由于以、、为长度的线段都可以围成三角形，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
3．（24-25河南开封）（多选）如图，已知直线，与函数，的图象分别交于，，，四点，且为平行四边形，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】依题意，当 时， 在 图象下方，
所以在 图象上， 在 图象上，
所以 ， ， ，
又因为四边形为平行四边形，
所以 ，即 ，即
，
又因为 ，所以 ，
. 故A正确， B错误.
由均值不等式 ，化简可得
，当 时等号成立，
由于 ，故 ， D正确， C错误.
故选：AD.