数学八年级上册（2024）17.1 等腰三角形教课内容ppt课件

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等腰三角形的有关概念等腰三角形的性质等边三角形及其性质等腰三角形的判定定理等边三角形的判定定理
1. 等腰三角形  有两边相等的三角形叫做等腰三角形 .
2. 等腰三角形的有关概念在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角. 顶角是直角的等腰三角形叫作等腰直角三角形.
注意：(1) 在描述等腰三角形的角和边时，一般要说明是顶角还是底角、是腰还是底边. 如果没有明确说明，那么要考虑所有可能的情况.(2)等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，但底角只能是锐角.
特别解读确定等腰三角形的两条腰时，应找三角形中相等的两边，腰与三角形本身的位置无关.
一个等腰三角形的两边长分别为4 和6，求这个等腰三角形的周长.
考向：利用等腰三角形的定义解决线段问题
解题秘方：根据等腰三角形的定义确定腰和底边的长，再利用三角形的三边关系进行判断并计算.
解：∵ 等腰三角形的底边长和腰长不确定，∴需分两种情况讨论 .当 4 为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为 4， 4， 6，∵ 4+4>6，满足三角形的三边关系，∴ 周长 =4+4+6=14；当 6 为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为 4， 6， 6，∵ 4+6>6，满足三角形的三边关系， ∴ 周长 =6+6+4=16.综上可知，这个等腰三角形的周长为 14 或 16.
1-1.已知等腰三角形的一边长为 5，周长为 20， 则它 的腰长为________ .
1-2. [ 中考·苏州 ] 定义：一个三角形的一边长是另一边长的 2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形” . 若等腰三角形 ABC 是 “倍长三角形”，底边 BC 的长为 3，则腰AB 的长为 _________．
1. 对称性 等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．2. 性质定理 1 等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”) .3. 性质定理 2 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”) .
必须在同一个三角形中.
它们所在的直线是等腰三角形的对称轴.
4. 有关等腰三角形的性质的一些结论(拓展)(1)等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等.(2)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.(3)等腰三角形底边上的高(或底边上的中线或顶角平分线)上任意一点到两腰的距离相等.
特别提醒1. “等边对等角”是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便.2. “三线合一”应用的前提必须是等腰三角形，且是底边上的高、底边上的中线和顶角平分线重合，而同一腰上的高、中线则不一定重合.
[母题 教材 P162 例1 ]如图 17.1-1，在△ ABC 中， AB=AC，BD，CE 分别是 AC， AB 边上的高 . 求证： BD=CE.
考向：利用等腰三角形的性质定理解决问题
题型1 “等边对等角”在证明中的应用
解题秘方：利用等腰三角形的性质定理为证明△ BEC 和△ CDB 全等创造条件 .
2-1. [中考·烟台]如图，点 C 为线段 AB 上一点，分别以 AC， BC 为等腰三角形的底边，在 AB 的同侧作等腰三角形 ACD和等腰三角形 BCE，且∠ A= ∠ CBE . 在线段EC 上取一点 F，使 EF=AD，连接 BF， DE，求证： DE=BF．
证明：∵△ACD，△BCE都是等腰三角形，∴AD＝CD，∠A＝∠DCA，CE＝EB.∵∠A＝∠CBE，∴∠DCA＝∠CBE.∴DC∥BE.∴∠DCE＝∠FEB.∵EF＝AD，AD＝CD，∴CD＝EF.又∵CE＝EB，∴△DCE≌△FEB(SAS)．∴DE＝BF.
如图 17.1-2， AB=AE， BC=DE，∠ B= ∠ E， AM ⊥CD，垂足为 M. 求证： CM=MD.
题型2 “三线合一”在证明中的应用
解题秘方：由已知AM ⊥ CD 和结论CM=MD，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此连接AC，AD，构造等腰三角形.
方法点拨：等腰三角形中几种常见的作辅助线的方法：(1)如图 17.1-3 甲的情 形，需作底边 上的高；(2)如图17.1-3 乙的情形，需作顶角平分线；(3)如图 17.1-3 丙的情形，需连接 AD 并延长，再证是“三线” .
3-1. 如图，在 △ ABC中， AB=AC， ∠ BEF=∠ CFH， BE=CF， M 是EH 的中点 .求证： FM⊥EH.
如图 17.1-4， 在△ ABC中， AB=AC， AD平分∠ BAC.(1)求∠ ADB 的度数；(2)若∠ BAC=100°，求∠ B，∠ C 的度数；(3)若 BC=3 cm，求 BD 的长 .
题型3 等腰三角形的性质定理在求边和角中的应用
解题秘方：紧扣等腰三角形的性质定理进行解答.
解： ∵ AB=AC， AD 平分∠ BAC，∴ AD ⊥ BC. ∴∠ ADB=90° .
(1)求∠ ADB 的度数；
(2)若∠ BAC=100°，求∠ B，∠ C 的度数；(3)若 BC=3 cm，求 BD 的长 .
4-1.如图，在△ABC中，AB=AC=7 cm， AD⊥ BC于点 D，点 E 在 AC 上，且 AE=AD .(1)若△ ABC的周长是24 cm，求线段BD的长；
(2)若∠ B=50° ，求∠ CDE 的度数.
1. 等边三角形 三边都相等的三角形叫作等边三角形. 等边三角形是等腰三角形的特例.2. 等边三角形的性质定理 等边三角形的各角都等于60°.
3. 等边三角形的其他性质(1)等边三角形是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线；(2)等边三角形各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等.
特别解读等边三角形是特殊的等腰三角形，所以：(1)任意两边都可以作为腰；(2)任意一个角都可以作为顶角；(3)任意一边上都有“三线合一” .
如图17.1-5，△ ABC 是等边三角形，D，E，F 分别是三边AB，AC，BC 上的点，且DE ⊥ AC，EF ⊥ BC，FD ⊥ AB，求△ DEF 各个内角的度数.
考向：利用等边三角形的性质解决问题
题型1 等边三角形的性质在求角度中的应用
解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角都等于60°求角的度数.
解：∵△ ABC 是等边三角形， ∴∠ A= ∠ B= ∠ C=60° .∵ DE ⊥ AC， EF ⊥ BC， FD ⊥ AB，∴∠ AED= ∠ EFC= ∠ FDB=90° .∴∠ ADE=180°－∠ AED－∠ A=30° .∴∠ EDF=180°－30°－90° =60° .同理可得∠ DEF= ∠ EFD=60° ，∴△ DEF 各个内角的度数都是 60° .
5-1. [ 二模·廊坊广阳区 ] 在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠ 1 与∠ 2的和总是一个定值，则∠ 1+ ∠ 2= ___________.
点拨：如图，∠1＋∠2＝(∠3＋∠4)＋(∠3＋∠5)＝∠3＋(∠3＋∠4＋∠5)＝60°＋180°＝240°.
如图17.1-6，BD 是等边三角形 ABC 的中线，以 D 为圆心， DB 的长为半径画弧，交 BC 的延长线于点 E，连接DE．求证： CD=CE.
解题秘方：利用等边三角形的性质，将线段的问题转化为角的问题 .
题型2 等边三角形的性质在解决线段问题中的应用
6-1.如图，△ ABC 为等边三角形，点 E， F 分别在边AC， BC 上， AE=CF，BE=10， AF 与BE 相交于点 D， AD=3.(1)求证：△ ABF ≌△ BCE；
(2)求 DF 的长度 .
解：∵△ABF≌△BCE，∴AF＝BE＝10.又∵AF＝AD＋DF，AD＝3，∴DF＝7.
1. 判定定理如有两个角相等的三角形是等腰三角形. 在等腰三角形中，两个相等的角所对的边相等. (简称“等角对等边”)
2. 等腰三角形的性质定理与判定定理的异同
特别提醒1. 等腰三角形的定义也是等腰三角形的一种判定方法.2. “等角对等边”不能叙述为“如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”，因为在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词.
3. 已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形已知：如图 17.1-7，线段 a 和 h.求作：等腰三角形 ABC，使 BC=a，高 AD=h.作法：如图 17.1-8. (1)作线段 BC=a.(2)作 BC 的垂直平分线 MN，交 BC 于点 D.(3)在射线 DM 上截取 DA=h.(4)连接 AB， AC. △ ABC 即为所求 .
依据∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，∴ AB=AC.∴△ABC为等腰三角形.
如图 17.1-9， 在△ ABC 中， P 是 BC 边上一点，过点 P作 BC 的垂线，交 AB 于点 Q，交 CA 的延长线于点 R，且 AQ=AR，求证：△ ABC 是等腰三角形.
考向：利用等腰三角形的判定定理判定等腰三角形
题型1 “等角对等边”在判定等腰三角形中的应用
解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需证明三角形中两个内角相等即可.
证明： ∵ AQ=AR， ∴∠ R= ∠ AQR.又∵∠ BQP= ∠ AQR， ∴∠ R= ∠ BQP.∵ RP ⊥ BC， ∴∠ RPB= ∠ RPC=90° .∴∠ B+ ∠ BQP=90° ， ∠ C+ ∠ R=90° .∴∠ B= ∠ C. ∴ AB=AC，即△ ABC 是等腰三角形 .
7-1. [期末·邢台]如图，在 △ ABC 中， ∠ A=36°，∠B = 72°， CD 平分∠ ACB， DE ∥ AC，则图中的等腰三角形共有(     ) A. 2 个 B. 3 个C. 4 个 D. 5 个
[母题 教材 P166 习题 T4 ]如图 17.1-10， 在△ ABC 中，∠ ABC，∠ CAB 的平分线交于点 P，过点 P 作 DE ∥ AB，分别交BC， AC 于点 D， E. 求证： DE=BD+AE.
题型2 “等角对等边”在证明线段和差关系中的应用
解题秘方：由平行线的性质结合角平分线的定义可证明DP=DB， PE=AE，即可证得结论 .
证明： ∵ DE ∥ AB， ∴∠ ABP= ∠ DPB.∵ BP 平分∠ ABC，∴∠ ABP= ∠ DBP.∴∠ DBP= ∠ DPB. ∴ DP=DB.同理可得 EP=EA. ∴ DE=DP+EP=BD+AE.
角平分线 + 平行线等腰三角形.
8-1. [ 期末· 石家庄 ] 如图，在△ ABC 中，过点 A 的直线 DE∥ BC，∠ ABC 与∠ ACB 的平分线分别交 DE 于 E，D 两点，求证： DE=AB+AC.
证明：∵DE∥BC，∴∠EBC＝∠E.∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE.∴∠E＝∠ABE.∴AB＝AE.同理可得AD＝AC，∴DE＝AD＋AE＝AB＋AC.
1. 判定定理 1 三个角都相等的三角形或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
特别解读等边三角形的判定方法：若已知三边关系， 一般选用思路1 判定；若已知三角关系，一般选用“思路2”判定；若已知该三角形是等腰三角形， 一般选用“思路3”判定.
考向：利用等边三角形的判定定理判定等边三角形
题型1 “三个角都相等的三角形是等边三角形”在判定等边三角形中的应用
如图 17.1-11，在等边三角形 ABC 中，∠ ABC 和 ∠ ACB的平分线相交于点 O， OB， OC 的垂直平分线分别交 BC 于点 E， F，连接 OE， OF. 求证：△ OEF 是等边三角形 .
解题秘方：利用“三个角都相等的三角形是等边三角形”，通过求∠ OEF =∠ OFE =60° ，得 △ OEF 是等边三角形 .
证明： ∵△ ABC 是等边三角形，∴∠ ABC= ∠ ACB=60° .∵ BO 平分∠ ABC， ∴∠ OBE=30° .∵ OB 的垂直平分线交 BC 于点 E，∴ OE=BE. ∴∠ BOE= ∠ OBE=30° .∴∠ OEF= ∠ BOE+ ∠ OBE=60° . 同理可得∠ OFE=60° .∴∠ EOF=60° . ∴∠ OEF= ∠ OFE= ∠ EOF.∴△ OEF 是等边三角形 .
9-1.如图，△ ABC 为等边三角形，∠ 1= ∠ 2=∠ 3，求证：△ DEF 是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°.又∵∠1＝∠2＝∠3，∠FDE＝∠ABE＋∠1，∴∠FDE＝∠ABE＋∠2＝∠ABC＝60°.同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°，∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD.∴△DEF是等边三角形．
如图 17.1-12，点 C 为线段 AB 上一点，△ ACM， △ CBN都是等边三角形， AN， MC 相交于点 E， BM， CN 相交于点 F，连接 EF. 求证：(1) AN=BM；(2)△ CEF 是等边三角形 .
题型2 “有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”在判定等边三角形中的应用
解题秘方：要证明AN=BM，只需证明△ ACN ≌△ MCB；
解题秘方：根据已知条件，易求∠ ECF=60°，故再证明△ ECF为等腰三角形即可.
(2)△ CEF 是等边三角形 .
10-1.如图，在△ ABC中， DE 是边 BC 的垂直平分线，分别交边AC，BC 于点 D， E， BF⊥ AC于点 F，且 F 为线段 AD的中点，延长 BF 与 BC的垂直平分线交于点G，连接 CG.(1)若 D 是AC 的中点，求证： AC=2AB；
(2)若∠ ACB=30°，求证：△ BGC 为等边三角形．
证明：∵BF⊥AC，∴∠BFC＝90°.又∵∠ACB＝30°，∴∠GBC＝60°.∵DE是边BC的垂直平分线，∴GB＝GC.∴△BGC为等边三角形．
10-2.如图，△ ABC 为等边三角形， D 为 BC 边上一点 . 在△ ABC 的外角∠ACF 的平分线 CE上取点 E，使CE=BD，连接 AD， AE， DE. 请判断△ ADE 的形状，并说明理由 .
∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE.又∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝60°，∴∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝60°.∴△ADE为等边三角形．