新高考数学一轮复习核心考点练习第5章§5.2平面向量基本定理及坐标表示（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习核心考点练习第5章§5.2平面向量基本定理及坐标表示（2份，原卷版+解析版），共51页。试卷主要包含了2　平面向量基本定理及坐标表示，平面向量的基本定理，平面向量的正交分解，平面向量的坐标运算，平面向量共线的坐标表示等内容，欢迎下载使用。
【知识梳理】
1.平面向量的基本定理
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
【名师点拨】
1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.
2.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)设a，b是平面内的一个基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( )
(3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( )
2.设平面向量a＝(－1，0)，b＝(0，2)，则2a－3b等于( )
A.(6，3)B.(－2，－6)
C.(2，1)D.(7，2)
3.在正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )
A.12B.－12C.1D.－1
4.已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为 .
【名师点拨】
1.熟记以下常用结论
(1)如果对于一个基底{e1，e2}，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，那么可以得到λ1＝μ1,λ2＝μ2,即基底给定，同一向量的分解形式唯一.特别地，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0.
(2)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G点坐标为x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33.
2.谨防三个易误点
(1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量.
(2)a∥b的充要条件不能表示为x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能为0.
(3)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
【必练核心题型】
题型一 平面向量基本定理的应用
【典例】1.(2025·盐城模拟)若{a，b}是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是( )
A.a－b，b－aB.2a＋b，a＋12b
C.2b－3a，6a－4bD.a＋b，a－b
【典例】2.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若CG＝λCD＋μCB(λ，μ∈R)，则λμ＝ .
【变式训练】
变式1.(2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则CB等于( )
A.3m－2nB.－2m＋3n
C.3m＋2nD.2m＋3n
变式2.在△ABC中，点D在边AB的延长线上，AB＝2BD，CB＝mCA＋nCD，m，n∈R，则( )
A.m＝23，n＝12B.m＝13，n＝23
C.m＝23，n＝13D.m＝－13，n＝43
题型二 平面向量的坐标运算
【典例】2.在平行四边形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则CO的坐标为( )
A.−12，5B.12，5
C.−12，−5D.12，−5
【典例】2.如图，在7×5正方形网格中，向量a，b满足a⊥b，则AB－AD＋BC等于( )
A.2a＋32bB.－2a－32b
C.－3a＋12bD.3a－12b
【变式训练】
变式1.已知点A(0，1)，B(2，3)，向量BC＝(－3，1)，则向量AC等于( )
A.(1，－2)B.(－1，2)
C.(1，－3)D.(－1，3)
变式2.(2025·成都模拟)在正方形ABCD中，M是BC的中点.若AC＝λAM＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( )
A.43B.53C.158D.2
题型三 向量共线的坐标表示
【典例】1.(2024·临沂模拟)已知向量a＝(3，m)，b＝−1，13，若a∥b，则m等于( )
A.1B.－1C.9D.－9
【典例】2.已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为 .
【变式训练】
变式1.(2025·景德镇模拟)已知向量a＝(2，3)，b＝(2，sin α－3)，c＝(2，cs α)，若(a＋b)∥c，则tan α的值为( )
A.2B.－2C.12D.－12
变式2.已知向量a＝(1，4)，b＝(2，3)，若c∥(a－b)，且|c|＝1，则c的坐标为 .
【拓展训练】
定比分点坐标公式
定比分点是中点、三等分点的延伸拓展，在解决平面向量和解析几何题目中都有应用.
如图，线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上异于P1，P2的点，当P1P＝λPP2(λ≠0且λ≠－1)时，OP＝11＋λOP1＋λ1＋λOP2，点P的坐标是x1＋λx21＋λ，y1＋λy21＋λ，当λ>0时，点P在线段P1P2上，称为内分点；当λ