2026年重庆市中考数学试卷及答案

这是一份2026年重庆市中考数学试卷及答案，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）3的倒数是（ ）
A．﹣3B．−13C．13D．3
2．（4分）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）2026重庆马拉松于今年1月18日举行，赛事总规模为25000人．数据25000用科学记数法表示为（ ）
A．25×103B．2.5×104C．0.25×105D．2.5×105
4．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上．若∠ACB＝40°，则∠AOB的度数是（ ）
A．140°B．100°C．90°D．80°
5．（4分）下列事件中，一定会发生的是（ ）
A．从只有白球的袋中摸出白球
B．明天一定会下雨
C．随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数
D．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是7
6．（4分）醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物，如图是这类物质的分子结构式，其中C，H，O分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4个氢原子，第②个图中有6个氢原子，第③个图中有8个氢原子，第④个图中有10个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是（ ）
A．14B．16C．18D．20
7．（4分）在反比例函数y=2x中，若1＜x＜2，则y的取值范围为（ ）
A．12＜y＜1B．1＜y＜2C．﹣1＜y＜−12D．﹣2＜y＜﹣1
8．（4分）中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，则可列方程组为（ ）
A．5x+y=3x+5y=2B．5x−y=3x+5y=2
C．5x+y=3x−5y=2D．5x−y=3x−5y=2
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且CE＝2BE，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，连接BF并延长交CD于点G，连接CF，则△BEF与△CFG的面积之比为（ ）
A．79B．34C．57D．23
10．（4分）已知整式M：a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n，an为正整数，a0，a1，a2，…，an﹣1为整数，a0＜a1＜a2＜…＜an，且n+|a0|+|a1|+…+|an|＝6．下列说法：
①当n＝1时，满足条件的所有整式M的和为22x﹣7；
②当n＝2时，若函数y＝M+x的图象关于y轴对称，则满足条件的整式M有且仅有1个；
③满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式M共有2个．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11．（4分）某学校决定从九年级的五个备选节目A，B，C，D，E中随机抽取一个参加展演，则抽到节目A的概率为 ．
12．（4分）如图，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1＝58°，则∠2的度数是 ．
13．（4分）满足7＜n＜29的整数n的值可以是 （写一个即可）．
14．（4分）若实数x，y同时满足x﹣|y+2|＝6，|x|﹣2y＝13，则xy的值为 ．
15．（4分）自然数m与n均为两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和为9，且m与n的乘积为三位数．则m+n的最小值为 ；当m＞n时，存在正整数k，使得k2＝m2﹣n2，则满足条件的所有k的值之和为 ．
16．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，D在⊙O上，AD＝12，BE经过圆心O，且BE⊥AD，垂足为E，OE＝8．连接OC交⊙O于点F，连接FB并延长交⊙O于点G，BE＝OC，则OB的长度为 ，BG的长度为 ．
三、解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
17．（8分）解不等式组：3x+4≥x①3x+54＜x+1②．
18．（8分）先化简，再求值：(x−1x+1)÷4x2−4x+1x，其中x＝30．
19．（10分）早在2005年，重庆就被茅以升桥梁委员会认定为中国“桥都”．为了解学生对重庆桥梁的知悉程度，某学校开展了“桥梁知识知多少”的竞赛活动．现从该学校七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分为100分，成绩均不低于60分），对七年级抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，绘制了如下统计图：
七年级抽取20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：85，87，87，89，89，89，89．
八年级抽取20名学生的竞赛成绩是：65，66，68，73，75，79，81，83，84，84，85，88，89，89，93，93，93，95，97，100．
经计算发现，七年级抽取学生的竞赛成绩的众数是89，八年级抽取学生的竞赛成绩的中位数是84.5，七、八年级抽取学生的竞赛成绩的平均数均为84．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请你直接写出条形统计图中m的值、七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数以及八年级抽取学生的竞赛成绩的众数；
（2）该学校七年级有学生320人，八年级有学生300人，请估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？
（3）根据以上数据，你认为该学校七、八年级中哪个年级此次竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）．
20．（10分）综合与实践
在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究．
【动手操作】
如图，在▱ABCD中，AB＜BC．用尺规完成基本作图：作出∠ABC的平分线，交AD于点E．
【问题提出】
他们猜想DE，BC，AB之间存在以下数量关系：DE＝BC﹣AB．
【问题解决】
任务：
（1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明．
21．（10分）列方程解下列问题：
某企业承担了一款智能机器人的A，B两种型号配件的生产任务．已知该企业每天生产A型配件的数量比每天生产B型配件的数量少30个，且3天生产的A型配件的数量与1天生产的B型配件的数量相等．
（1）求该企业每天生产A，B型配件的数量分别是多少个？
（2）如果该企业每天生产A，B型配件的数量分别减少a个和2a个，那么生产200个A型配件的天数与生产700个B型配件的天数相同，求a的值．
22．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6cm，BC＝8cm．点E以每秒1cm的速度沿B→C方向运动，点F在直线AB上运动，且满足S△BEF＝2cm2．点G与点E同时出发，以每秒2cm的速度沿折线D→C→A方向运动．设运动时间为x秒（0＜x＜8），点F与点B的距离为y1，点G与点C的距离为y2．
（1）请直接写出y1，y2关于x的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围；
（2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；结合函数图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
23．（10分）重庆今年首次在义务教育阶段学校探索实施春秋假．春假期间，甲、乙两位同学相约去某景区游玩．如图，大门A，猴山B，古塔C，游乐场D为景区内在同一平面内的四个景点．D位于A的正东方向3千米处，B位于A的正南方向且位于D的南偏西30°方向，C位于B的南偏东75°方向且位于D的南偏东30°方向．
（1）求BC的长度（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45，结果保留小数点后一位）；
（2）现甲从B出发沿BD方向前往D，乙从D出发沿DC方向前往C，两人同时出发，乙的速度是甲的速度的2倍．途中乙接到甲询问位置的电话，乙利用导航发现此时两人的直线距离为4千米，求此时甲离D处多少千米？
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−14x2+bx+c与x轴交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，1），连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）P是线段BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC，垂足为D，E是x轴上一动点，连接PE．当PD的长度取得最大值时，求点P的坐标及PE+22AE的最小值；
（3）将抛物线沿射线CA方向平移2个单位长度得到抛物线y′，点B的对应点为F，M是平移后抛物线y′上一点，直线AM交直线BF于点N，且∠ANB＝∠ACB﹣90°．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程．
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，以BC为斜边在BC上方作等腰直角三角形BCD．
（1）如图1，若∠ABC＝30°，BD＝3，求AC的长度；
（2）如图2，连接AD，将线段DA绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，延长ED交BC于点F，连接CE．点G，H分别是AB，CE的中点，连接DG，GH．求证：BC﹣AC=2GH；
（3）如图3，BC＝12，AC＝3，点P在直线BC上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°得到线段DQ，连接AQ．点M在直线AB上，连接DM，QM，将△DMQ沿直线DM翻折至△ABC所在平面内得到△DMN，连接CN．当AQ+DQ取得最小值时，连接CQ，NQ，请直接写出△CQN面积的最大值．
2026年重庆市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）3的倒数是（ ）
A．﹣3B．−13C．13D．3
【分析】利用倒数的定义求解即可．
【解答】解：3的倒数是13．
故选：C．
【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2．（4分）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，可得选项C的图形．
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
3．（4分）2026重庆马拉松于今年1月18日举行，赛事总规模为25000人．数据25000用科学记数法表示为（ ）
A．25×103B．2.5×104C．0.25×105D．2.5×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：25000＝2.5×104．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上．若∠ACB＝40°，则∠AOB的度数是（ ）
A．140°B．100°C．90°D．80°
【分析】由圆周角定理，即可得到答案．
【解答】解：∵∠ACB＝40°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝80°．
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，关键是掌握圆周角定理．
5．（4分）下列事件中，一定会发生的是（ ）
A．从只有白球的袋中摸出白球
B．明天一定会下雨
C．随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数
D．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是7
【分析】根据必然事件和随机事件的定义得出结论即可．
【解答】解：A、从只有白球的袋中摸出白球是必然事件，故此选项符合题意；
B、明天一定会下雨是随机事件，故此选项不符合题意；
C、随意翻到一本书的某页，该页的页码是偶数是随机事件，故此选项不符合题意；
D、抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是7是不可能事件，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查随机事件和必然事件的定义，熟练掌握必然事件和随机事件的定义是解题的关键．
6．（4分）醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物，如图是这类物质的分子结构式，其中C，H，O分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4个氢原子，第②个图中有6个氢原子，第③个图中有8个氢原子，第④个图中有10个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是（ ）
A．14B．16C．18D．20
【分析】根据所给图形，依次求出图中氢原子的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第①个图中氢原子的个数为：4＝1×2+2，
第②个图中氢原子的个数为：6＝2×2+2，
第③个图中氢原子的个数为：8＝3×2+2，
…，
第n个图中氢原子的个数为2n+2．
当n＝9时，
第⑨个图中氢原子的个数为：2×9+2＝20．
故选：D．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形得出氢原子个数变化的规律是解题的关键．
7．（4分）在反比例函数y=2x中，若1＜x＜2，则y的取值范围为（ ）
A．12＜y＜1B．1＜y＜2C．﹣1＜y＜−12D．﹣2＜y＜﹣1
【分析】依据题意，由反比例函数为y=2x，其中k＝2＞0，则该函数的图象分布在第一、第三象限，并在每个象限内y随x的增大而减小，从而当1＜x＜2时，1＜y＜2，从而可以得解．
【解答】解：由题意，∵反比例函数为y=2x，其中k＝2＞0，
∴该函数的图象分布在第一、第三象限，并在每个象限内y随x的增大而减小，
∴当1＜x＜2时，1＜y＜2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．
8．（4分）中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛．大小容器的容量分别是多少斛？设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，则可列方程组为（ ）
A．5x+y=3x+5y=2B．5x−y=3x+5y=2
C．5x+y=3x−5y=2D．5x−y=3x−5y=2
【分析】根据“5个大容器和1个小容器的总容量为3斛（斛是过去的一种量器），1个大容器和5个小容器的总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【解答】解：根据题意得：5 x+y=3x+5y=2．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且CE＝2BE，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，连接BF并延长交CD于点G，连接CF，则△BEF与△CFG的面积之比为（ ）
A．79B．34C．57D．23
【分析】设BE＝a（a＞0），则CE＝2a，AD＝CD＝BC＝3a，DE=13a，先得出△ADF∽△DEC，则可得DF的长，再过点F作FM⊥BC于点M，作FN⊥CD于点N，得出△DFN∽△DEC，△BCG∽△BMF，求出FN，FM，CG的长，进而求出△BEF与△CFG的面积即可．
【解答】解：设BE＝a（a＞0），
∵CE＝2BE，
∴CE＝2a，BC＝BE+CE＝3BE＝3a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD＝BC＝3a，
∴∠ADF+∠CDE＝90°，DE=CD2+CE2=13a，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°，∠ADF+∠FAD＝90°，
∴∠FAD＝∠CDE，
在△ADF和△DEC 中，
∠FAD=∠CDE∠AFD=∠DCE=90°，
∴△ADF∽△DEC，
∴DFCE=ADDE，即DF2a=3a13a，
解得DF=613a13，
如图，过点F作FM⊥BC于点M，作FN⊥CD于点N，
∴四边形CMFN是矩形，
∴FM＝CN，FN＝CM，FN∥BC，FM∥CD，
∴△DFN∽△DEC，
∴FNCE=DNCD=DFDE，即FN2a=DN3a=613a13a，
解得FN=12a13，DN=18a13，
∴BM=BC−CM=BC−FN=27a13，FM=CN=CD−DN=21a13，
又∵FM∥CD，
∴△BCG∽△BMF，
∴CGMF=BCBM，即CG21a13=3a27a13，
解得CG=7a3，
∴S△BEF=12BE⋅FM=12a⋅21a13=21a226，S△CFG=12CG⋅FN=12×7a3⋅12a13=14a213，
∴△BEF与△CFG的面积之比为21a22614a213=34，
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
10．（4分）已知整式M：a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n，an为正整数，a0，a1，a2，…，an﹣1为整数，a0＜a1＜a2＜…＜an，且n+|a0|+|a1|+…+|an|＝6．下列说法：
①当n＝1时，满足条件的所有整式M的和为22x﹣7；
②当n＝2时，若函数y＝M+x的图象关于y轴对称，则满足条件的整式M有且仅有1个；
③满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式M共有2个．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据题意和n的取值，分别确定相应a0，a1，a2的值，进而可得M的值，然后计算整式的加减、因式分解逐个判断即可．
【解答】解：①当n＝1时，1+|a0|+|a1|＝6，即|a0|+|a1|＝5，
∵a0＜a1，a1为正整数，
∴|a0|+a1＝5，
当a1＝1时，则|a0|＝4，解得a0＝﹣4或a0＝4＞a1（舍去），此时M＝﹣4+x；
当a1＝2时，则|a0|＝3，解得a0＝﹣3或a0＝3＞a1（舍去），此时M＝﹣3+2x；
当a1＝3时，则|a0|＝2，解得a0＝﹣2或a0＝2，此时M＝﹣2+3x或M＝2+3x；
当a1＝4时，则|a0|＝1，解得a0＝﹣1或a0＝1，此时M＝﹣1+4x或M＝1+4x；
当a1＝5时，则|a0|＝0，解得a0＝0，此时M＝5x，
则满足条件的所有整式M的和为（﹣4+x）+（﹣3+2x）+（﹣2+3x）+（2+3x）+（﹣1+4x）+（1+4x）+5x＝22x﹣7，说法①正确；
②当n＝2时，M=a0+a1x+a2x2，2+|a0|+|a1|+|a2|＝6，即|a0|+|a1|+|a2|＝4，
由题意可知，a2为正整数，a0，a1为整数，且a0＜a1＜a2，
∴|a0|+|a1|+a2＝4，
∵函数y=M+x=a2x2+(a1+1)x+a0的图象关于y轴对称，
∴a1+1＝0，即a1＝﹣1，
∴|a0|+|﹣1|+a2＝4，
解得|a0|＝3﹣a2，
∵a0＜a1＜a2，
∴a0＜﹣1＜a2，
∴|a0|＞1，
∴3﹣a2＞1，解得a2＜2，
又∵a2为正整数，
∴a2＝1，|a0|＝3﹣1＝2，
∴a0＝﹣2或a0＝2＞﹣1（舍去），
∴满足条件的整式M＝﹣2﹣x+x2，有且仅有1个，说法②正确；
③∵整式M是二次二项式，
∴n＝2，且M只有两个非零项，同②可得：|a0|+|a1|+a2＝4，a2为正整数，
∴在这个二次二项式中，a1＝0或a0＝0，
（Ⅰ）当a1＝0时，M=a0+a2x2，|a0|+a2＝4，a0＜0＜a2，
∴a2＝4﹣|a0|＝4+a0＞0，
∴a0＞﹣4，
∴当a0＝﹣1，a2＝3时，M＝3x2﹣1，不能在有理数范围因式分解，舍去；
当a0＝﹣2，a2＝2时，M＝2x2﹣2＝2（x﹣1）（x+1），能在有理数范围因式分解；
当a0＝﹣3，a2＝1时，M＝x2﹣3，不能在有理数范围因式分解，舍去；
（Ⅱ）当a0＝0时，M=a1x+a2x2，|a1|+a2＝4，0＜a1＜a2，
∴a1+a2＝4，
∴只有a1＝1，a2＝3符合，此时M＝3x2+x＝x（3x+1），能在有理数范围因式分解；
综上，满足条件的所有二次二项式中，在有理数范围内能因式分解的整式M共有2个；说法③正确；
所以说法正确的个数是3个．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的应用是解题的关键．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11．（4分）某学校决定从九年级的五个备选节目A，B，C，D，E中随机抽取一个参加展演，则抽到节目A的概率为 15 ．
【分析】根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵总共五个备选节目A，B，C，D，E，
∴随机抽取一个参加展演，抽到节目A的概率为15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．（4分）如图，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1＝58°，则∠2的度数是 58° ．
【分析】根据图形位置关系，∠1与∠2位于两条平行线之间且在截线两侧，互为内错角．依据“两直线平行，内错角相等”的性质，可直接得出∠2＝∠1．因为已知∠1＝58°，所以∠2 的度数也是58°．
【解答】解：根据“两直线平行，内错角相等”的性质，
因为a∥b，
所以∠2＝∠1＝58°，
故答案为：58°．
【点评】题目考查了平行线的性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用．
13．（4分）满足7＜n＜29的整数n的值可以是 4（答案不唯一） （写一个即可）．
【分析】分别估算7、29的取值范围，即可得出整数n的一个值．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴2＜7＜3，
∵25＜29＜36，
∴5＜29＜6，
∵7＜n＜29，
∴2＜n＜6，
∴整数n可以是4，
故答案为：4（答案不唯一）．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
14．（4分）若实数x，y同时满足x﹣|y+2|＝6，|x|﹣2y＝13，则xy的值为 ﹣21 ．
【分析】根据x﹣|y+2|＝6，得到|y+2|＝x﹣6，由绝对值的非负性推出x≥6，则可推出x＝2y+13，进而得到|y+2|＝2y+7，解方程求出y的值，进而求出x的值，最后代入求值即可．
【解答】解：∵x﹣|y+2|＝6，
∴|y+2|＝x﹣6，
∵|y+2|≥0，
∴x﹣6≥0，
∴x≥6；
∵|x|﹣2y＝13，
∴x﹣2y＝13，
∴x＝2y+13，
∴|y+2|＝2y+13﹣6，
∴|y+2|＝2y+7，
∴y+2＝2y+7或y+2＝﹣（2y+7），
解得y＝﹣5或y＝﹣3，
当y＝﹣5时，x＝2×（﹣5）+13＝3＜6，此时不满足题意；
当y＝﹣3时，x＝2×（﹣3）+13＝7＞6，此时满足题意；
∴xy＝7×（﹣3）＝﹣21，
故答案为：﹣21．
【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值是解题的关键．
15．（4分）自然数m与n均为两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和为9，且m与n的乘积为三位数．则m+n的最小值为 29 ；当m＞n时，存在正整数k，使得k2＝m2﹣n2，则满足条件的所有k的值之和为 28 ．
【分析】设两个自然数的十位上的数字为a（1≤a≤9，且a为整数），自然数m的个位上的数字为b（0≤b≤9，且b为整数），则自然数n的个位上的数字为9﹣b，表示出 m，n，根据 m+n的化简结果确定其和a的关系，结合乘积为三位数的条件求出 m+n的最小值，再利用平方差公式变形k2＝m2﹣n2，根据完全平方数的性质枚举所有可能，计算所有k的和即可．
【解答】解：设两个自然数的十位上的数字为a（1≤a≤9，且a为整数），自然数m的个位上的数字为b（0≤b≤9，且b为整数），则自然数n的个位上的数字为9﹣b，
∴m＝10a+b，n＝10a+9﹣b，
∴m+n＝（10a+b）+（10a+9﹣b）＝20a+9，mn＝（10a+b）（10a+9﹣b）＝100a2+90a+b（9﹣b），
要使m+n＝20a+9最小，需a最小，
则当a＝1时，m+n的最小值为20×1+9＝29，
此时mn＝100+90+b（9﹣b）＝﹣b2+9b+190＝﹣（b−92）2+8414，
由二次函数的性质可知，当b＝4或b＝5时，mn的值最大，最大值为−(4−92)2+8414=210＜1000或−(5−92)2+8414=210＜1000，符合题意．
当m＞n时，m﹣n＝（10a+b）﹣（10a+9﹣b）＝2b﹣9＞0，
解得b＞4.5，
∴5≤b≤9，且b为整数，
∴1≤2b﹣9≤9，
∴k2＝m2﹣n2，
∴k2＝（m﹣n）（m+n）＝（2b﹣9）（20a+9），
又∵2b﹣9为奇数，且1≤2b﹣9≤9，
∴2b﹣9所有可能的取值为1，3，5，7，9，
①当2b﹣9＝1，即b＝5时，k2＝20a+9mn＝（10a+5）（10a+4），
∵1≤a≤9，且a为整数，
∴当a＝2时，k2＝49，
此时正整数k＝7，mn＝（10×2+5）×（10×2+4）＝600＜1000，符合题意；
当a＝8时，k2＝169，
此时正整数k＝13，mn＝（10×8+5）×（10×8+4）＝7140＞1000，不符合题意，舍去；
②当2b﹣9＝3，即b＝6时，k2＝3（20a+9），mn＝（10a+6）（10a+3），
同理可得：没有符合条件的a，使得正整数k满足k2＝3（20a+9）；
③当2b﹣9＝5，即b＝7时，k2＝5（20a+9），mn＝（10a+7）（10a+2），
同理可得：没有符合条件的a，使得正整数k满足k2＝5（20a+9）；
④当2b﹣9＝7，即b＝8时，k2＝7（20a+9），mn＝（10a+8）（10a+1），
同理可得：没有符合条件的a，使得正整数k满足k2＝7（20a+9）；
⑤当2b﹣9＝9，即b＝9时，k2＝9（20a+9），mn＝10a（10a+9），
当a＝2时，k2＝9×（20×2+9）＝441＝212，
此时正整数k＝21，mn＝10×2×（10×2+9）＝580＜1000，符合题意；
当a＝8时，k2＝9×（20×8+9）＝1521＝392，
此时正整数k＝39，mn＝10×8×（10×8+9）＝7120＞1000，不符合题意，舍去；
综上，满足条件的所有k的值为7和21，它们的和为7+21＝28．
故答案为：29；28．
【点评】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的应用是解题的关键．
16．（4分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A，D在⊙O上，AD＝12，BE经过圆心O，且BE⊥AD，垂足为E，OE＝8．连接OC交⊙O于点F，连接FB并延长交⊙O于点G，BE＝OC，则OB的长度为 5 ，BG的长度为 65 ．
【分析】先得出BE⊥BC，再在Rt△BOC中，利用勾股定理求解可得OB的长度；过点O作OM⊥FG于点M，过点B作BN⊥OC于点N，连接OA，OG，先求出OF的长，再求出BN，FN，BF的长，然后解直角三角形可得FM的长，进而可得FG的长，最后根据BG＝FG﹣BF求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝12，
∴BC＝AD＝12，AD∥BC，
∵BE⊥AD，
∴BE⊥BC，
设BE＝OC＝x（x＞0），
∵OE＝8，
∴OB＝BE﹣OE＝x﹣8，
在Rt△BOC 中，OB2+BC2＝OC2，即（x﹣8）2+122＝x2，解得x＝13，
∴OC＝13，OB＝13﹣8＝5，
如图，过点O作OM⊥FG于点M，过点B作BN⊥OC于点N，连接OA，OG，
BE经过圆心O，且BE⊥AD，
∴AE=12AD=6，
∴OG=OF=OA=AE2+OE2=10，
∵S△BOC=12OC⋅BN=12OB⋅BC，
∴BN=OB⋅BCOC=5×1213=6013，
∴ON=OB2−BN2=52−(6013)2=2513，
∴FN=OF−ON=10−2513=10513，
∴BF=BN2+FN2=(6013)2+(10513)2=156513，
在Rt△BFN中，cs∠BFN=FNBF=76565，
在Rt△FOM中，FM=OF⋅cs∠BFN=146513，
又∵OF＝OG，OM⊥FG，
∴FG=2FM=286513，
∴BG=FG−BF=286513−156513=65，
故答案为：5，65．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，平行四边形的性质，垂径定理，掌握其相关知识点是解题的关键．
三、解答题：（本大题9个小题，第17题、第18题各8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
17．（8分）解不等式组：3x+4≥x①3x+54＜x+1②．
【分析】解各不等式求得对应的解集后求得它们的公共部分即可．
【解答】解：将①移项，合并同类项得：2x≥﹣4，
系数化为1得：x≥﹣2，
将②去分母得：3x+5＜4x+4，
移项，合并同类项得：﹣x＜﹣1，
系数化为1得：x＞1，
故原不等式组的解集为x＞1．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．
18．（8分）先化简，再求值：(x−1x+1)÷4x2−4x+1x，其中x＝30．
【分析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：原式＝（x−1x+xx）•x(2x−1)2
=2x−1x•x(2x−1)2
=12x−1，
当x＝30＝1时，
原式=12−1=1．
【点评】本题考查分式的化简求值、零指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19．（10分）早在2005年，重庆就被茅以升桥梁委员会认定为中国“桥都”．为了解学生对重庆桥梁的知悉程度，某学校开展了“桥梁知识知多少”的竞赛活动．现从该学校七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分为100分，成绩均不低于60分），对七年级抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，绘制了如下统计图：
七年级抽取20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：85，87，87，89，89，89，89．
八年级抽取20名学生的竞赛成绩是：65，66，68，73，75，79，81，83，84，84，85，88，89，89，93，93，93，95，97，100．
经计算发现，七年级抽取学生的竞赛成绩的众数是89，八年级抽取学生的竞赛成绩的中位数是84.5，七、八年级抽取学生的竞赛成绩的平均数均为84．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请你直接写出条形统计图中m的值、七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数以及八年级抽取学生的竞赛成绩的众数；
（2）该学校七年级有学生320人，八年级有学生300人，请估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？
（3）根据以上数据，你认为该学校七、八年级中哪个年级此次竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）．
【分析】（1）用总人数减去其他组的人数即可求出B组人数，然后根据中位数和众数的定义求解；
（2）利用样本估计总体的方法求解；
（3）根据中位数、众数分析判断即可．
【解答】解：（1）七年级抽取20 名学生的竞赛成绩中B组人数m＝20﹣3﹣7﹣4＝6；
∵共有20个数据，
∴中位数为第10个数据和第11个数据的平均数，
∴七年级抽取学生的竞赛成绩的中位数为85+872=86（分）；
∵八年级抽取20名学生的竞赛成绩中93出现的次数最多，
∴八年级抽取学生的竞赛成绩的众数为93分；
（2）320×420+300×620=154(人)，
∴估计该学校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是154人；
（3）八年级此次竞赛成绩较好，理由如下：
∵八年级的众数93大于七年级的众数89，
∴八年级此次竞赛成绩较好；
或七年级此次竞赛成绩较好，理由如下：
∵七年级的中位数86大于八年级的中位数84.5，
∴七年级此次竞赛成绩较好．
【点评】本题考查了数据分析能力，掌握数据分析能力是解题的关键．
20．（10分）综合与实践
在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究．
【动手操作】
如图，在▱ABCD中，AB＜BC．用尺规完成基本作图：作出∠ABC的平分线，交AD于点E．
【问题提出】
他们猜想DE，BC，AB之间存在以下数量关系：DE＝BC﹣AB．
【问题解决】
任务：
（1）请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请帮助该学习小组完成以上猜想的证明．
【分析】（1）作∠ABC的角平分线即可得解；
（2）易证AD＝BC，AB＝AE，即可得证．
【解答】（1）解：如图，BE即所求；
（2）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵AE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵DE＝AD﹣AE，
∴DE＝BC﹣AB．
【点评】本题主要考查了尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
21．（10分）列方程解下列问题：
某企业承担了一款智能机器人的A，B两种型号配件的生产任务．已知该企业每天生产A型配件的数量比每天生产B型配件的数量少30个，且3天生产的A型配件的数量与1天生产的B型配件的数量相等．
（1）求该企业每天生产A，B型配件的数量分别是多少个？
（2）如果该企业每天生产A，B型配件的数量分别减少a个和2a个，那么生产200个A型配件的天数与生产700个B型配件的天数相同，求a的值．
【分析】（1）设该企业每天生产A型配件的数量是x个，每天生产B型配件的数量是y个，根据该企业每天生产A型配件的数量比每天生产B型配件的数量少30个，且3天生产的A型配件的数量与1天生产的B型配件的数量相等，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据该企业每天生产A，B型配件的数量分别减少a个和2a个，生产200个A型配件的天数与生产700个B型配件的天数相同，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设该企业每天生产A型配件的数量是x个，每天生产B型配件的数量是y个，
由题意得：x=y−303x=y，
解得：x=15y=45，
答：该企业每天生产A型配件的数量是15个，每天生产B型配件的数量是45个；
（2）由题意得：20015−a=70045−2a，
解得：a＝5，
经检验，a＝5是原方程的解，且符合题意，
答：a的值为5．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
22．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6cm，BC＝8cm．点E以每秒1cm的速度沿B→C方向运动，点F在直线AB上运动，且满足S△BEF＝2cm2．点G与点E同时出发，以每秒2cm的速度沿折线D→C→A方向运动．设运动时间为x秒（0＜x＜8），点F与点B的距离为y1，点G与点C的距离为y2．
（1）请直接写出y1，y2关于x的函数表达式，并分别写出自变量x的取值范围；
（2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；结合函数图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．
【分析】（1）求y1的函数表达式：先根据点E的运动速度得到BE＝x，再根据∠B＝90°，将直角边BE和BF代入三角形面积公式，可得出BF即y1的表达式；根据点G沿D→C→A运动，G速度为2cm/s，当0＜x≤3时，y2＝6﹣3x，当3＜x＜8时，y2＝2（x﹣3）＝2x﹣6，分两种情况解答；
（2）根据y1，y2的函数类型和自变量取值范围，列表，描点，连线，画出图象．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝6cm，BC＝8cm．
∴∠B＝90°，
∴AC=AD2+CD2=10(cm)，
∵点E以每秒1cm的速度沿B→C方向运动，点F在直线AB上运动，且满足S△BEF=2cm2，运动时间x秒，
∴BE＝xcm，
∴S△BEF=12BE⋅BF=12xy1，
∴12⋅x⋅y1=2，
∴y1=4x(0＜x＜8)；
∵点G沿D→C→A运动，G速度为2cm/s，DC＝AB＝6cm，
∴当0＜x≤3时，y2＝6﹣2x，
当3＜x＜8时，y2＝2（x﹣3）＝2x﹣6，
综上，y2=6−2x(0＜x≤3)2x−6(3＜x＜8)；
（2）列表：
以表中每对x、y1的值和x、y2的值作为点的坐标在平面直角坐标系中描点，用顺滑的线依次连接各点，得到y1和y2的图象．
由图象看出当y1＜y2时，1＜x＜2或3.6＜x＜8．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，掌握其相关知识点是解题的关键．
23．（10分）重庆今年首次在义务教育阶段学校探索实施春秋假．春假期间，甲、乙两位同学相约去某景区游玩．如图，大门A，猴山B，古塔C，游乐场D为景区内在同一平面内的四个景点．D位于A的正东方向3千米处，B位于A的正南方向且位于D的南偏西30°方向，C位于B的南偏东75°方向且位于D的南偏东30°方向．
（1）求BC的长度（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24，6≈2.45，结果保留小数点后一位）；
（2）现甲从B出发沿BD方向前往D，乙从D出发沿DC方向前往C，两人同时出发，乙的速度是甲的速度的2倍．途中乙接到甲询问位置的电话，乙利用导航发现此时两人的直线距离为4千米，求此时甲离D处多少千米？
【分析】（1）过点B作BE⊥CD于点E，由含30度直角三角形的性质求得BD，DE，由勾股定理求得BE，再由勾股定理即可求得BC；
（2）假设甲走到F处，乙走到G处时，两人的直线距离为4千米，过点F作FH⊥BG于点H，由速度关系得路程关系，设BF＝2a千米，则BG＝4a千米，利用含30度直角三角形的性质及勾股定理求得DH、FH，再由勾股定理建立方程即可求解．
【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥CD于点E，
由题意得∠DBA＝30°，
∴BD＝2AD＝6千米，
∠BDC＝30°+30°＝60°，
BE⊥CD，
∴∠DBE＝30°，
∴DE=12BD=3千米，
由勾股定理得BE=BD2−DE2=33千米，
∵∠EBC＝180°﹣∠ABD﹣∠DBE﹣75°＝45°，
∴∠C＝∠EBC＝45°，
∴CE=BE=33千米，
由勾股定理得BC=2BE=36≈7.4（千米）
答：BC的长度为7.4千米．
（2）假设甲走到F处，乙走到G处时，
两人的直线距离为4千米，
即FG＝4千米，
如图，过点F作 FH⊥BG于点H，
∵两人同时出发，且乙的速度是甲的速度的2倍，
∴乙的路程是甲的路程的2倍，
即DG＝2BF，
设BF＝2a千米，
则BG＝4a千米，
DF＝BD﹣BF＝（6﹣2a）千米，
∵FH⊥BG，∠BDC＝60°，
∴DH=12DF=(3−a)千米，
由勾股定理得FH=DF2−DH2=3(3−a)千米，
GH＝DG﹣DH＝（5a﹣3）千米，
在Rt△FHG中，由勾股定理得[3(3−a)]2+(5a−3)2=42，
整理得7a2﹣12a+5＝0，
解得a1=57，a2=1，
则FD=6−2×57=327（千米），
或FD＝6﹣2×1＝4（千米）．
答：甲离D处327千米或4千米．
【点评】题目考查了解直角三角形的应用（方向角问题），勾股定理的应用，解题的关键在于相关知识的灵活运用．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−14x2+bx+c与x轴交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，1），连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）P是线段BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC，垂足为D，E是x轴上一动点，连接PE．当PD的长度取得最大值时，求点P的坐标及PE+22AE的最小值；
（3）将抛物线沿射线CA方向平移2个单位长度得到抛物线y′，点B的对应点为F，M是平移后抛物线y′上一点，直线AM交直线BF于点N，且∠ANB＝∠ACB﹣90°．请直接写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的其中一种情况的过程．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点P作PG∥y轴交BC于点G，连接PC、PB，当△BCP的面积最大时，PD的长度取最大值，设P（t，−14t2+34t+1），则G（t，−14t+1），可求△BPC的面积=−12（t﹣2）2+2，当t＝2时，△PBC的面积最大，此时P（2，32），在y轴上取点K（0，﹣1），作直线AK，则直线AK的解析式为y＝﹣x﹣1，过E点作EH⊥AK交于H点，推导出EH=22AE，则PE+22AE＝PE+HE≥PH，当PH⊥AH时，PE+22AE的值最小，连接AP、PK，延长PG交AK于点L，△APK的面积=12×AK×PH=12×PL×1，即2PH=92，求出PH=924即为所求；
（3）求出平移后的函数解析式为y'=−14x2+14x+12，直线BF的解析式为y＝x﹣4，过点N作NQ⊥BF交x轴于点Q，结合题意推导出∠NAB＝∠CBA，AN与BC的交点T在线段AB的垂直平分线上，即T（32，58），从而得到直线AM的解析式为y=14x+14，直线AM与抛物线的交点即为M；求出点N（173，53），过A点作AR∥NQ交BN于点R，则直线AR的解析式为y＝﹣x﹣1，求出R（32，−52），N点关于R点的对称点为N'（−83，−203），直线AN'与抛物线的交点为M．
【解答】解：（1）将，B（4，0），C（0，1）代入y=−14x2+bx+c中，
∴−14×16+4b+c=0c=1，
解得b=34c=1，
∴y=−14x2+34x+1；
（2）过点P作PG∥y轴交BC于点G，连接PC、PB，
当△BCP的面积最大时，PD的长度取最大值，
设直线BC的解析式为y＝kx+1，
∴4k+1＝0，
解得k=−14，
∴y=−14x+1，
设P（t，−14t2+34t+1），则G（t，−14t+1），
∴PG=−14t2+34t+1+14t﹣1=−14t2+t，
∴△BPC的面积=12×4（−14t2+t）=−12（t﹣2）2+2，
当t＝2时，△PBC的面积最大，此时P（2，32），
当y＝0时，−14x2+34x+1＝0，解得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），
在y轴上取点K（0，﹣1），作直线AK，则直线AK的解析式为y＝﹣x﹣1，
过E点作EH⊥AK交于H点，
∵OA＝OC＝1，
∴∠CAO＝45°，
∴∠OAH＝45°，
∴EH=22AE，
∴PE+22AE＝PE+HE≥PH，
当PH⊥AH时，PE+22AE的值最小，
连接AP、PK，延长PG交AK于点L，
∴△APK的面积=12×AK×PH=12×PL×1，即2PH=92，
∴PH=924，
∴PE+22AE的最小值为924；
（3）∵抛物线沿射线CA方向平移2个单位长度，
∴函数图象向左平移1个单位长度，向下平移1个单位长度，
∴y'=−14x2+14x+12，
∵B（4，0），
∴F（3，﹣1），
∴直线BF的解析式为y＝x﹣4，
过点N作NQ⊥BF交x轴于点Q，
∴∠BQN＝∠CAO＝45°，
∵∠ANB＝∠ACB﹣90°，
∴∠ACB＝∠ANQ，
∴∠NAB＝∠CBA，
∴AN与BC的交点T在线段AB的垂直平分线上，
∴T（32，58），
∴直线AM的解析式为y=14x+14，
当−14x2+34x+1=14x+14时，解得x＝1或x＝﹣1，
∴M（1，12）；
当x﹣4=14x+14时，解得x=173，
∴N（173，53），
过A点作AR∥NQ交BN于点R，
∴直线AR的解析式为y＝﹣x﹣1，
当﹣x﹣1＝x﹣4时，解得x=32，
∴R（32，−52），
N点关于R点的对称点为N'（−83，−203），
∴直线AN'的解析式为y＝4x+4，
当4x+4=−14x2+14x+12时，解得x＝﹣1或x＝﹣14，
∴M（﹣14，﹣52）；
综上所述：M点坐标为（1，12）或（﹣14，﹣52）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移的性质，构造直角三角形求最短距离是解题的关键．
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，以BC为斜边在BC上方作等腰直角三角形BCD．
（1）如图1，若∠ABC＝30°，BD＝3，求AC的长度；
（2）如图2，连接AD，将线段DA绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，延长ED交BC于点F，连接CE．点G，H分别是AB，CE的中点，连接DG，GH．求证：BC﹣AC=2GH；
（3）如图3，BC＝12，AC＝3，点P在直线BC上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°得到线段DQ，连接AQ．点M在直线AB上，连接DM，QM，将△DMQ沿直线DM翻折至△ABC所在平面内得到△DMN，连接CN．当AQ+DQ取得最小值时，连接CQ，NQ，请直接写出△CQN面积的最大值．
【分析】（1）利用勾股定理和解直角三角形求解即可；
（2）结合“手拉手”模型，证得△CDE≌△BDA，利用全等证得△DHG是等腰直角三角形，所以得到BH=22GH，再利用得到新条件证明△ADC≌△FDB，得到DH是△ECF的中位线，利用等量代换证出最终结果；
（3）先利用“手拉手”模型确定点Q的运动轨迹，再利用将军饮马确定点Q的具体位置；接着利用对称性得出DQ＝DN，从而确定点N是在以点D为圆心，DQ为半径的圆上运动，根据圆上的点到直线的最大距离需过圆心进行解答．
【解答】（1）解：∵三角形BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝3，BC=BD2+CD2=32，
又∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴tan∠ABC=ACBC，即33=AC32，
解得AC=6；
（2）证明：如图所示，连接DH，
∵线段DA绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，
∴DA＝DE，∠ADE＝∠ADF＝90°，
∵∠CDB＝90°，
∴∠ADE+∠ADC＝∠ADC+∠CDE，即∠CDE＝∠BDA，
在△CDE和△BDA中，
DE=DA∠CDE=∠BDACD=BD，
∴△CDE≌△BDA（SAS），
∴CE＝BA，
∵点G，H分别是AB，CE的中点，
∴DH＝DG，∠EDH＝∠ADG，
∵∠EDH+∠HDA＝90°，
∴∠ADG+∠HDA＝90°，即∠HDG＝90°，
∴△HDG是等腰直角三角形，
∴sin∠DGH=sin45°=DHHG，解得DH=22GH，
∵∠ADF＝∠CDB＝90°，
∴∠ADF﹣∠CDF＝∠CDB﹣∠CDF，即∠ADC＝∠FDB，
∵△BDC是等腰直角三角形，
∴DC＝DB，∠DCB＝∠DBC＝45°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DBC＝45°，
在△ADC和△FDB中，
∠ADC=∠FDBDC=DB∠ACD=∠DBC，
∴△ADC≌△FDB（ASA），
∴AC＝BF，AD＝DF，
∵AD＝DE，
∴DE＝DF，
∴点D是线段EF的中点，
又∵点H是线段EC的中点，
∴DH=12CF，
∵DH=22GH，
∴12CF=22GH，即CF=2GH，
∵CF＝BC﹣BF＝BC﹣AC，
∴BC−AC=2GH；
（3）解：如图所示，连接BQ，
∵线段DP绕点D逆时针旋转90°得到线段DQ，△BDC是等腰直角三角形，
∴DB＝DC，DP＝DQ，∠BDC＝∠PDQ＝90°，∠DBP＝∠DCB＝45°，
∴∠BDC﹣∠PDB＝∠PDQ﹣∠PDB，即∠CDP＝∠BDQ，
在△CDP和△BDQ中，
DC=DB∠CDP=∠BDQDP=DQ，
∴△CDP≌△BDQ（SAS），
∴∠DCP＝∠DBQ＝45°，
∴∠CBQ＝∠DBC+∠DBQ＝90°，
∴点Q在与BC垂直且垂足为点B的直线l上，
∴作点D关于直线l的对称点D′，连接AD交直线l为点Q，
此时AQ+DQ最短，如下图所示，
连接DD'交直线l于点E，过点A作AF垂直直线l，交直线l于点F，
∴四边形ACBF是矩形，
∴AF＝BC，FB＝AC＝3，
在等腰直角三角形BCD中，BC＝12，
∴sin45°=DCBC，解得DC=DB=62，
在直角三角形DEB中，
sin∠DBQ=sin45°=DEDB，解得DE＝EB＝6，
则EF＝EB﹣FB＝3，
由对称性可知D′E＝6，
由题意知∠AFQ＝∠D'EQ＝90°，∠AQF＝∠D'QE，
∴△AQF∽△D'QE，
∴FQEQ=AFD′E=126=2，
又∵EF＝3，
∴FQ＝2，EQ＝1，
∴BQ＝FB+FQ＝5，
在Rt△DEQ中，DQ=DE2+EQ2=37，
∴在Rt△BCQ中，CQ=122+52=13；
∵△DMQ沿直线DM翻折至△ABC所在平面内得到△DMN，
∴点Q，N是关于直线DM的对称点，
∴点D在线段QN 的垂直平分线上，
∴DN＝DQ，
∴点N实在以D为圆心，DQ长为半径的圆上运动，
过点N作NH⊥CQ交CQ于点N，
∴S△CQN=12CQ⋅HN=132HN，
∴△CQN面积的最大，则需要HN最大，
HN过圆心时取得最大值，如下图所示，
在Rt△DHC 和 Rt△DHQ中，DC2﹣CH2＝DQ2﹣QH2，
即(62)2−CH2=372−(13−CH)2，
解得CH=10213，DH=DC2−CH2=4213，
∴NH=ND+DH=37+4213，
∴S△CQN=132HN=132(37+4213)=1337+422，
∴△CQN面积的最大值为1337+422．
【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，解直角三角形，三角形三边关系，熟练掌握各性质及判定是解题的关键．
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