高考数学(理数)一轮复习学案2．1《函数及其表示》(含详解)

这是一份高考数学(理数)一轮复习学案2．1《函数及其表示》(含详解)，共12页。

2．1　函数及其表示


1．函数的概念
一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有________f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________________，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做________________，x的取值范围A叫做函数的________________；与x的值相对应的y值叫做________________，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________________．
2．函数的表示方法
(1)解析法：就是用________________表示两个变量之间的对应关系的方法．
(2)图象法：就是用表示两个变量之间的对应关系的方法．
(3)列表法：就是来表示两个变量之间的对应关系的方法．
3．构成函数的三要素
(1)函数的三要素是：_________，_________，_________.
(2)两个函数相等：如果两个函数的相同，并且完全一致，则称这两个函数相等．
4．分段函数
若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．
5．映射的概念
一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的元素x，在集合B中都有元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
6．映射与函数的关系
(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_____________________________________．
(2)区别：函数是从非空数集A到非空数集B的映射；对于映射而言，A和B不一定是数集．
7．复合函数
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．

自查自纠：
1．唯一确定的数　函数　自变量　定义域　函数值　值域
2．(1)数学表达式　(2)图象　(3)列出表格
3．(1)定义域　对应关系　值域　(2)定义域　对应关系
5．任意一个　唯一确定的
6．(1)映射


　　 　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　
()判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 (　　)
①y1＝，y2＝x－5；
②f(x)＝x，g(x)＝；
③h(x)＝x，m(x)＝；
④f1(x)＝()2，f2(x)＝2x－5.
A．①② B．②③ C．③ D．③④
解：①，y1＝＝x－5(x≠－3)，与y2＝x－5(x∈R)的定义域不同，不是同一函数；②，f(x)＝x，与g(x)＝＝|x|的对应关系不同，不是同一函数；③，h(x)＝x(x∈R)，与m(x)＝＝x(x∈R)的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；④，f1(x)＝()2＝2x－5，与f2(x)＝2x－5(x∈R)的定义域不同，不是同一函数．综上，是同一函数的只有③.故选C.
下列函数中，与函数y＝的定义域相同的函数为 (　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝xex D．y＝
解：函数y＝的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，y＝的定义域为(0，＋∞)，y＝xex的定义域为R，y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选D.
函数y＝－的值域为(　　)
A．(－∞，] B．[0，]
C．[－，] D．[－，0]
解：要使函数有意义，须满足解得－1≤x≤1，所以函数的定义域为[－1，1]．当x增大时，增大，减小，－增大，所以y增大，即该函数为增函数．所以函数的最小值为f(－1)＝－，最大值为f(1)＝，值域为[－，]．故选C.
()已知函数f(x)＝ 若f(a)＝5，则a的取值集合为________．
解：令3＋log2(a－1)＝5，得a＝5，令a2－a－ 1＝5，得a＝3(舍)或a＝－2，故a∈{－2，5}．故填{－2，5}．
()已知函数f(x)＝则不等式f(x2－2x) 解：当x<3时，f(x)＝－x2＋6x，在(－∞，3)上单调递增，故f(x)<9.由f(x2－2x)

类型一　求函数的定义域
　(1)()函数y＝的定义域为(　　)
A．(－2，1) B．[－2，1]
C．(0，1) D．(0，1]
解：要使函数有意义，应满足解得0
(2)() 已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2，3]，则y＝f(2x－1)的定义域为(　　)
A．[－3，7] B．[－1，4] C．[－5，5] D.
解：由x∈[－2，3]得x＋1∈[－1，4]，由2x－1∈[－1，4]，解得x∈.故选D.

点　拨：
求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集．常见的限制条件有：分式的分母不等于0，对数的真数大于0，偶次根式下的被开方数大于或等于0等．若已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数y＝f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出．

　(1)()已知函数y＝f(x)的定义域是(－∞，1)，则y＝f(x－1)＋的定义域是(　　)
A.∪
B.∪
C．(－∞，1)
D．(－∞，2)
解：因为函数y＝f(x)的定义域是(－∞，1)，所以y＝f(x－1)＋中，自变量x应满足解得x<2且x≠－，所以其定义域是∪.故选A.
(2)若函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－9]∪[0，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[－9，1] D．(0，1]
解：由题意知，kx2－6x＋k＋8≥0对于x∈R恒成立，当k≤0时显然不符合，所以解得k≥1.故选B.
类型二　 求函数的值域
　求下列函数的值域：
(1)y＝；　　　　　　　(2)y＝2x＋；
(3)y＝2x＋；　　　　(4)y＝；
(5)f(x)＝－；
(6)y＝，x∈.
解：(1)解法一：(反解)
由y＝，解得x2＝，
因为x2≥0，所以≥0，解得－1＜y≤1，
所以函数值域为(－1，1]．
解法二：(分离常数法)
因为y＝＝－1＋，
又因为1＋x2≥1，所以0＜≤2，所以－1＜－1＋≤1，
所以函数的值域为(－1，1]．
(2)(代数换元法)
令t＝(t≥0)，所以x＝1－t2，
所以y＝2(1－t2)＋t＝－2t2＋t＋2＝－2＋.
因为t≥0，所以y≤，故函数的值域为.
(3)(三角换元法)
令x＝cost(0≤t≤π)，
所以y＝2cost＋sint＝sin(t＋φ)(其中cosφ＝，sinφ＝)．
因为0≤t≤π，所以φ≤t＋φ≤π＋φ，
所以sin(π＋φ)≤sin(t＋φ)≤1.
故函数的值域为[－2，]．
(4)解法一：(不等式法)
因为y＝＝＝(x－1)＋，
又因为x＞1时，x－1＞0，x＜1时，x－1＜0，
所以当x>1时，y＝(x－1)＋≥2＝4，且当x＝3，等号成立；当x<1时，y＝ －≤－4，且当x＝－1，等号成立．
所以函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
解法二：(判别式法)
因为y＝，所以x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0，
又因为函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
所以方程x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0有不等于1的实根．
所以Δ＝(y＋2)2－4(y＋5)＝y2－16≥0，解得y≤－4或y≥4.
当y＝－4时，x＝－1；y＝4时，x＝3.
故所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
(5)(图象法)

f(x)＝
作出其图象，可知函数f(x)的值域是.


(6)解法一：(数形结合法)
函数y＝的值域可看作点A(x，sinx)，B(1，－1)两点连线的斜率，B(1，－1)是定点，A(x，sinx)在曲线y＝sinx，x∈上．如图所示，P(π，0)，Q.所以kBP≤y≤kBQ，即≤y≤.故函数的值域为.
解法二：(单调性法)
因为函数y＝sinx＋1在x∈上单调递减，y＝x－1在x∈上单调递增，且均非负，所以函数y＝在x∈上单调递减．当x＝时，取最大值为；当x＝π时，取最小值为.故所求函数的值域为.

点　拨：
求函数值域的常用方法：①单调性法，如题(6)；②配方法；③分离常数法，如题(1)；④数形结合法，如题(6)；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)，如题(2)与(3)；⑥判别式法，如题(4)；⑦不等式法，如题(4)；⑧导数法，主要是针对在某区间内可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如题(5)．对于二元函数的值域问题，其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域．求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握．
　(1)函数f(x)＝，x∈[－3，－1]的值域为________．
解：由y＝＝－，又因为－3≤x≤－1，所以≤－≤，所以≤y≤3，即y∈.故填.

(2)函数f(x)＝x＋的值域为________．
解：函数的定义域为，
令t＝(t≥0)，则x＝.
所以y＝＋t＝－(t－1)2＋1(t≥0)，
故当t＝1(即x＝0)时，y有最大值1，故函数f(x)的值域为(－∞，1]．故填(－∞，1]．

(3)函数y＝的值域是________．
解：因为x2＋x＋1>0恒成立，所以函数的定义域为R.
由y＝，得(y－2)x2＋(y＋1)x＋y－2＝0.
当y－2＝0，即y＝2时，上式化为3x＋0＝0，所以x＝0∈R.
当y－2≠0，即y≠2时，因为当x∈R时，方程(y－2)x2＋(y＋1)x＋y－2＝0恒有实根，
所以Δ＝(y＋1)2－4×(y－2)2≥0，所以1≤y≤5且y≠2.故函数的值域为[1，5]．故填[1，5]．

(4)函数y＝＋的值域是________．

解：如图，函数y＝＋的几何意义为平面内x轴上一点P(x，0)到点A(－3，4)和点B(5，2)的距离之和．由平面解析几何知识，找出点B关于x轴的对称点B′(5，－2)，连接AB′交x轴于一点P，此时距离之和最小，所以ymin＝|AB′|＝＝10，又y无最大值，所以y∈[10，＋∞)．故填[10，＋∞)．
类型三　 求函数的解析式
　(1)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝________.
解：(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，得c＝0，由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，得a＝b＝.所以f(x)＝x2＋x.故填x2＋x.
(2)已知f＝x2＋，则f(x)＝________.
解：(配凑法)f＝x2＋＝－2＝－2，所以f(x)＝x2－2(|x|≥2)．故填x2－2(|x|≥2)．
(3)已知f＝lgx，则f(x)＝________.
解：(换元法)令＋1＝t，由于x>0，所以t>1且x＝，所以f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)．故填lg(x>1)．
(4)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________.
解：(消去法)在f(x)＝2f·－1中，将x换成，则换成x，得f＝2f(x)·－1，
由 解得f(x)＝＋.故填＋.

点　拨：
函数解析式的求法：①待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，可用待定系数法．②配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．③换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．④消去法(即函数方程法)：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

　(1)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________.
解：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝k2x＋kb＋b，所以所以或故 f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.故填2x－或－2x＋1.
(2)已知f＝x2＋，则f(x)＝________.
解：f＝x2＋＝＋2，所以f(x)＝x2＋2.故填x2＋2.
(3)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________.
解：令＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．故填x2－1(x≥1)．
(4)已知f(x)＋3f(－x)＝2x＋1，则f(x)＝________.
解：以－x代替x得f(－x)＋3f(x)＝－2x＋1，所以f(－x)＝－3f(x)－2x＋1，代入f(x)＋3f(－x)＝2x＋1可得f(x)＝－x＋.故填－x＋.
(5)()已知f(x)是(0，＋∞)上的增函数，若f[f(x)－lnx]＝1，则f(e)＝________.
解：根据题意，f(x)是(0，＋∞)上的增函数，且f[f(x)－lnx]＝1，则f(x)－lnx为定值．设f(x)－lnx＝t，t为常数，则f(x)＝lnx＋t且f(t)＝1，即有lnt＋t＝1，得t＝1，则f(x)＝lnx＋1，故f(e)＝lne＋1＝2.故填2.
类型四　 分段函数
　 (1)()已知函数f(x)＝ 且f(a)＝－3，则f[f(14－a)]＝________.
解：当a≤1时，f(a)＝2a－2＝－3无解；当a>1时，由f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，得a＋1＝8，解得a＝7，所以f[f(14－a)]＝f[f(7)]＝f(－3)＝2－3－2＝－.故填－.
(2)设函数f(x)＝ 则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
解：当x<1时，ex－1≤2，解得x≤1＋ln2，所以x<1.
当x≥1时，x≤2，解得x≤8，所以1≤x≤8.综上可知x的取值范围是(－∞，8]．故填(－∞，8]．
(3)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2，1] D．[－2，0]

解：由题意，y＝|f(x)|＝的图象如图所示．由图象易知，当a>0时，显然不成立，所以a≤0，当x≥0时，|f(x)|≥ax显然成立；当x<0时，要使|f(x)|＝x2－2x≥ax恒成立，则a≥x－2恒成立，又x－2<－2，所以a≥－2.综上，－2≤a≤0.故选D.

点　拨：
①求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现形如f(f(x0))的求值问题时，应从内到外依次求值．②求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
　　
　(1)()函数f(x)＝满足f(1)＋f(a)＝2，则a所有可能的值为 (　　)
A．1或－ B．－
C．1 D．1或
解：因为f(1)＝e1－1＝1且f(1)＋f(a)＝2，所以 f(a)＝1.当－1 (2)()设函数f(x)＝ 则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
解：当x＞时，恒成立；当0＜x≤时，恒成立，当x≤0时，－＜x≤0，故x＞－.故填.
(3)()已知f(x)＝ 的值域为R，那么实数a的取值范围是 (　　)
A．(－∞，－1] B.
C. D.

解：当x≥1时，lnx≥0，故要使函数f(x)的值域为R，如图所示，需使所以 －1≤a<，即实数a的取值范围是.故选C.

1．对应、映射和函数三者之间的关系
对应、映射和函数三个概念的内涵是依次丰富的．对应中的唯一性形成映射，映射中的非空数集形成函数．也就是说，函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．
2．判断两个函数是否相等
判断两个函数是否相等，即是否为同一函数，只须判断它们的定义域与对应关系是否完全相同即可，与表示函数自变量的字母和函数的字母无关；当两个函数的定义域与对应关系完全相同时，它们的值域也一定相同．
3．函数的表示法
函数的三种表示方法在一定条件下可以相互转化，且各有优点，一般情况下，研究函数的性质需求出函数的解析式，在通过解析式解决问题时，又需借助图象的直观性．
4．函数的定义域
给出函数定义域的方式有两种，一种是只给定了函数的解析式(对应关系)而没有注明定义域，此时，函数定义域是指使该解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域)；另一种是由实际问题确定的或预先限定了自变量的取值范围(称为实际定义域)．需要注意的是：
(1)若函数是由一些基本初等函数通过四则运算而成的，则它的定义域是各基本初等函数定义域的交集．
(2)对于含有参数的函数求定义域，或已知其定义域求参数的取值范围，一般需要对参数进行分类讨论．
(3)若函数是由一些基本初等函数复合而成，则求函数定义域时应注意内层函数的值域为外层函数的定义域的子域(集)．
5．求函数解析式的主要方法
待定系数法、换元法、方程(组)法等．如果已知函数解析式的类型，可用待定系数法；若已知复合函数f(g(x))的表达式时，可用换元法；若已知抽象函数的表达式时，常用解方程(组)法．
6．函数的值域
求函数的值域，不但要注意对应关系的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用．常用方法有：图象法、单调性法、配方法、换元法、分离常数法、不等式法、判别式法、导数法、数形结合法等．求函数值域的基本原则有：
(1)当函数y＝f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合．
(2)当函数y＝f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所对应的实数y的集合．
(3)当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应关系唯一确定．
(4)当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定．


　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．有以下判断：
①f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；
②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；
④若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.
其中正确的有 (　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：对于①，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数，①错误；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有1个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有1个交点，②正确；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以是同一函数，③正确；对于④，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1，④错误．综上可知，正确的判断是②③.故选B.
2．()下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是
(　　)
A．y＝x B．y＝lgx
C．y＝2x D．y＝
解：函数y＝10lgx的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y＝x，y＝2x的定义域均为R，排除A，C；y＝lgx的值域为R，排除B.故选D.
3．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．[1，10] B．[1，2)∪(2，10]
C．(1，10] D．(1，2)∪(2，10]
解：要使函数f(x)有意义，则x须满足即解得1 4．下列函数中，满足f(x2)＝[f(x)]2的是(　　)
A．f(x)＝lnx B．f(x)＝|x＋1|
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝ex
解：对于函数f(x)＝x3，有f(x2)＝(x2)3＝x6， [f(x)]2＝(x3)2＝x6，所以f(x2)＝[f(x)]2，易知其他选项都不满足．故选C.
5．已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为 (　　)
A．(－1，1) B.
C．(－1，0) D.
解：由函数f(x)的定义域为(－1，0)，则使函数f(2x＋1)有意义，需满足－1<2x＋1<0，解得－1 6．若函数y＝f(x)的值域是[1，3]，则函数F(x)＝1－f(x＋3)的值域是 (　　)
A．[－8，－3] B．[－5，－1]
C．[－2，0] D．[1，3]
解：因为1≤f(x)≤3，所以－3≤－f(x＋3)≤－1，所以－2≤1－f(x＋3)≤0，即F(x)的值域为[－2，0]．故选C.
7．()函数f(x)＝的定义域为________．
解：要使函数f(x)有意义，则log2x－1≥0，解得x≥2，即函数f(x)的定义域为[2，＋∞)．故填[2， ＋∞)．
8．()已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．
解：当x≥1时，f(x)＝2x－1≥1，因为函数f(x)＝的值域为R，所以当x<1时，(1－2a)x＋3a必须取遍(－∞，1)内的所有实数，则解得0≤a<.故填.
9．()已知f(x)＝
且f(c2)＝.
(1)求常数c；
(2)解方程f(x)＝.
解：(1)因为0 所以f(c2)＝c3＋1＝，即c＝.
(2)由(1)得，f(x)＝
由f(x)＝得或
解得x＝或x＝.
10．已知函数f(x)＝.
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为[0，＋∞)，求实数a的取值范围．
解：(1)①若1－a2＝0，即a＝±1，
(i)当a＝1时，f(x)＝，定义域为R，符合要求；
(ii)当a＝－1时，f(x)＝，定义域不为R.
②若1－a2≠0，g(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6为二次函数，因为f(x)的定义域为R，所以g(x)≥0，∀x∈R恒成立，
所以
⇔⇒－≤a＜1.
综合①②得a的取值范围是.
(2)因为函数f(x)的值域为[0，＋∞)，
所以函数g(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6取一切非负实数，所以
⇔⇒－1＜a≤－.
当a＝－1时，f(x)＝的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．故所求实数a的取值范围为.
存在函数f(x)满足：对于任意x∈R都有
(　　)
A．f(sin2x)＝sinx B．f(sin2x)＝x2＋x
C．f(x2＋1)＝|x＋1| D．f(x2＋2x)＝|x＋1|
解：对于A，令x＝0，得f(0)＝0，令x＝，得f(0)＝1，这与函数定义不符，A错误；B中令x＝0及x＝，C中令x＝1及x＝－1，均可推知与函数定义不符．在D中，式子变形为f(|x＋1|2－1)＝|x＋1|，令|x＋1|2－1＝t，∀x∈R，t≥－1，且|x＋1|＝，从而有f(t)＝，显然这个函数关系在定义域 [－1，＋∞)上是成立的．故选D.

1．已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{x|0≤x≤4}，则下列对应关系中，不能看作从A到B的映射的是 (　　)
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x
解：按照对应关系f：x→y＝x，对集合A中某些元素(如x＝8)，集合B中不存在元素与之对应，故不能看作从A到B的映射．选项A，B，C都符合题意．故选D.
2．已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0，4) B．[0，4]
C．[0，4) D．[4，＋∞)
解：f(x)的定义域为R，即x2＋mx＋m>0恒成立，所以Δ＝m2－4m<0⇒0 3．已知f(x5)＝lgx，则f(2)＝(　　)
A．lg2 B．lg32 C．lg D.lg2
解：令x5＝2，则x＝2 ，所以f(2)＝lg2＝lg2.故选D.
4．函数y＝－x的值域为 (　　)
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C. D.
解：令＝t≥0，则x＝t2－1，y＝t－t2＋ 1＝－＋，当t≥0时，y≤.故选C.
5．()设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝ 其中a∈R.若f＝f，则f(5a)的值是 (　　)
A. B. C．－ D.
解：由题意f＝f＝－＋a，f＝ f＝＝，所以－＋a＝，则a＝，故f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋＝－.故选C.
6．已知函数f(x)＝ 则f(x)－f(－x)＞－1的解集为(　　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B.∪(0，1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D.∪(0，1)
解：①当－1≤x＜0时，0＜－x≤1，
此时f(x)＝－x－1，f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
所以f(x)－f(－x)＞－1化为－2x－2＞－1，
解得x＜－，则－1≤x＜－.
②当0＜x≤1时，－1≤－x＜0，
此时，f(x)＝－x＋1，f(－x)＝－(－x)－1＝x－1，
所以f(x)－f(－x)＞－1化为－2x＋2＞－1，
解得x＜，则0＜x≤1.
故所求不等式的解集为∪(0，1]．故选B.
7．()设函数f(x)＝ 则使得f(x)≤1成立的x的取值范围是________．
解：由 得0≤x≤9；由 得－1≤x<0.故f(x)≤1的解集为[－1，9]．故填[－1，9]．
8．函数f(x)＝(x>1)的最小值为________．
解法一：(基本不等式法)
f(x)＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时，f(x)min＝8.
解法二：(导数法)f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝4或x＝－2(舍去)．当14时，f′(x)>0，f(x)在(4，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x＝4处取极小值也是最小值，即f(x)min＝f(4)＝8.故填8.
9．()已知函数f(x)＝ loga(x＋2)＋loga(4－x)(a>0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)在区间[0，3]上的最小值为－2，求实数a的值．
解：(1)依题意得解得－2 所以函数f(x)的定义域为(－2，4)．
(2)f(x)＝loga(x＋2)＋loga(4－x)＝loga[(x＋2)(4－x)]，x∈[0，3]．
令t＝(x＋2)(4－x)，则可变形得t＝－(x－1)2＋9，
因为0≤x≤3，所以5≤t≤9.
若a>1，则loga5≤logat≤loga9，
所以f(x)min＝loga5＝－2，则a2＝<1(舍去)；
若0 所以f(x)min＝loga9＝－2，则a2＝，
又0 综上知，a＝.
10．()已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝－2f(x＋1)，且f(x)在区间[0，1)上有表达式f(x)＝x2.
(1)求f(－1)，f；
(2)写出f(x)在区间(－2，2)上的表达式．
解：(1)f(－1)＝－2f(－1＋1)＝－2f(0)＝0，
f＝f＝－f＝－×＝－.
(2)当x∈[0，1)时，f(x)＝x2；
当x∈[1，2)时，x－1∈[0，1)，
f(x)＝－f(x－1)＝－(x－1)2；
当x∈[－1，0)时，x＋1∈[0，1)，
f(x)＝－2f(x＋1)＝－2(x＋1)2；
当x∈(－2，－1)时，x＋1∈(－1，0)，
f(x)＝－2f(x＋1)＝－2×[－2(x＋1＋1)2]＝4(x＋2)2.
综上，f(x)＝
设函数f(x)＝则满足f[f(a)]＝2f(a)的a的取值范围是 (　　)
A. B．[0，1]
C. D．[1，＋∞)
解：因为f(x)＝而f[f(a)]＝2f(a)，
令t＝f(a)，则f(t)＝2t，当t≥1时，由解析式知成立；当t<1时，由解析式有3t－1＝2t，但此式在t<1恒不成立，因为作图可知当x<1时，y＝3x－1的图象在y＝2x图象的下方．
所以f(a)≥1，所以有或解得≤a<1或a≥1，即a∈.故选C.