新高考数学一轮复习基础版讲义第7章第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第7章第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了基本事实4和等角定理，异面直线所成的角等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
1.与平面有关的基本事实及推论
(1)与平面有关的三个基本事实
(2)基本事实1的三个推论
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
3.基本事实4和等角定理
(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(2)等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
4.异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
[常用结论与微点提醒]
1.过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.
2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)没有公共点的两条直线是异面直线.( )
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.( )
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )
(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.( )
2.(必修二P128T2改编)下列命题正确的是( )
A.空间任意三个点确定一个平面
B.一个点和一条直线确定一个平面
C.空间两两相交的三条直线确定一个平面
D.空间两两平行的三条直线确定一个或三个平面
3.(必修二P147例1改编)在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝BC＝1，AA′＝2，则直线BA′与AC所成角的余弦值为________.
4.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形.
考点一 基本事实的应用
例1 已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.
求证：(1)D，B，E，F四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点.
训练1 (1)在三棱锥A－BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG＝P，则点P( )
A.一定在直线BD上
B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上
D.不在直线AC上，也不在直线BD上
(2)如图，P，Q，R，S分别是正方体或四面体所在棱的中点，则在下列图形中，这四个点不共面的一个图是( )
考点二 空间两直线位置关系的判断
例2 (1)(2024·鹤壁模拟)已知a，b，c是三条不同的直线，有下列三个命题：
①若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；
②若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
③若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面.其中真命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
(2)(多选)(2024·重庆名校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是( )
A.AB1B.A1CC.A1AD.AD1
训练2 (1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )
A.平行
B.异面
C.相交或平行
D.平行或异面或相交均有可能
(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为________.
考点三 求异面直线所成的角
例3 (1)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( )
A.eq \f(π,2)B.eq \f(π,3)C.eq \f(π,4)D.eq \f(π,6)
(2)在空间四边形ABCD中，AD＝2，BC＝2eq \r(3)，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝eq \r(7)，则异面直线AD与BC所成角的大小为________.
训练3 (2024·广西联考)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，若AA1＝AC＝BC＝1，则异面直线A1C，AB所成角的大小是( )
A.eq \f(π,6)B.eq \f(π,4)C.eq \f(π,3)D.eq \f(π,2)
【A级 基础巩固】
1.(多选)下列推断中，正确的是( )
A.M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈l
B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C.l⊄α，A∈l⇒A∉α
D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
2.若直线上有两个点在平面外，则( )
A.直线上至少有一个点在平面内
B.直线上有无穷多个点在平面内
C.直线上所有点都在平面外
D.直线上至多有一个点在平面内
3.(多选)下列命题中不正确的是( )
A.空间四点共面，则其中必有三点共线
B.空间四点不共面，则其中任意三点不共线
C.空间四点中有三点共线，则此四点不共面
D.空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面
4.(2024·广州模拟)已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，且a∩b＝O，则下列结论正确的是( )
A.直线b与直线c可能是异面直线
B.直线a与直线c可能平行
C.直线a，b，c必然交于一点(即三线共点)
D.直线c与平面α可能平行
5.(2024·金华模拟)已知直线l、平面α满足l⊄α，则下列命题一定正确的是( )
A.存在直线m⊂α，使l∥m
B.存在直线m⊂α，使l⊥m
C.存在直线m⊂α，使l，m相交
D.存在直线m⊂α，使l，m所成角为eq \f(π,6)
6.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )
A.A，M，O三点共线B.A，M，O，A1共面
C.A，M，C，O共面D.B，B1，O，M共面
7.(2024·郑州质检)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq \r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,5)B.eq \f(\r(5),6)C.eq \f(\r(5),5)D.eq \f(\r(2),2)
8.已知a，b，c是不同直线，α是平面，若a∥b，b∩c＝A，则直线a与直线c的位置关系是________；若a⊥b，b⊥α，则直线a与平面α的位置关系是________.
9.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
10.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，过O点作一条直线l与A1D平行，设直线l与直线OC1的夹角为θ，则cs θ＝________.
11.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.
12.如图，已知在空间四边形ABCD中，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角.
【B级 能力提升】
13.(多选)(2024·苏州调研)已知直线l与平面α相交于点P，则( )
A.α内不存在直线与l平行
B.α内有无数条直线与l垂直
C.α内所有直线与l是异面直线
D.至少存在一个过l且与α垂直的平面
14.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为4，E为AB的中点，PE⊥平面ABCD.
(1)若△PAB为等边三角形，求四棱锥P－ABCD的体积；
(2)若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的正切值.
基本事实
内容
图形
符号
基本事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α
基本事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
推论
内容
图形
作用
推论1
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
确定平面的依据
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形语言
符号语言
a∥b
a∥α
α∥β
相交关系
图形语言
符号语言
a∩b＝A
a∩α＝A
α∩β＝l
独有关系
图形语言
符号语言
a，b是异面直线
a⊂α