新高考数学一轮复习基础版讲义第7章第5节　空间直线、平面的垂直（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习基础版讲义第7章第5节　空间直线、平面的垂直（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了直线和平面所成的角，二面角，两个平面垂直等内容，欢迎下载使用。

【知识梳理】
1.直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°.
(2)范围：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
3.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
(2)二面角的平面角
若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.
(3)二面角的平面角α的范围：[0，π].
4.两个平面垂直
(1)两个平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)两个平面垂直的判定定理与性质定理
[常用结论与微点提醒]
1.与“直线与平面垂直”有关的结论
(1)直线与平面垂直的定义常常逆用，即a⊥α，b⊂α⇒a⊥b.
(2)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
2.三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
3.三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
【诊断自测】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( )
(2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )
(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )
2.(必修二P159T2改编)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是( )
A.α⊥γ，β⊥γ B.α∩β＝a，b⊥a，b⊂β
C.a∥β，a∥α D.a∥α，a⊥β
3.(必修二P158例8改编)如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有( )
A.平面ABC⊥平面BCD
B.平面BCD⊥平面ACD
C.平面ABD⊥平面ACD
D.平面BCD⊥平面ABD
4.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.
考点一 直线与平面垂直的判定与性质
例1 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足.
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.
训练1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
考点二 平面与平面垂直的判定与性质
例2 (2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1－BB1C1C的高.
训练2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点.
(1)求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论.
考点三 平行、垂直关系的综合应用
例3 (2024·石家庄模拟)如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2AD＝2，A1D∩AD1＝O，E为线段AB上的一点.
(1)若OE∥平面D1BC，求证：E为AB的中点；
(2)在线段AB上是否存在点E，使得平面D1DE⊥平面AD1C？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由.
训练3 (2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2eq \r(2)，PB＝PC＝eq \r(6)，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO.
(1)求证：EF∥平面ADO；
(2)若∠POF＝120°，求三棱锥P－ABC的体积.
1.求线面角的三个步骤：
一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.
2.作二面角的平面角的方法
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
例1 (2023·杭州质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是BC1与B1C的交点，则AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是( )
A.eq \f(3,5)B.eq \f(\r(2),2)C.eq \f(\r(3),2)D.eq \f(1,2)
例2 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，PO＝1，底面半径为2，M，N是底面圆周上两点，且∠MON＝eq \f(π,3)，则二面角P－MN－O的大小为( )
A.eq \f(π,12)B.eq \f(π,6)C.eq \f(π,4)D.eq \f(π,3)
训练 （1）(2024·银川质检)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝5，则A1C与平面ABCD所成角的正切值为( )
A.eq \f(1,2)B.2C.eq \f(\r(5),5)D.eq \r(5)
(2) 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1－AB－C的正切值为( )
A.1B.2C.eq \f(\r(2),2)D.eq \r(2)
【A级 基础巩固】
1.(多选)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是真命题的为( )
A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面β
B.过点P垂直于直线l的直线在平面α内
C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内
D.过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β
2.(2024·河南名校联考)设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列说法正确的是( )
A.若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
B.若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α
C.若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l⊥n
D.若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m
3.(2024·杭州质检)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β成立的充分条件是( )
A.a∥α，b∥β，a⊥b
B.α⊥γ，β⊥γ
C.a∥α，a⊥β
D.α∩β＝a，a⊥b，b⊂β
4.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A.直线AB上B.直线BC上
C.直线AC上D.△ABC内部
5.(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是( )
6.(多选)如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列结论正确的是( )
A.平面ANS⊥平面PBC
B.平面ANS⊥平面PAB
C.平面PAB⊥平面PBC
D.平面ABC⊥平面PAC
7.(2024·东营模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与DD1垂直的直线MN( )
A.有且仅有1条B.有且仅有2条
C.有且仅有3条D.有无数条
8.如图所示是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，棱________所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直.(注：填上你认为正确的一条棱即可，不必考虑所有可能的情况)
9.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足条件：①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件序号即可).
10.在矩形ABCD中，AB