高考数学精品讲义练习【一轮复习】第十章　10．2　排列与组合

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2．能利用排列、组合解决简单的实际问题．
1．排列与组合
(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数
(3)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(4)组合数
2.常用公式
(1)A eq \\al(m,n)＝(n－m＋1)A eq \\al(m-1,n)＝nA eq \\al(m-1,n－1)＝mA eq \\al(m-1,n－1)＋A eq \\al(m,n－1)；(n＋1)！－n！＝n·n！.
(2)C eq \\al(m,n)＝C eq \\al(m-1,n－1)＋C eq \\al(m-1,n－2)＋…＋C eq \\al(m-1,m－1).
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( × )
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( × )
(3)若组合式C eq \\al(x,n)＝C eq \\al(m,n)，则x＝m成立．( × )
(4)kC eq \\al(k,n)＝nC eq \\al(k-1,n－1).( √ )
2．(人教A版选择性必修第三册P38T8改编)小明和妹妹跟着父母一家四口到游乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排家长，则这4个人的入园顺序的种数是( A )
A．4 B．6
C．12 D．24
解析：先排首尾两个位置，有A eq \\al(2,2)种排法，再排中间两个位置，有A eq \\al(2,2)种排法，所以这4个人的入园顺序的种数是A eq \\al(2,2)A eq \\al(2,2)＝4.故选A.
3．(人教A版选择性必修第三册P26T8(1)改编) eq \f(A eq \\al(4,4)C eq \\al(2,4),3！)＝( A )
A．24 B．60
C．48 D．72
解析： eq \f(A eq \\al(4,4)C eq \\al(2,4),3！)＝ eq \f(4！C eq \\al(2,4),3！)＝4C eq \\al(2,4)＝24.故选A.
4．(人教A版选择性必修第三册P38T3(2)改编)五一小长假期间，旅游公司决定从6辆旅游大巴A，B，C，D，E，F中选出4辆分别开往紫蒙湖、美林谷、黄岗梁、乌兰布统四个景区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这6辆大巴中A，B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有( B )
A．360种 B．240种
C．216种 D．168种
解析：这6辆旅游大巴中A，B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有C eq \\al(1,4)A eq \\al(3,5)＝240(种).故选B.
考点1 排列问题
【例1】 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
(4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定．
【解】 (1)从7人中选5人排列，有A eq \\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2 520(种).
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A eq \\al(3,7)种方法，余下4人站后排，有A eq \\al(4,4)种方法，共有A eq \\al(3,7)A eq \\al(4,4)＝5 040(种).
(3)方法一(特殊元素优先法) 先排甲，有5种方法，其余6人有A eq \\al(6,6)种方法，共有5×A eq \\al(6,6)＝3 600(种).
方法二(特殊位置优先法) 左、右两边位置可安排另6人中的两人，有A eq \\al(2,6)种方法，其他有A eq \\al(5,5)种方法，共有A eq \\al(2,6)A eq \\al(5,5)＝3 600(种).
(4)方法一(特殊元素优先法) 甲在最右边时，其他的可全排列，有A eq \\al(6,6)种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A eq \\al(1,5)种，而乙可在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个，有A eq \\al(1,5)种，其余人全排列，有A eq \\al(5,5)种方法，共有A eq \\al(6,6)＋A eq \\al(1,5)A eq \\al(1,5)A eq \\al(5,5)＝3 720(种).
方法二(间接法) 7名学生全排列，有A eq \\al(7,7)种方法，其中甲在最左边时，有A eq \\al(6,6)种方法，乙在最右边时，有A eq \\al(6,6)种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A eq \\al(5,5)种方法，故共有A eq \\al(7,7)－2A eq \\al(6,6)＋A eq \\al(5,5)＝3 720(种).
(5)由于甲、乙、丙的顺序一定，则满足条件的方法共有 eq \f(A eq \\al(7,7),A eq \\al(3,3))＝840(种).
排列应用问题的分类与解法
对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
【对点训练1】 (1)(2024·江西新余二模)两个大人和4个小孩站成一排合影，若两个大人之间至少有1个小孩，则不同站法的种数为( D )
A．240 B．360
C．420 D．480
解析：若两个大人之间至少有1个小孩，即两个大人不相邻，故共有A eq \\al(4,4)A eq \\al(2,5)＝24×20＝480(种)站法．故选D.
(2)(2024·江西九江三模)考古发现在金字塔内有一组神秘的数字“142 857”，我们把它和自然数1到6依次相乘，得142 857×1＝142 857，142 857×2＝285 714，142 857×3＝428 571，142 857×4＝571 428，142 857×5＝714 285，142 857×6＝857 142，结果是同样的数字，只是调换了位置．若将这组神秘数字“142 857”进行重新排序，其中偶数均相邻的排法种数为( D )
A．24 B．36
C．72 D．144
解析：第一步：将三个偶数看成一个整体，与三个奇数进行全排列共A eq \\al(4,4)种排法；第二步：将三个偶数进行全排列共A eq \\al(3,3)种排法．根据分步乘法计数原理可得，将这组神秘数字“142 857”进行重新排序，其中偶数均相邻的排法种数为A eq \\al(4,4)A eq \\al(3,3)＝144.故选D.
(3)(2024·安徽芜湖三模)已知A，B，C，D，E，F六个人站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同排法的种数为( D )
A．186 B．264
C．284 D．336
解析：先考虑A和B不相邻的排法，将C，D，E，F四个人进行全排列，有A eq \\al(4,4)种排法，C，D，E，F四个人形成5个空，选择2个排A和B，有A eq \\al(2,5)种排法，故有A eq \\al(4,4)A eq \\al(2,5)＝480(种)排法，再考虑A和B不相邻，且C站两端的排法，先从两端选择一个位置安排C，有C eq \\al(1,2)种排法，再将D，E，F三个人进行全排列，有A eq \\al(3,3)种排法，D，E，F三个人形成4个空，选择2个排A和B，有A eq \\al(2,4)种排法，故有C eq \\al(1,2)A eq \\al(3,3)A eq \\al(2,4)＝144(种)排法，则要求A和B不相邻，C不站两端，不同的排法有480－144＝336(种).故选D.
考点2 组合问题
【例2】 在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各1名，现要从这10人中挑选5人组成医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？
(1)既有内科医生，又有外科医生；
(2)至少有1名主任参加；
(3)既有主任，又有外科医生．
【解】 (1)既有内科医生，又有外科医生包括四种情况：内科医生去1，2，3，4人，得选派方法有C eq \\al(1,6)C eq \\al(4,4)＋C eq \\al(2,6)C eq \\al(3,4)＋C eq \\al(3,6)C eq \\al(2,4)＋C eq \\al(4,6)C eq \\al(1,4)＝246(种).
(2)分两类：一类是选1名主任，有C eq \\al(1,2)C eq \\al(4,8)＝140(种)选派方法；另一类是选2名主任，有C eq \\al(2,2)C eq \\al(3,8)＝56(种)选派方法．故至少有1名主任参加的选派方法有140＋56＝196(种).
(3)若选外科主任，则其余可任意选，共有C eq \\al(4,9)＝126(种)选法；若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余四人不能全选内科医生，有C eq \\al(4,8)－C eq \\al(4,5)＝65(种)选法．故既有主任，又有外科医生的选派方法有126＋65＝191(种).
组合问题常见的两类题型
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
【对点训练2】 (1)(2024·天津和平区二模)为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( B )
A．30种 B．60种
C．120种 D．240种
解析：根据题意，分2步进行分析：首先选取1种相同课外读物的选法有C eq \\al(1,5)＝5(种)，再选取另外两种课外读物(需不同)，则共有C eq \\al(1,4)C eq \\al(1,3)＝12(种)，所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有5×12＝60(种).故选B.
(2)(2024·安徽马鞍山模拟)数列{an}共有9项，且a1＝1，a9＝9，|an＋1－an|＝2，则这样的数列{an}有( A )
A．28个 B．36个
C．45个 D．56个
解析：设an＋1－an＝dn，因为|an＋1－an|＝2，所以dn＝2或－2.可设d1，…，d8中有a个2和b个－2，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a9＝a1＋d1＋d2＋…＋d8＝1＋2a－2b＝9，,a＋b＝8，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝6，,b＝2，))即d1，…，d8中有6个2和2个－2，因此这样的数列{an}共有C eq \\al(6,8)C eq \\al(2,2)＝28(个).故选A.
考点3 排列、组合的综合应用
命题角度1 相邻与相间问题
【例3】 (1)(2024·山东滨州二模)某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有( B )
A．42种 B．40种
C．36种 D．30种
【解析】 甲、乙相邻的安排方案有A eq \\al(2,2)A eq \\al(4,4)种，其中甲、乙相邻且丙排在5月3日的安排方案有2A eq \\al(2,2)A eq \\al(2,2)种，所以不同的安排方案共有A eq \\al(2,2)A eq \\al(4,4)－2A eq \\al(2,2)A eq \\al(2,2)＝40(种).故选B.
(2)(2024·浙江杭州三模)已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为( B )
A．12 B．14
C．16 D．18
【解析】 依据题意，分两种情况讨论，情况一：高低高低高依次对应1～5号位置，假设甲在2号位，则乙在1号位或4号位，而甲、丁不相邻，若乙在1号位，此时有乙甲戊丙丁，共1种，若乙在4号位，此时有丙甲戊乙丁，戊甲丙乙丁，共2种，易得倒序排列和正序排列种数相同，故本情况共6种排法；情况二：低高低高低依次对应1～5号位置，假设戊在2号位，则丁在1号位或4号位，若丁在1号位，此时有丁戊甲丙乙，丁戊乙丙甲，共2种，若丁在4号位，此时有甲戊丙丁乙，甲戊乙丁丙，共2种，易得倒序排列和正序排列种数相同，故本情况共8种排法．故符合题意的排法有8＋6＝14(种).故选B.
命题角度2 分组分配问题
【例4】 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本．
【解】 (1)依题意，先选1本有C eq \\al(1,6)种选法；再从余下的5本中选2本有C eq \\al(2,5)种选法；最后余下3本全选有C eq \\al(3,3)种方法，故共有C eq \\al(1,6)C eq \\al(2,5)C eq \\al(3,3)＝60(种).
(2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有C eq \\al(1,6)C eq \\al(2,5)C eq \\al(3,3)A eq \\al(3,3)＝360(种).
(3)先分三步，则应是C eq \\al(2,6)C eq \\al(2,4)C eq \\al(2,2)种方法，但是这里出现了重复．不妨记6本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C eq \\al(2,6)C eq \\al(2,4)C eq \\al(2,2)种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A eq \\al(3,3)种情况，而这A eq \\al(3,3)种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有 eq \f(C eq \\al(2,6)C eq \\al(2,4)C eq \\al(2,2),A eq \\al(3,3))＝15(种).
(4)在(3)的基础上，还应考虑再分配，共有15A eq \\al(3,3)＝90(种).
(5)无序均匀分组问题，有 eq \f(C eq \\al(4,6)C eq \\al(1,2),A eq \\al(2,2))＝15(种).
1．相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．
2．对于分堆与分配问题应注意三点：
(1)处理分配问题要注意先分堆再分配．
(2)被分配的元素是不同的．
(3)分堆时要注意是否均匀．
【对点训练3】 (1)(2024·浙江金华三模)在义乌，婺剧深受民众喜爱．某次婺剧表演结束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相邻且老旦不排在最右边的不同排法种数是( C )
A．36 B．48
C．60 D．72
解析：首先按照小生和老生不相邻的要求共有A eq \\al(3,3)A eq \\al(2,4)＝72(种)排法，其中老旦排在最右边的情况，左侧4个位置，先排花旦、正旦有A eq \\al(2,2)种方法，由此所成的3个空中将小生、老生插入有A eq \\al(2,3)种方法，所以排法有A eq \\al(2,2)A eq \\al(2,3)＝12(种)，所以满足题意的不同排法种数是72－12＝60.故选C.
(2)(2024·辽宁葫芦岛二模)某校要派4名教师到甲、乙两个社区开展志愿者服务，若每个教师只去一个社区，且两个社区都有教师去，则不同的安排方法有( B )
A．20种 B．14种
C．10种 D．7种
解析：第一步：将4名教师分成两组，有两种情况：一种情况是1组1人、1组3人，一种情况是每组2人，共有 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C eq \\al(1,4)＋\f(C eq \\al(2,4)·C eq \\al(2,2),A eq \\al(2,2))))种分法；第二步：将第一步得到的两个不同组分给两个不同社区，有A eq \\al(2,2)种分法，则不同的安排方法有 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C eq \\al(1,4)＋\f(C eq \\al(2,4)·C eq \\al(2,2),A eq \\al(2,2))))·A eq \\al(2,2)＝14(种).故选B.
【例】 记f(n)(x)为函数f(x)的n阶导数且f(2)(x)＝[f′(x)]′，f(n)(x)＝[f(n-1)(x)]′(n≥3，n∈N*).若f(n)(x)存在，则称f(x)n阶可导．英国数学家泰勒发现：若f(x)在x0附近n＋1阶可导，则可构造Tn(x)＝f(x0)＋ eq \f(f′(x0),1！)(x－x0)＋ eq \f(f(2)(x0),2！)(x－x0)2＋…＋ eq \f(f(n)(x0),n！)(x－x0)n(称为n次泰勒多项式)来逼近f(x)在x0附近的函数值．据此计算f(x)＝ex在x0＝0处的3次泰勒多项式T3(x)＝1＋x＋ eq \f(x2,2)＋ eq \f(x3,6)；g(x)＝－ eq \f(1,x)在x0＝－1处的10次泰勒多项式中x3的系数为330．
【解析】 ∵f(x)＝ex，
∴f(n)(x)＝ex，f(n)(0)＝1，n∈N*，
∴T3(x)＝f(0)＋(x－0)＋ eq \f(1,2！)(x－0)2＋ eq \f(1,3！)(x－0)3，
∴T3(x)＝1＋x＋ eq \f(x2,2)＋ eq \f(x3,6).
∵g(x)＝－ eq \f(1,x)，∴g′(x)＝x-2，g(2)(x)＝－2x-3，g(3)(x)＝3！x-4，…，g(9)(x)＝9！x-10，g(10)(x)＝－10！x-11，∴g′(－1)＝1，g(2)(－1)＝2，g(3)(－1)＝3！，…，g(9)(－1)＝9！，g(10)(－1)＝10！，
∴T10(x)＝1＋(x＋1)＋(x＋1)2＋(x＋1)3＋…＋(x＋1)10.
故x3的系数为C eq \\al(0,3)＋C eq \\al(1,4)＋C eq \\al(2,5)＋…＋C eq \\al(7,10)＝C eq \\al(4,4)＋C eq \\al(3,4)＋C eq \\al(3,5)＋…＋C eq \\al(3,10)＝C eq \\al(4,5)＋C eq \\al(3,5)＋…＋C eq \\al(3,10)＝…＝C eq \\al(4,10)＋C eq \\al(3,10)＝C eq \\al(4,11)＝330.
本题以高等数学的泰勒展开式为载体，把导数、组合数的性质与计算交汇命题，综合性较强，命题角度新颖，解答本题需先求函数f(x)＝ex的n阶导数，根据泰勒多项式求T3(x)，求f(x)＝－\f(1,x))的1阶至10阶导数，求出其10次泰勒多项式，再根据二项式定理求x3的系数化简求其值．
课时作业69
1．（5分）（2024·河北保定三模）某地下雪导致路面积雪，现安排9名男志愿者，5名女志愿者参与扫雪和铲雪工作，其中3名女志愿者，2名男志愿者参与扫雪工作，其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有( B )
A．240种 B．360种
C．720种 D．2 002种
解析：根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有C eq \\al(3,5)C eq \\al(2,9)＝360（种）.故选B.
2．（5分）甲、乙、丙、丁4名男子短跑运动员参加男子4×100 m接力比赛，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，那么参赛方法共有( C )
A．10种 B．12种
C．14种 D．18种
解析：当甲跑第四棒时，参赛方法有A eq \\al(3,3)＝3×2×1＝6（种）；当甲跑第二或第三棒时，参赛方法有C eq \\al(1,2)C eq \\al(1,2)A eq \\al(2,2)＝2×2×2＝8（种）.参赛方法共有8＋6＝14（种）.故选C.
3．（5分）（2024·湖南岳阳三模）把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲、乙安排在不相邻的两天，乙、丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法共有( D )
A．96种 B．60种
C．48种 D．36种
解析：依题意，设这5个人分别为甲、乙、丙、丁、戊．第一步，将乙、丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有A eq \\al(2,2)＝2（种）情况，第二步，将这个整体与丁、戊全排列，有A eq \\al(3,3)＝6（种）安排方法，第三步，排好后产生4个空位，因甲、乙不相邻，则只能从3个空中任选1个安排甲，有A eq \\al(1,3)＝3（种）安排方法．则由分步乘法计数原理，不同的安排方法共有2×6×3＝36（种）.故选D.
4．（5分）（2024·黑龙江哈尔滨三模）3男3女站成一排拍照，左、右两端恰好是一男一女，则不同的排法种数为( C )
A．240 B．720
C．432 D．216
解析：3男3女站成一排拍照，左、右两端恰好是一男一女，先排左、右两端，有C eq \\al(1,3)C eq \\al(1,3)A eq \\al(2,2)＝18（种）排法，再排中间4个位置，有A eq \\al(4,4)＝24（种）排法，所以不同的排法种数为18×24＝432.故选C.
5．（5分）（2024·河北邯郸二模）某班联欢会原定5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为( C )
A．12 B．18
C．20 D．60
解析：根据题意，可分为两类：①当新节目插在中间的四个空隙中的一个时，有C eq \\al(1,4)A eq \\al(2,2)＝4×2＝8（种）方法；②当新节目插在中间的四个空隙中的两个时，有A eq \\al(2,4)＝4×3＝12（种）方法．由分类加法计数原理得共有8＋12＝20（种）不同的插法．故选C.
6．（5分）（2024·浙江金华三模）从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数个数为( D )
A．36 B．54
C．60 D．72
解析：根据题意，完成这件事可分三步：第一步，选数字，有C eq \\al(3,4)＝4（种）；第二步，将选好的三个数字确定一个重复的数字，有C eq \\al(1,3)＝3（种）；第三步，先安排两个不同的数字，再让两个相同的数字插空，则有A eq \\al(2,2)·C eq \\al(2,3)＝6（种）排序方法．由分步乘法计数原理可得这样的四位数共有4×3×6＝72（个）.故选D.
7．（5分）（2024·河北秦皇岛三模）三人被邀请参加同一个时间段的两个晚会，若两个晚会都必须有人去，去几人自行决定，且每人最多参加一个晚会，则不同的去法有( B )
A．8种 B．12种
C．16种 D．24种
解析：第一种情况，只有两人参加晚会，有A eq \\al(2,3)＝6（种）去法；第二种情况，三人参加晚会，有C eq \\al(2,3)A eq \\al(2,2)＝6（种）去法，故共有12种去法．故选B.
8．（5分）（2024·安徽安庆三模）A，B，C，D，E 5所学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有甲、乙、丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则A校不去甲地，乙地仅有2所学校去的不同的选择方法共有( B )
A．36种 B．42种
C．48种 D．60种
解析：①A校去乙地有C eq \\al(1,4)C eq \\al(1,3)A eq \\al(2,2)＝24（种），②A校与另一所学校去丙地有C eq \\al(1,4)C eq \\al(2,3)＝12（种），③A校单独去丙地有C eq \\al(2,4)＝6（种），所以共有24＋12＋6＝42（种）.故选B.
9．（6分）（多选）下列关于排列数、组合数的等式中成立的是( ACD )
A．C eq \\al(3,8)＝C eq \\al(5,8) B．C eq \\al(2,8)＋C eq \\al(3,8)＝C eq \\al(4,9)
C．A eq \\al(3,8)＝C eq \\al(3,8)A eq \\al(3,3) D．A eq \\al(5,8)＝8A eq \\al(4,7)
解析：对于A，因为C eq \\al(m,n)＝C eq \\al(n－m,n)，所以C eq \\al(3,8)＝C eq \\al(5,8)，故A正确；对于B，因为C eq \\al(m,n)＋C eq \\al(m+1,n)＝C eq \\al(m+1,n＋1)，所以C eq \\al(2,8)＋C eq \\al(3,8)＝C eq \\al(3,9)，故B错误；对于C，因为C eq \\al(3,8)＝ eq \f(A eq \\al(3,8),A eq \\al(3,3))，所以A eq \\al(3,8)＝C eq \\al(3,8)A eq \\al(3,3)，故C正确；对于D，8A eq \\al(4,7)＝8×7×6×5×4＝A eq \\al(5,8)，故D正确．故选ACD.
10．（6分）（多选）（2024·山西晋中模拟）某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是( ACD )
A．若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法
B．若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法
C．若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法
D．若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法
解析：对于A，将2名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列，则有A eq \\al(2,2)A eq \\al(4,4)＝48（种），故A正确；对于B，要求女生与男生相间排列，采用插空法，先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的2个空中，则有A eq \\al(2,2)A eq \\al(3,3)＝12（种），故B错误；对于C，先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的4个空中，则有A eq \\al(3,3)A eq \\al(2,4)＝72（种），故C正确；对于D，将5名同学排成一排，相当于将他们放到排成一排的5个空位中，先将男生甲排在中间的3个空位中，再将剩下4名同学进行全排列，则有A eq \\al(1,3)A eq \\al(4,4)＝72（种），故D正确．故选ACD.
11．（6分）（多选）现有编号分别为1，2，3，4，5的五个球，则( AC )
A．全部放入4个不同的盒子里，共有45种放法
B．放入4个不同的盒子里，每盒至少一个，共有4种放法
C．将其中的4个球放入4个不同的盒子里的一个（另一个球不放入），共有20种放法
D．全部放入3个不同的盒子里，没有空盒，共有140种不同的放法
解析：对于A，由分步乘法计数原理，五个球全部放入4个不同的盒子里共有45种放法，故A正确；对于B，五个不同的球放入4个不同的盒子里，每盒至少一个，共有C eq \\al(2,5)A eq \\al(4,4)＝240（种）放法，故B错误；对于C，将其中的4个球放入一个盒子里（另一个球不放入），共有C eq \\al(4,5)C eq \\al(1,4)＝20（种）放法，故C正确；对于D，全部放入3个不同的盒子里，没有空盒，共有C eq \\al(3,5)A eq \\al(3,3)＋ eq \f(C eq \\al(2,5)C eq \\al(2,3),A eq \\al(2,2))A eq \\al(3,3)＝150（种）不同的放法，故D错误．故选AC.
12．（6分）若C eq \\al(2x-5,16)＝C eq \\al(x-1,15)＋C eq \\al(x,15)，则正整数x的值为5或7．
解析：由组合数性质C eq \\al(m,n＋1)＝C eq \\al(m-1,n)＋C eq \\al(m,n)，可得C eq \\al(x-1,15)＋C eq \\al(x,15)＝C eq \\al(x,16)，则C eq \\al(2x-5,16)＝C eq \\al(x,16)，所以2x－5＝x或2x－5＋x＝16，解得x＝5或x＝7.
13．（6分）（2025·安徽合肥一模）北京时间2024年10月30日12时51分，神舟十八号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十九号航天员乘组（蔡旭哲、宋令东、王浩泽3人）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，叶光富不站最左边，蔡旭哲不站最右边，则不同的排法有504种．
解析：第一种情况，叶光富站在最右边，此时剩余的5人可以进行全排列，共有A eq \\al(5,5)＝120（种）排法；第二种情况，叶光富不站在最右边，根据题目条件叶光富不站最左边，此时叶光富有4种站法，根据题目条件蔡旭哲不站在最右边，可知蔡旭哲有4种站法，剩余的4人进行全排列，共有4×4×A eq \\al(4,4)＝384（种）排法．由分类加法计数原理可知，总共有120＋384＝504（种）排法．
14．（6分）（2024·上海闵行区三模）某羽毛球俱乐部，安排男、女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有4 050种．
解析：先考虑两对混双的组合有2C eq \\al(2,6)·C eq \\al(2,6)种不同的方法，余下4名男选手和4名女选手各有3种不同的配对方法组成两对男双组合、两对女双组合，故共有2C eq \\al(2,6)·C eq \\al(2,6)×3×3＝4 050（种）不同的安排方法．
15．（8分）（2024·四川德阳三模）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生夏季运动会在成都市举行，组委会将5名大学生分配到A，B，C三个路口进行引导工作，每个路口至少分配一人，每人只能去一个路口．若甲、乙要求去同一个路口，则不同的分配方案共有( C )
A．18种 B．24种
C．36种 D．48种
解析：第一步：先将5名大学生分成三组，每组人数为1，1，3或1，2，2.当分为1，1，3时，且甲、乙要求去同一个路口，则甲、乙必须在3人组，因此只需从剩下的3人中任选一人，其余两人各自一组，共有C eq \\al(1,3)种分法；当分为1，2，2时，且甲、乙要求去同一个路口，则将剩下的3人分成两组即可，共有C eq \\al(1,3)C eq \\al(2,2)种分法．第二步：再将分好的三组人员分配到三个路口，共有A eq \\al(3,3)种分配方案．因此共有（C eq \\al(1,3)＋C eq \\al(1,3)C eq \\al(2,2)）A eq \\al(3,3)＝36（种）不同的分配方案．故选C.
16．（8分）（2025·吉林白山一模）2024年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男一女，则总的站法种数为( B )
A．300 B．432
C．600 D．864
解析：杨教授站中间，只有1种方法；四名男生分成两组站在两边方法数为 eq \f(C eq \\al(2,4)C eq \\al(2,2),A eq \\al(2,2))A eq \\al(2,2)；两名女生站在两边方法数为A eq \\al(2,2)，每一边两名男生与一名女生再排序，得出总的方法数为N＝ eq \f(C eq \\al(2,4)C eq \\al(2,2),A eq \\al(2,2))A eq \\al(2,2)A eq \\al(2,2)A eq \\al(3,3)A eq \\al(3,3)＝432.故选B.
17．（8分）（多选）（2024·山东济南一模）下列等式中正确的是( BCD )
A．＝28 B．＝C eq \\al(3,9)
C． eq \i\su(k＝2,8, ) eq \f(k－1,k！)＝1－ eq \f(1,8！) D． eq \i\su(k＝0,8, )（C eq \\al(k,8)）2＝C eq \\al(8,16)
解析：对于A，(1＋x)8＝C eq \\al(0,8)＋C eq \\al(1,8)x＋C eq \\al(2,8)x2＋…＋C eq \\al(8,8)x8，令x＝1，得28＝1＋C eq \\al(1,8)＋C eq \\al(2,8)＋…＋C eq \\al(8,8)＝1＋，则＝28－1，故A错误．对于B，因为C eq \\al(2,n)＋C eq \\al(3,n)＝C eq \\al(3,n＋1)，所以＝C eq \\al(2,2)＋C eq \\al(2,3)＋C eq \\al(2,4)＋…＋C eq \\al(2,8)＝C eq \\al(3,3)＋C eq \\al(2,3)＋C eq \\al(2,4)＋…＋C eq \\al(2,8)＝C eq \\al(3,4)＋C eq \\al(2,4)＋…＋C eq \\al(2,8)＝…＝C eq \\al(3,8)＋C eq \\al(2,8)＝C eq \\al(3,9)，故B正确．对于C，因为 eq \f(1,(k－1)！)－ eq \f(1,k！)＝ eq \f(k,k·(k－1)！)－ eq \f(1,k！)＝ eq \f(k－1,k！)，所以 eq \i\su(k＝2,8, ) eq \f(k－1,k！)＝ eq \i\su(k＝2,8, ) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,(k－1)！)－\f(1,k！)))＝ eq \f(1,1！)－ eq \f(1,2！)＋ eq \f(1,2！)－ eq \f(1,3！)＋…＋ eq \f(1,7！)－ eq \f(1,8！)＝1－ eq \f(1,8！)，故C正确．对于D，(1＋x)16＝(1＋x)8(1＋x)8，对于(1＋x)16，含x8的项的系数为C eq \\al(8,16)，对于(1＋x)8(1＋x)8，要得到含x8的项，需从第一个式子取出k(0≤k≤8，k∈N)个x，再从第二个式子取出(8－k)个x，它们对应的系数和为＝ eq \i\su(k＝0,8, )（C eq \\al(k,8)）2，所以 eq \i\su(k＝0,8, )（C eq \\al(k,8)）2＝C eq \\al(8,16)，故D正确．故选BCD.定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A eq \\al(m,n)表示
全排列的概念
把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列
阶乘的概念
正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示．A eq \\al(n,n)＝n！，0！＝1
排列数公式(n，
m∈N*，m≤n)
连乘式A eq \\al(m,n)＝n(n－1)·(n－2)…(n－m＋1)
阶乘式A eq \\al(m,n)＝ eq \f(n！,(n－m)！)
定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C eq \\al(m,n)表示
组合数
公式
乘积式
C eq \\al(m,n)＝ eq \f(A eq \\al(m,n),A eq \\al(m,m))＝ eq \f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)
阶乘式
C eq \\al(m,n)＝ eq \f(n！,m！(n－m)！)
两个性质
性质1
C eq \\al(m,n)＝C eq \\al(n－m,n)
性质2
C eq \\al(m+1,n＋1)＝C eq \\al(m,n)＋C eq \\al(m+1,n)