新高考数学二轮复习提分练习01 平面向量（2份，原卷版+解析版）

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结论1：极化恒等式
1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设，，则，
（1）
（2）
（1）（2）两式相加得：
2、极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
（1）平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
（2）三角形模式：（M为BD的中点）
结论2：矩形大法：矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等．
已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：．
【证明】（坐标法）设，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xy，
则，设，则
结论3：三点共线的充要条件
设、、是三个不共线向量，则A、B、P共线存在使．
特别地，当P为线段AB的中点时，．
结论4：等和线
【基本定理】
（一）平面向量共线定理
已知，若，则三点共线；反之亦然．
（二）等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线．
（1）当等和线恰为直线时，；
（2）当等和线在点和直线之间时，；
（3）当直线在点和等和线之间时，；
（4）当等和线过点时，；
（5）若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
结论5：奔驰定理
【奔驰定理】若O为内任一点，且，则
【典型例题】
例1．在中，是的中点，，则____．
【答案】-16
【解析】因为是的中点，由极化恒等式得：
．
例2．正三角形内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】取AB的中点D，连结CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且，所以，（也可用正弦定理求AB）
又由极化恒等式得：
因为P在圆O上，所以当P在点C处时，
当P在CO的延长线与圆O的交点处时，
所以
例3．已知圆与，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以为邻边作矩形，则
由得，即，
的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
，
．
例4．在平面内，已知，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以四边形是平行四边形，
又，所以四边形是矩形，从而
，
因为，所以，即
例5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
又，．
例6．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是__________．
【答案】2
【解析】（秒杀）作平行于AB的直线l，当且仅当l与圆相切时，的取最大值2．
令，则由
得．
由三点共线可得
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·北京西城·高三统考期末）在中，．P为边上的动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立直角坐标系，
则，直线所在直线方程为，
设，，则，，
，
当时，，当时，，
故其取值范围为，
故选：B.
2．（2023·北京昌平·高三统考期末）已知向量满足，则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】把平移到共起点，以的起点为原点，所在的直线为轴，的方向为轴的正方向，见下图，设，则
又则点的轨迹为以为直径的圆，又因为所以故以为直径的圆为，所以的最大值就是以为直径的圆上的点到原点距离的最大值，所以最大值为
故选：C
3．（2023·广西桂林·统考一模）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．4
【答案】B
【解析】由于M为线段BC的中点，则
又，所以，又，
所以，则
因为三点共线，则，化得
由
当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为1
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在半径为4的扇形中，，点是上的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，如图，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立平面直角坐标系.
则由已知可得，，，，
根据三角函数的定义知，.
则，，
所以，，
因为，，所以.
则，当，即时，该式子有最小值为-8.
故选：A.
5．（2023·全国·高三专题练习）在平面内，定点满足，，动点P，M满足，，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，即点到三点的距离相等，可得为的外心，
又由，
可得，所以，
同理可得，所以为的垂心，
所以的外心与垂心重合，所以为正三角形，且为的中心，
因为，解得，
所以为边长为的正三角形，
如图所示，以为原点建立直角坐标系，则，
因为，可得设，其中，
又因为，即为的中点，可得，
所以.
即的最大值为.
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）中，，O是外接圆圆心，是的最大值为（ ）
A．0B．1C．3D．5
【答案】C
【解析】过点O作，垂足分别为D，E，如图，因O是外接圆圆心，则D，E分别为AC，的中点，
在中，，则，即，
，同理，
因此，
，
由正弦定理得：，当且仅当时取“=”，
所以的最大值为3.
故选：C
7．（2023·全国·高三专题练习）AB为⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一条弦，，若点P为⊙C上一动点，则的取值范围是（ ）
A．[0，100]B．[－12，48]C．[－9，64]D．[－8，72]
【答案】D
【解析】取AB中点为Q，连接PQ
，
，
又，
，
∵点P为⊙C上一动点，
∴
的取值范围[－8，72].
故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）在中，D为三角形所在平面内一点，且，则（
）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，设AD交BC于E，且，由B,E,C三点共线可得：
，∴，
∴.
设，则，∴.
又，∴，∴.
故选：B.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知向量，，满足，在方向上的投影为2，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，向量的夹角为，则，则，
因为，所以.
不妨设，，设，
则，整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆，记圆心为，
又，即，
当直线过圆心，且垂直于轴时，可取得最小值，即.
故选：A.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意知：，设

以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：
，，设
则，

当时，
本题正确选项：
11．（2023·全国·高三专题练习）是所在平面上的一点,满足,若,则的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．8
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴，且方向相同．
∴，
∴．选A．
12．（2023·全国·高三专题练习）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3B．2C．D．2
【答案】A
【解析】[方法一]：特殊值法
,故选A
[方法二]：解析法
如图所示，建立平面直角坐标系.
设,
易得圆的半径，即圆C的方程是，
，若满足，
则，，所以，
设，即，点在圆上，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.
二、多选题
13．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，，，O为△ABC内的一点，设，则下列说法正确的是（ ）
A．若O为△ABC的重心，则B．若O为△ABC的内心，则
C．若O为△ABC的外心，则D．若O为△ABC的垂心，则
【答案】ACD
【解析】对于A选项，重心为中线交点，则，即，
因为，
则，
所以，，
所以，故A正确；
对于B选项，内心为角平分线交点，则，
即，所以，
由A选项，则，，
所以，故B错误；
对于C选项，外心为垂直平分线交点，即的外接圆圆心，
因为，设为边的中点，
所以，，
所以，
因为，所以，
在中，，则，
，
所以，易知，所以，
所以，故C正确；
对于D选项，垂心为高线交点，设，垂足为边上点，则，，共线，
由C选项，因为，，
所以，
因为，则，即，
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，
所以，解得，
所以，故D正确；
故选：ACD
14．（2023·全国·模拟预测）已知，，是互不相等的非零向量，其中，是互相垂直的单位向量，，记，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则O，A，B，C四点在同一个圆上
B．若，则的最大值为2
C．若，则的最大值为
D．若，则的最小值为
【答案】AD
【解析】对于A选项，如图，若，则，所以，又，所以，所以O，A，B，C四点在同一个圆上，故A正确；
对于B选项，若，由A选项知，O，A，B，C四点在同一个圆上，
又，则其长度为圆上弦的长度.当线段为该圆的直径时，最大，且最大值等于，故B错误；
对于C选项，由题可得A，B，C均在以为圆心、1为半径的圆上，
设，又，则
.其中.
则
，
当时取等号.故C错误.
对于D选项，由C选项分析结合可知.
又，则
，
则由重要不等式有：.
得，当且仅当时取等号.故D正确.
故选：AD
15．（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，，则
C．若O为△ABC的内心，，则
D．若O为△ABC的垂心，，则
【答案】ACD
【解析】对A，由奔驰定理可得，，又不共线，故，A对；
对B，，由得，故，B错；
对C，若O为△ABC的内心，，则，又（为内切圆半径），三边满足勾股定律，故，C对；
对D，若O为△ABC的垂心，则，，
又，
同理，∴，
∵，则，
且
如图，分别为垂足，
设，，则，
又，故，
由，解得，
由，故，D对故选：ACD
16．（2023·全国·高三专题练习）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其中，动点P在上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ ）
图1 图2
A．若，则B．若，则
C．D．
【答案】ABD
【解析】如图，作 ,分别以为x,y轴建立平面直角坐标系，
则 ,
设 ，则,
由可得 ，且 ，
若，则，
解得 ，（负值舍去），故，A正确；
若，则，，故B正确；
，
由于，故，故，故C错误；
由于，
故
，而，
故，故D正确，
故选：ABD
17．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆О是边长为的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，（，），则可以取值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】CD
【解析】根据三角形面积公式得到，可得到内切圆的半径为1；
以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，
可得到点的坐标为：，，，，，
，，，
∵
∴，
∴，，
∴，，
，
，
故选项CD满足.
故选：CD.
18．（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，、、的面积分别为、、，则.若是锐角内的一点，、、是的三个内角，且点满足，则（ ）
A．为的垂心
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】A项：，即，
，，，
同理可得，，
故为的垂心，A正确；
B：如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点，
因为，所以，，
因为，所以，，
则
，B正确；
C项：在中，由正弦定理易知，
因为，，
所以，
即，，
同理可得，
故，C错误；
D项：，同理可得，，
则
，
同理可得，，
因为，
所以将、、代入，可得，
因为，
所以，
故成立，D正确，
故选：ABD.
三、填空题
19．（2023·全国·高三专题练习）在中，点分别是线段的中点，点在直线上，若的面积为2，则的最小值是_____________.
【答案】
【解析】如图，取BC中点为M，做，
则，又，
，则，
得.
注意到，
则.又由图可得，
则，
当且仅当，且，即时取等号.
故答案为：
20．（2023·四川南充·统考一模）已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】设向量与的夹角为，，则，
，
所以当时，取得最小值为，
即，
所以.
如图所示，设，三角形是等边三角形，
设是的中点，则，
由于，所以，
所以点的轨迹是以为直径的圆，圆的半径为，
根据圆的几何性质可知，即的取值范围为.
故答案为：
21．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知圆半径为 是圆上不重合的点， 则的最小值为_____.
【答案】
【解析】取中点C，劣弧AB的中点D，
，
显然，P为劣弧AB的中点D时，最小，
记，由垂径定理可得：，即，
则，
当时，取最小值，最小值为.
故答案为：
22．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足，若，则的最小值是_____________．
【答案】
【解析】设，由，根据三角不等式，有
，
得，
故
.
故答案为：.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：与的夹角为，记是的最大值，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】如图，
设为AB中点，令，
则 ①，
因为，
故有，
②，
由①②得，从而，
因为，所以，即点C在以AB为直径的圆E上.
，
，
当且仅当时，即时等号成立.
故答案为：
24．（2023·全国·高三专题练习）点M在△ABC内部，满足，则____________．
【答案】
【解析】如图，分别延长至至至，使，，连接.
由，得，
∴点是的重心，
延长EM交DF于G，则MG＝EG，
过M作MH⊥DF于H，过E作EI⊥DF与I，则MH＝EI，
故，同理可证，
∴，
设，
设，
则
，
同理，
∴：.
故答案为：3:4.