新高考数学三轮冲刺训小题限时卷07（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学三轮冲刺训小题限时卷07（2份，原卷版+解析版），共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

（模式：8+3+3 满分：73分 限时：50分钟）
一、单选题
1．（2025高三·全国·专题练习）已知，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数，继而得的虚部.
【详解】由，
则，的虚部为2.
故选：D.
2．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知集合，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由交集的结果求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】依题意，由，得，此时成立；反之当时，不一定成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：C
3．（2024·辽宁·模拟预测）从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】依题意,,故.故选B.
【点睛】本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.
4．（2025·贵州黔东南·模拟预测）函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性，排除C，再由当时，排除A，B，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为，关于原点对称，
且所以函数是奇函数，其图象关于原点中心对称，排除C；
又由当时，排除A，B;
故选：D．
5．（2025·河南·模拟预测）已知正数满足，则当取得最大值时，（ ）
A．B．4C．D．
【答案】D
【分析】由条件可得得，代入可得，设对右侧进行换元，再结合基本不等式求目标函数的最值，并确定取最值的条件.
【详解】由，得，
，
，，
令，
则，
当且仅当，即时取等号，此时．
故选：D．
6．（2025·陕西咸阳·一模）已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，根据极值点可得与在内有2个交点，利用导数判断的单调性和最值，结合图象分析求解.
【详解】因为，可知在内有2个变号零点，
由可得，可知：与在内有2个交点，
又因为，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
且，，
结合图象可得，所以实数a的取值范围为.
故选：B.
7．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ）
A．11B．9C．7D．5
【答案】B
【分析】根据已知可得，为正奇数且，结合为的零点，为图象的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合在上单调，可得的最大值.
【详解】由，为图象的对称轴，得，则，
由在上单调，得，解得，
当时，，由，得，此时，
当时，，当时取得最大值1，
即在上不单调，不满足题意；
当时，，由，得，此时，
当时，，此时在上单调递减，符合题意，
所以的最大值为9.
故选：B
8．（2025·福建漳州·模拟预测）如图，在高为16的圆柱型筒中，放置两个半径均为3的小球，两个小球均与筒壁相切，且分别与两底面相切，已知平面与两个小球也相切，平面被圆筒所截得到的截面为椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出截面图，由圆柱高和球的半径求出的长，由勾股定理求得的长，再由三角形全等，求得长半轴长，由圆柱得到短半轴长，从而求得半焦距长，然后由离心率公式求得离心率的值.
【详解】设平面α被圆筒所截得到的截面为椭圆，如图，作出圆柱过椭圆的长轴的截面图，
设长轴A，B与两圆的切点是．连接，记椭圆长轴与交于点C，
过C作，且CD交圆柱的母线于点D，连接，
则，．
因为圆柱的高为16，球的半径是3，所以圆柱的底面半径为3，．
根据对称性可知C是，AB的中点，故，则．易得，故，则椭圆的长半轴长．
由题意得椭圆的短半轴长，所以半焦距长，则椭圆的离心率为，
故选：D．
二、多选题
9．（2025·河南·模拟预测）坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试．为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一．已知某地区进行体育达标测试统计得到高三女生坐位体前屈的成绩（单位）服从正态分布，且，现从该地区高三女生中随机抽取3人，记不在区间的人数为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】利用正态分布的性质计算判断A；利用二项分布的期望、方差公式计算判断BC；利用对立事件的概率公式计算判断D.
【详解】对于A，由，得，
则，A错误；
对于B，由A知，不在区间的概率为，，，
因此，B正确；
对于C，由B知，，因此，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC
10．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则（ ）
A．
B．取中点，直线的斜率与直线的斜率之积为
C．以为直径的圆与轴相切
D．若，，则
【答案】ACD
【分析】设直线的方程为，联立方程组化简求，由此可判断A，再求点的坐标，结合两点斜率公式求直线的斜率，由此判断B，求的中点到轴的距离与圆的半径比较大小可得结论，结合抛物线定义列方程求，判断D.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，
由已知直线的斜率不为，
设直线的方程为，
联立，化简可得，
方程的判别式，
由已知，，A正确，
点的纵坐标为，横坐标为，
所以直线的斜率为，
当时，
直线的斜率与直线的斜率之积为，B错误；
线段，
点到轴的距离为，点到轴的距离为，
所以线段的中点到轴的距离为，
所以以为直径的圆的圆心到轴的距离等于该圆的半径，
所以以为直径的圆与轴相切，C正确；
若，，由抛物线定义可得，，
所以，
又点在抛物线上，
所以，，
所以，
所以，
所以，所以，D正确.
故选：ACD.

11．（2025·吉林·二模）数学与音乐有紧密的关联，每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数. 像我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音. 复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分，如二分之一，三分之一，四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等，这些音叫谐音，因为振幅较小，我们一般不易单独听出来. 所以我们听到的声音的函数是，记，则（ ）
A．的最大值为B．在上单调递增
C．的周期为D．
【答案】BCD
【分析】利用正弦函数性质得到和无法同时取得最大值判断A，利用正弦函数性质分别判断得，，的单调性求解B，利用周期性的定义求解C，利用导数结合分类讨论证明，再结合绝对值三角不等式放缩证明D即可.
【详解】对于A，，
若的最大值为，则和必须同时取得最大值，
由正弦函数性质得和无法同时取得最大值，
则的最大值不为，故A错误；
对于B，由题意得，
因为，所以，，
由正弦函数性质得，，在上单调递增，
由函数的性质得，多个增函数相加，结果一定是增函数，
得到在上单调递增，故B正确；
对于C，令，
而，
，
，
得到的周期为，故C正确；
对于D，欲证，则证即可，
令，而，
，则是偶函数，
则证当时，即可，此时，
当时，，，
故在上单调递减，得到
则成立，当时，同理可得成立，
综上，结合是偶函数，可得恒成立，
故
，
则对于时，成立，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．（2025·河南·模拟预测）设（其中、），则 ．
【答案】
【分析】利用二项展开式计算的值，即可得出的值.
【详解】因为
，其中、，
故.
故答案为：.
13．（2025·福建漳州·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数 ．
【答案】2
【分析】利用导数的几何意义得到斜率，进而写出切线方程，再联立方程组，令判别式为，得到，求解参数即可.
【详解】令，则，故切点为，
设切线斜率为，而，则，
则曲线在处的切线方程为，
由题意得曲线在处的切线也是曲线的切线，
联立方程组，，
得到，则，解得.
故答案为：2
14．（2025·吉林·二模）如图，在三棱锥中，平面平面，，点E在棱上，且，侧面内一动点P满足，则点P的轨迹长度为 ；直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 .
【答案】 /
【分析】分析点的轨迹，可求点的轨迹长度，建立空间直角坐标系，利用空间向量可求直线与直线所成角的余弦值的取值范围（或者用三余弦定理求直线与直线所成角的余弦值的取值范围）.
【详解】（法一）由得，点P轨迹是以A为球心，1为半径的球面，又点P在平面内，点P在以A为圆心，1为半径，为圆心角的圆弧上，因此点P的轨迹长度为.
建系如图，设，则.
.
令，
.
故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.
（法二）设直线与直线所成角为，取的中点，根据三余弦定理可知，，易知P从点M运动至N处，逐渐减小，则逐渐增大，
由图可知，P从点M运动至N处逐渐增大，
则P在点M处时，取得最小值，此时，
则P在点N处时，取得最大值，此时，
故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.
（模式：4+2+1 满分：37分 限时：25分钟）
一、单选题
1．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知角的终边经过点，将的终边逆时针旋转得到角，若，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】先由条件求出，再根据角的旋转及两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，
所以，解得：.
故选：D
2．（2025·吉林·二模）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线上且满足轴，若，则双曲线的实轴长为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【分析】利用给定条件求出，再设出双曲线方程，求解基本量，得到实轴长即可.
【详解】因为轴，且，双曲线的右焦点为，
所以，设双曲线方程为，且，
将代入双曲线方程，得到，联立解得(负根舍去)，
则双曲线的实轴长为，故B正确.
故选：B
3．（2025·福建漳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，向量，若不共线，记以OA，OB为邻边的平行四边形的面积．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根据条件设出向量和，以及向量的坐标，代入条件中定义，即可求解.
【详解】依题意设，
则，，，，
则.
故选：C．
4．（2025·河南·模拟预测）已知、，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换化简、、，求出的取值范围，可得出、的取值范围，逐项判断即可.
【详解】由题可得，，
，
因为、，则，
故，，
所以，，，，所以．
故选：B．
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．若，则
【答案】ACD
【分析】设，由对数运算及单调性判断ACD，特值法判断B.
【详解】因为，设
对A，知，易知.选项A正确.
对C，因为，，，所以，，，
于是，选项C正确.
对D，若，则，即，则.
由知.选项D正确.
对B，取，则，由知，
知，所以，即，
，此时，选项B错误.
故选：ACD.
6．（2025·贵州黔东南·模拟预测）《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何体是上下底面为互相平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体.如图，现有一高为2的“刍童”，其中，则（ ）
A．该“刍童”的所有侧棱的延长线交于一点
B．该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角的正弦值均为
C．该“刍童”外接球的表面积为
D．该“刍童”外接球表面上的点到平面的距离的最大值为
【答案】CD
【分析】判断“刍童”不是棱台，可判断A的真假；求出侧棱与底面所成角的正弦，判断B的真假；求“刍童”外接球半径，进而求外接球表面积，判断C的真假；先求球心到平面的距离，再求“刍童”外接球表面上的点到平面的距离的最大值，判断D的真假.
【详解】对A：根据“刍童”的概念可知：“刍童”不是棱台，所以“刍童”的所有侧棱的延长线不会交于一点，故A错误；
对B：如图：
易知，该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角均相等.
设上下底面的中心分别为，则,,，
设，则，且为锐角，所以，故B错误；
对C：如图：
若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”外面，设其外接球半径为，，（）
则，
所以该“刍童”的的外接球的表面积为：.
若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”里面，设其外接球半径为，，（）
则，不合题意，故舍去.
所以该“刍童”的的外接球的表面积为：.故C正确；
对D：如图：
等腰梯形中，，，，所以，
即等腰梯形外接圆的半径.
所以该“刍童”的的外接球球心到平面的距离为：，
所以该“刍童”外接球表面上的点到平面的距离的最大值为，故D正确.
故选：CD
【点睛】结论点睛：球面上任意点到某平面的距离的最大值，等于球的半径与球心到平面的距离之和.
三、填空题
7．（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列满足：，若，则 ．
【答案】
【分析】根据两个式子相加和相减可得和分别为等比数列，即可利用等比数列的通项求解.
【详解】由题意可得，
则，，
又，
则数列是以4为首项，公比为4的等比数列，
数列是以2为首项，公比为2的等比数列，
所以①，②，
①②联立得，所以．
故答案为：
（模式：1+1+1 满分：16分 限时：15分钟）
一、单选题
1．（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知椭圆的左，右焦点分别为，点在该椭圆上，若满足为直角三角形的点共有8个，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】数形结合，问题转化成，进而利用的关系求离心率的取值范围.
【详解】如图：
因为使为直角三角形的点有8个，所以在中，必有，即，
所以，即，可得.
又椭圆的离心率，所以.
故选：A
二、多选题
2．（2025·吉林·二模）已知是定义在上的函数，对于任意实数满足，当时，，则（ ）
A．B．
C．有3个零点D．若，则或
【答案】ACD
【分析】利用赋值法求值判断A，利用赋值法得到判断B，利用赋值法求解零点个数判断C，对参数范围分类讨论结合奇函数的性质判断D即可.
【详解】对于A，已知，
令，则，
故；令，则，解得，故A正确；
对于B，令，则，
解得；令，则，
得到是奇函数，不满足，故B错误；
对于C，令，则，
而，得到是奇函数，且在上有定义，
则，，得到有3个零点，故C正确，
对于D，结合，解得，
显然，而，若，则即可，
当时，此时，则，符合题意，
而在时，，则，，不符合题意，排除，
当时，，，故，
由奇函数性质得，符合题意，
当时，，此时，
由奇函数性质得，不符合题意，排除，
综上，若，则或，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：解题关键是对参数范围分类讨论，然后结合奇函数的性质得到符合条件的解集即可．
三、填空题
3．（2025·河南·模拟预测）在棱长为3的正方体中，为线段的三等分点（在之间），一动点满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】建系，根据空间间距离公式分析可知点的轨迹为以为圆心，半径的球，根据数量积可得，结合球的性质可得的范围即可得结果.
【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，设，
因为，则，
整理可得，
可知点的轨迹为以为球心，半径的球，
取的中点分别为，的中点为，
则，
可得
，
又因为，则在球外，
则，即，
可得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：1.利用空间直角坐标系求点点的轨迹；
2.根据数量积的性质可得，进而可求范围.