新高考数学三轮冲刺训小题限时卷03（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学三轮冲刺训小题限时卷03（2份，原卷版+解析版），共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

（模式：8+3+3 满分：73分 限时：50分钟）
一、单选题
1．（2024·湖南长沙·模拟预测）在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的几何意义得答案．
【详解】∵，
由复数与对应的点关于虚轴对称，
∴．
故选：C.
2．（24-25高三上·贵州·阶段练习）下列四个条件中，使成立的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用赋值法易判断ABC，利用函数在上单调递增，可判断D.
【详解】对于A，由，得，
反之，当时，不能推出，
故是成立的充分不必要条件，故A错误；
对于B，当时，不成立，故不是成立的充分条件，
反之，当时，成立，故是成立的必要不充分条件，故B错误；
对于C，当时，成立，但不成立，所以是成立的不充分条件，
反之，满足成立，但不成立，所以是成立的不必要条件，
所以是的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D，由在上单调递增，可得是的充要条件，故D正确.
故选：D．
3．（24-25高三上·云南·阶段练习）在展开式中，含的项的系数是6，则（ ）
A．6B．3C．3D．6
【答案】B
【分析】先由乘法法则求出展开式中含的项，再结合的项的系数是6即可求出a.
【详解】由题可得含的项为，
所以.
故选：B.
4．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知数列满足，且，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】列出数列的前几项，即可得到数列是周期为的周期数列，根据周期性计算可得.
【详解】由题意数列满足，由，
得，，，，
由此可知数列是周期为的周期数列，所以.
故选：C
5．（2024·浙江温州·一模）若方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据直线的方向向量得出斜率，设点斜式方程，再由圆心到直线距离等于半径求解.
【详解】由直线的方向向量为知，直线的斜率，
设直线方程为，
则由直线与圆相切知，圆心到直线的距离，
解得或，
所以直线的方程为或，
即或，
故选：B
6．（2024·重庆·模拟预测）正三棱台三侧棱的延长线交于点，如果，三棱台 的体积为， 的面积为，那么侧棱与底面所成角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过作面于，交面于，连接，则为侧棱与底面所成的角，根据条件得到，利用棱台的体积公式得到，进而得到，再利用三棱锥为正三棱锥，求得，即可求解.
【详解】过作面于，交面于，连接，
正三棱台三侧棱的延长线交于点，所以三棱锥为正三棱锥，
又因为，则，所以，又 的面积为，
所以，则，
解得，所以，设的边长为，则，解得，
又三棱锥为正三棱锥，所以是的中心，
又易知边上的高线长为，所以，
又面，所以为侧棱与底面所成的角，则，
故选：D.
7．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知在上单调递增，若为偶函数，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据为偶函数得到关于对称，即有，构造函数，利用导数判断函数的单调性，可判断和的大小，将两边同时取对数可判断和的大小，最后根据在上单调递增比较大小即可.
【详解】因为为偶函数，则，
所以关于对称，所以，
令，则，
当时，，所以在1,+∞上单调递增，
所以，即，
所以，
当x>1时，由得，，则，
由上可得，又在1,+∞上单调递增，
所以，即，
所以.
故选：A．
8．（23-24高三下·浙江·阶段练习）在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求出，设，，在、分别利用正弦定理表示出、，由，利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出的最大值，即可求出三角形面积最大值.
【详解】因为，，，所以，
设，，
则，，，
在中由正弦定理，即，
所以，
在中由正弦定理，即，
所以，
所以
（其中），
所以，
则，
即三角形的面积的最大值是.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键是用含的式子表示出、，再利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出的最大值，进而求出三角形面积最大值.
二、多选题
9．（2024·安徽安庆·三模）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ）
A．B．在方向上的投影向量为
C．若，则D．若，则
【答案】AB
【分析】对于A,只需验证和的数量积是否为0即可;对于B,在方向上的投影向量表示为;对于C,先求平方，再利用数量积即可求夹角;对于D,对式子进行化简，进而判断.
【详解】对于A，因为，是单位向量，
所以，
所以，故A正确；
对于B，因为，是单位向量，
所以在方向上的投影向量为，故B正确；
对于C，因为，
所以，
又因为，所以，故C错误；
对于D，因为，所以，
所以，
所以，故D错误；
故选：AB．
10．（2024·辽宁·二模）关于函数，下列说法正确的有（ ）
A．的定义域为B．的函数图象关于y轴对称
C．的函数图象关于原点对称D．在上单调递增
【答案】ACD
【分析】由对数型复合函数的定义域即可判断A，由函数的奇偶性即可判断BC，由复合函数的单调性即可判断D
【详解】因为，则，解得，
所以的定义域为，故A正确；
因为，即为奇函数，
所以的图像关于原点对称，故B错误，C正确；
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，故D正确；
故选：ACD
11．（2024·四川雅安·一模）已知各项都是正数的数列的前n项和为，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．是单调递增数列B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】应用与的关系，将中的消掉，求出判断符号即可判断A项的正误；判断数列是等差数列，进而求出，再利用作差法判断B项的正误；应用放缩法与裂项相消求出，再与比较即可；构造函数，并利用导数研究函数的最小值，再取即可判断D项的正误.
【详解】因为，所以当时，，
两式相减，可得，
所以，
所以，
所以是单调递减数列，故A错误；
当时，，所以；
当时，，化简整理得，
所以数列是等差数列，其首项为4，公差为4，
所以，
所以
，
所以，故B正确；
因为，
所以
所以，故C正确；
设函数，则，
因为，所以，
所以在上单调递减，
所以，
取，,所以，即
又因为，所以.故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．（2024·河北·模拟预测）双曲线：的左焦点为，右顶点为，点到渐近线的距离是点到渐近线距离的2倍，则的离心率为 .
【答案】2
【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，得到，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】由双曲线：，可得右焦点，右顶点，
其中一条渐近线的方程为，即，
则顶点到的距离为，
焦点到的距离为，
由题可得，即，
所以，所以双曲线的离心率为.
故答案为：2.
13．（2024·河南濮阳·模拟预测）设实数x，y，z满足，则的最大值是 ．
【答案】/0.75
【分析】根据给定条件，消去并变形，借助二次函数最值求解即得.
【详解】实数x，y，z满足，则，
于是
，
当且仅当且时取等号，所以当时，.
故答案为：
14．（2024·广东广州·三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．现在已知甲选择了号箱，用表示号箱有奖品（），用表示主持人打开号箱子（），则 ，若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为 ．
【答案】 /0.375
【分析】根据主持人可打开的箱子号码可确定；分别考虑奖品在号箱、不在号箱的情况，根据此时更改选择，结合全概率公式求解即可.
【详解】奖品在号箱，甲选择了号箱，主持人可打开号箱，则；
若奖品在号箱，其概率为，抽奖人更改了选择，则其选中奖品所在箱子的概率为；
若奖品不在号箱，其概率为，主持人随机打开不含奖品的两个箱子中的个，
若此时抽奖人更改选择，其选中奖品所在箱子的概率为；
若抽奖人更改选择，其中奖的概率为.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题考查条件概率的求解、决策类问题，解题关键是能够根据根据奖品所在箱子号码，确定主持人可打开的箱子数，由此确定选中中奖箱子的概率.
（模式：4+2+1 满分：37分 限时：25分钟）
一、单选题
1．（2024·广东佛山·一模）印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3025的一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半上写着25.这时，他发现，，即将劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字.数学家将3025等符合上述规律的数字称之为雷劈数（或卡普列加数）.则在下列数组：92，81，52，40，21，14中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数的概率是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【分析】找出这6个数中的雷劈数，结合组合数公式求相应的概率.
【详解】因为，所以是雷劈数.其余的不是雷劈数.
记： “从6个数中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数”为事件，
则.
故选：C
2．（2024·贵州贵阳·三模）设数列的前项之积为，满足，则（ ）
A．B．4049C．D．
【答案】C
【分析】根据条件先证明出为等差数列，然后求解出的通项公式，由此可求结果.
【详解】因为，所以，
所以，所以，所以是公差为的等差数列，
因为，所以，
所以，所以，
故选：C.
3．（2024·江西新余·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为、，过作斜率为正且与的某条渐近线垂直的直线与双曲线在第一象限交于，，则的离心率为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，过点作于，结合点到直线的距离公式及双曲线定义求出的关系，即可求出双曲线的离心率.
【详解】令双曲线的半焦距为，则，
令直线与双曲线的渐近线垂直的垂足为，
于是，，
过点作于,则，而为线段的中点,
所以
因为，所以，
由双曲线定义得，即，解得.
所以该双曲线的离心率为.
故选：B.
4．（2024·山东威海·一模）在中，，，是所在平面内一点，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量的数量积以及基本不等式求解即可.
【详解】，，
，
，
，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最大值为.
故选：D.
二、多选题
5．（2024·湖北·模拟预测）已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数；去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（ ）
A．
B．
C．剩下18个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D．剩下18个数据的分位数不等于原样本数据的分位数
【答案】AB
【分析】根据平均数的计算方法判断A；根据方差的计算方法判断B；根据中位数的概念判断C，根据百分位数的计算方法判断D.
【详解】对A：因为，且，所以，故A正确；
对B：设20个数据按从小到大的顺序排列为：，则
，，
因为，
所以
.故B正确；
对C：剩下18个数据的中位数和原样本数据的中位数均为，是相等的，故C错误；
对D:因为，则剩下18个数据的分位数为；又，所以原样本数据的分位数也是，故D错误.
故选：AB
三、填空题
6．（2024·江苏常州·三模）集合，，若，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合B是否为空集进行分类讨论可求的范围．
【详解】由，且，
当时，，则，即，
当时，若，则，解得，
综上，实数的取值范围为．
故答案为：．
7．（2024·上海徐汇·一模）设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】函数y=fx存在两个不同的极值点等价于y=f′x在内有两个异号零点，进而转化为在内有两个不等根即可求解.
【详解】解：易知函数的定义域为，
，
因为函数y=fx存在两个不同的极值点，
所以在内有两个不等根，
设，，
则只需，即，
所以，则的取值范围为.
故答案为：
（模式：1+1+1 满分：16分 限时：15分钟）
一、单选题
1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用正弦、余弦定理，求得的外接圆的半径，记的外心为，证得平面，求得，结合球的截面圆的性质，列出方程求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.
【详解】设的外接圆半径为，因为，，
由余弦定理得，，
所以，
由正弦定理得，所以，
记的外心为，连接，，，则，
取，的中点分别为，，则，，
又因为，可得，，
因为，，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
又因为平面，平面，
所以，，
因为，平面，
所以平面，可得，
由题意可得外接球的球心在上，或在的延长线上，设外接球的半径为，
则球心到的距离为，
则有，解得，
所以球的表面积，
故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于先确定所在截面小圆的半径，再通过几何关系确定球心所在直线，进而确定球心位置，将球心到的距离表示出来，再用勾股定理解出球半径，进而得到结果.
二、多选题
2．（2024·吉林·三模）已知函数，则（ ）
A．当时，函数单调递增
B．当时，函数有两个极值
C．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条
D．当时，若b是a与c的等差中项，直线与曲线有三个交点，，，则.
【答案】AC
【分析】对于A，由题意可得当时，单调递增，即可判断；对于B，由题意可得当时，单调递增，从而可判断B；对于C，设过点的直线与切于点，利用导数可得切线的方程，再代入点，通过判断的解的个数，即可判断切线的条数从而判断C；对于D，由等差中项的定义可得直线过定点，且此点在曲线上，再判断出点是函数的对称中心，即可得的值，即可判断D．
【详解】因为，所以，
对于A，当时，，，
所以当时，，单调递增，故A正确.
对于B，当时，令，则，
所以当时，，
所以单调递增，此时函数没有两个极值，故B错误；
对于C，设过点的直线与切于点，
则切线方程为，
代入得，
整理得：，令，
则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
又，所以只有一个零点，
即方程只有一个解，
所以过点且与曲线相切的直线有且仅有一条，故C正确；
对于D，当时，，又因为是与的等差中项，
所以直线即为直线，
所以直线过定点，且此点在曲线上，

设函数的对称中心为,则有，
即，
整理得：，
所以，解得，
所以函数的关于点对称，设，
则有，所以，故D错误；
故选：AC.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在D选项中，判断出直线过定点，且函数关于此点对称.
三、填空题
3．（2024·云南大理·一模）设函数是的导函数，函数是的导函数，经过研究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足.已知函数，当函数图象的对称中心为时， ，当函数图象的对称中心为时， .
【答案】
【分析】根据三次函数的图象都有对称中心，且，可求出，函数图象的对称中心为，即，可得，利用倒序相加法即可求解.
【详解】因为，且图象的对称中心为，
所以，解得，
而，解得；
因为函数图象的对称中心为，即，
所以，
同理
设①
②
由①+②得，所以.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：倒序相加法求和：当有多个数相加，且每两个相邻加数的差值为定值时，可以将整体颠倒顺序，再与原式相加，如本题中满足，
①
②
将两式相加除以2即可求和.