2027高考数学 高中数学解题思想方法技巧：瞄准“0”定单调性讲义含答案

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瞄准“0”定单调性，速破函数最值或范围是指通过判断函数的导数大于0或小于0，得出函数的单调性，进而求出函数的最值或范围．这种方法几乎适用于所有类型的函数（包括含参与不含参函数）的最值或范围问题（只要易于求导）．
非二次型导函数
求出函数的导函数，化简后的导函数不是二次函数或者分子不是二次函数，这样的导函数我们将称之为非二次型导函数.对于非二次型导函数，我们可以从函数的平移与伸缩的角度进行解读，由此确定导函数的零点是否存在.
【母题1】（24-25高三·山东聊城·期末）设函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论的单调性．
【解析】（1）当时，，则，则曲线在点处的切线斜率为，因为，所以曲线在点处的切线方程为．
（2）【先求定义域，再求导】的定义域为．
当时，，
令，则在上单调递减，在上单调递增，
因此，的最小值为．【瞄准“0”：瞄准最小值，得到，分，讨论导数符号】
当时，，则，此时，在上单调递增．
当时，令，得．
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增．
综上，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减．
【母题2】［2025福建福州7月联考，17分］已知函数．
（1）当时，求函数的最小值．
（2）若，求a的取值范围．
解析 （1）由题意知，当时，．
【求定义域】求函数的单调区间，要在函数的定义域内讨论，为了加快解题速度，不用写“函数的定义域为”，直接在函数解析式后面加括号，指出自变量的范围即可
则．
【定单调性】接下未定单调性，发现一阶导的正负不易判断，需构造函数，对新构造的函数再次求导
令，则．
令，则，则在上单调递增．
，，所以，当且仅当时取等号，所以，所以在上单调递增，且．
当时，；当时，．
【瞄准“0”】瞄准“”，讨论的单调性，所在在上单调递减，在上单调递增，所以，即的最小值为．
（2）等价于
，即．
令，则．
令，则，所以当时，，
当时，，所以，
因为，，，所以在上存在唯一的使得，在上存在唯一的使得，
故要满足题意，有或恒成立．
由，得．
①若，则，单调递减．
当时，；当时，．不满足题意．
②若，则在上单调递减，在上单调递增，
当时，，所以不存在恒成立的情形，
故，即，得．
综上所述，a的取值范围为．
【母题3】［2025浙江浙东联盟8月联考，17分］设函数，其中．
（1）求的单调区间．
（2）若存在极值点，且，其中，求证：．
（3）若，函数，求在上的最大值．
解析 （1），，
①当时，恒成立，在R上单调递增．
②当时，在，上单调递增，在
上单调递减．
综上，当时，的单调递增区间为R，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（2）由（1）知，，即，
即，即
，即
，又，所以．
（3）
当时，，，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．
当时，，，所以在上单调递增［瞄准“0”：瞄准“”，得到的单调性，分类讨论求解最大值］．
①当即时，在上单调递增，；
②当即时，在上单调递增，在上单调递减，在上，；
③当即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由于，，当即时，在上，，当即时，在上，．
综上，在上，
【母题4】（24-25高三·北京·开学考试）已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若函数是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若，求的最大值.
【解析】（1）当时，则，，可得，，
即切点坐标为，切线斜率为0，所以曲线在处的切线方程为.
（2）由题意得，且在定义域内恒成立，则，
【转化问题，分离参数使问题“去参数化”】令，显然时，，即此时单调递减，时，，即此时单调递增，所以，则，实数a的取值范围为.
（3）若，则，
令，则，
【瞄准“0”，由对参数进行分类讨论】
若，则，此时在R上单调递增，
当时，，不符合题意；
当，则时，，此时单调递增，
时，，此时单调递减，
即，
即，所以，
令，
易知当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，即，
所以，当且仅当时，，所以的最大值为.
（24-25高三·广东湛江·期末）
1．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
（24-25高三·山西晋城·期末）
2．设函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，讨论的单调性．
（24-25高三·甘肃白银·阶段练习）
3．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，恒成立，求实数a的取值范围．
（24-25高三·河北邢台·期末）
4．已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
(2)若在上单调递增，求的取值范围．
（24-25高三·辽宁葫芦岛·期末）
5．已知函数．
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)若有两个极值点．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：．
（24-25高三·吉林长春·开学考试）
6．已知函数，.
(1)求函数的单调区间；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
（24-25高三·黑龙江·期末）
7．已知函数．
(1)若曲线在点处的切线的斜率为，求实数的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，令函数，证明：．
（24-25高三·浙江宁波·期末）
8．已知函数（）.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求的取值范围.
（2025·河南郑州·模拟预测）
9．已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)证明：在上恒成立；
(3)讨论方程在上的根的个数.
（24-25高三·全国·开学考试）
10．已知函数有三个零点.
(1)求的取值范围；
(2)证明:中任意两个之积的绝对值不小于1.