2025-2026学年下学期浙江衢州高一数学2026年6月测试试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期浙江衢州高一数学2026年6月测试试卷含答案，共6页。试卷主要包含了全卷分试卷和答题卷，试卷共4页，有4大题，19小题等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分试卷和答题卷．考试结束后，将答题卷上交．
2．试卷共4页，有4大题，19小题．满分150分，考试时间120分钟．
3．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数z=1−i，则z在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量a=(1,2)，b=(3,t)，若a⊥b，则t=
A．−32 B．1
C．32 D．6
3．已知直线a，b和平面α，若a∥b，b∥α，则
A．a∥α
B．a⊂α
C．a与α相交
D．a∥α或a⊂α
4．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数为2或3”，事件B为“向上的点数为偶数”，则事件A与事件B
A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．相等
5．“2xe,若函数g(x)=[f(x)]2+af(x)−2a2恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围
A. −12,0B. (0,1)
C. −12,0∪(0,1)D. −12,1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数f(x)=2sin2x−π6，下列关于函数y=f(x)的说法正确的是
A. 最小正周期是π
B. −π12,0是对称中心
C. x=5π12是对称轴方程
D. 在0,π3上单调递增
10. 若正实数a，b满足a+b=1，则下列说法正确的是
A. 00，且∀x,y∈R，都有f(xy)=x+y2fx+y2−x−y2fx−y2，下列说法正确的是
A. f(0)=0
B. f(x)是偶函数
C. f(x+y)=f(x)+f(y)
D. 若f(x)+2f(x−3)⩾0，则x⩾2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某校有400名男生和200名女生，现采用按比例分配的分层随机抽样方法进行抽取，已知女生抽取20人，则男生抽取 人．
13. 已知锐角∆ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，A=60°，AB=2，则∆ABC周长的取值范围是 ．
14. 矩形ABCD中，AB=1，AD=2，将∆ABD沿直线BD翻折至∆A'BD，使得二面角A'−BD−C的大小为60°，点M是线段BC的中点，则三棱锥A'−MBD外接球半径为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
近年来人工智能在教育领域的应用越加广泛．某校为了解周末某款AI应用软件在学生中的使用时长（单位：小时）情况，进行了问卷调查，从所有问卷中随机抽取100份作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值与该样本数据的第80百分位数；
（2）根据该频率分布直方图，估计1800名学生中有多少学生使用时长在1小时及以上．
16．（本小题满分15分）
在∆ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足2bcsA+3a=2c．
（1）求角B；
（2）若D在线段AB上，满足AD=CD=2BD，且c=3，求∆ABC的面积．
17．（本小题满分15分）
某商场为吸引顾客，开展抽奖送代金券活动，规则如下：A，B两个箱子中均有若干个小球（除颜色外均相同），其中A箱中有2个白球和m个黑球，B箱中有1个白球和n个黑球．顾客每轮抽奖，需从A，B两个箱子中分别取一个球，按先A后B的顺序进行，取球结束后将球放回原箱子，且每次取球相互独立．若A箱中取出白球，则送面值2元的代金券，否则无奖励；若B箱中取出白球，则送面值3元的代金券，否则无奖励．（每位顾客每日至多参与两轮抽奖；代金券可用于商场停车缴费或参与下次消费，可叠加使用）
（1）顾客甲参与一轮取球，求甲在A箱中取出白球的概率；（用m表示）
（2）已知参与一轮取球后获得5元代金券的概率为16，只获得一张代金券且为2元代金券的概率为13.
（i）求m，n；
（ii）若顾客乙参与两轮抽奖，现需用这两轮抽奖获得的代金券支付8元停车费，求乙可足额支付停车费的概率.
18.（本小题满分17分）
如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥B1C1，BB1⊥AB1.
（1）求证：平面AB1C1⊥平面BB1C1C；
（2）若AB=2，AC=3，BC=7，BB1=t；
（i）当t=1，求直线AB与平面BB1C1C所成角的正弦值
（ii）当t为何值时，三棱柱ABC−A1B1C1体积最大，并求此最大值.
19.（本小题满分17分）
已知函数f(x)和向量a，b，定义：F=f(a·b)+f(|a+b|)−f(|a|)f(|b|)，
当F≥0时，称函数f(x)为向量a，b的相关函数.
（1）若a=(0,1)，b=(1,0)，函数f(x)=|x|，求F的值；
（2）当a=λb(λ>0)时，
（i）证明：f(x)=ex为向量a，b的相关函数；
（ii）若f(x)=mex+n（m>0，n>0）为向量a，b的相关函数，求所有满足条件的有序数对(m,n)组成的集合A.
高一 数学答案
一、单项选择题
二、多项选择题
三、填空题
12.40
13. (3+3,6+23)
14. 52
四、解答题
15. 解：（1）∵(0.06×2+0.2+2a+0.38+0.46+0.32)×0.5=1
∴a=0.263分
∵[0,2.5)的频率为(0.06+0.2+0.26+0.38+0.46)×0.5=0.68
[0,3)的频率为(0.06+0.2+0.26+0.38+0.46+0.32)×0.5=0.84
∴第80百分位数在[2.5,3)内，为2.5+0.8-×0.5=2.8758分
输出 8分
（2）根据频率分布直方图，使用时长在1小时及以上的频率为1−(0.06+0.2)×0.5=0.87
而1800×0.87=1566
∴估计1800名学生中有1566名学生使用时长在1小时及以上。13分
16. 解：（1）由已知可得2sinBcsA+3sinA=2sinC，3分
（正弦代入就得3分）
因为sinC=sin(A+B)化简得3sinA=2sinAcsB。
因为sinA≠0，所以csB=32，6分
即B=π67分
（2）由已知可得c=3，易得BD=1，CD=2。在∆BCD中，4=1+a2−2×1×a×32
得a2−3a−3=0，因为a>0，解得a=3+152。
所以∆ABC的面积为12×3×3+152×12=38(3+15)15分
（其他方法酌情给分）
17. 解：(1)甲在A箱中取一个球的试验的样本空间包含m+2个样本点，事件“A箱取出白球”包含2个样本点，故甲在A箱中取出白球的概率为2m+2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−3分
(2)(i)一轮取球的试验的样本空间包含(m+2)(n+1)个样本点，−−−−−−−−−−−−−−−−−−−5分
事件“获得5元代金券的”包含2个样本点，事件“只获得一张代金券且为2元代金券”包含2n个样本点，所以2(m+2)(n+1)=16，2n(m+2)(n+1)=13，−−−−−−−−−−−−−−−−−−−8分
易得2n=2⇒n=2，代入可得m=2，所以m=n=2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−10分
（ii）甲可以利用代金券足额支付停车费用的概率，即求甲两轮后获得代金券面值叠加后大于等于8的概率。甲两轮抽奖试验结果的样本空间共有144个样本点，获得代金券面值大于等于8包含三个随机事件：（白，白，白，白），（白，白，黑，白），（黑，白，白，白）均包含4个样本点，发生概率均为4144=136，（写出136给3分）
所以甲两轮后获得代金券面值大于等于8的概率为112，即甲可以利用代金券足额支付停车费用的概率为112。−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−15分
18. 解：（1）因为BB1⊥B1C1，BB1⊥AB1，B1C1∩AB1=B1，B1C1，AB1⊂平面AB1C1，
所以BB1⊥平面AB1C1， …………………………………………………… 3分
（没有“B1C1∩AB1=B1”扣2分）
又因为BB1⊂平面BB1C1C，所以平面AB1C1⊥平面BB1C1C； ……………………5分
（没有经过线面垂直直接得到面面垂直得0分）
（2）（i）由AB=2，AC=3，BB1=1，得，AB1=3，AC1=2，
过A作AM⊥B1C1于M，设B1M=m，由3−m2=2−(7−m)2，
得m=477，且AM=357， …………………………………………………… 9分
连接BM，由（1）易知，BM为AB在平面BB1C1C上的射影，
故∠ABM为直线AB与平面BB1C1C所成角.
所以，sin∠ABM=AMAB=3514。 …………………………………………………… 10分
（ii） AB1=4−t2，AC1=3−t2，
过A作AM⊥B1C1于M，设B1M=m，由4−t2−m2=3−t2−(7−m)2，
得，m=477，且AM=127−t2
由VABC−A1B1C1=VA−A1B1C1+VA−BB1C1C=VA−A1B1C1+VA−BB1C1+VA−CC1B1，且
VA−A1B1C1=VA1−AB1C1=VA1−AC1B1=13BB1·S∆AB1C1，
得，VABC−A1B1C1=BB1·S∆AB1C1=12B1C1·AM·BB1
所以，VABC−A1B1C1=12t12−t2=127(7t·12−t2)≤627=377，
当且仅当t=427取等号.
所以当t=427时，三棱柱ABC-A1B1C1体积最大为37717分
（看到单变量化成基本不等式就给2分）
19. 解：（1）（1）由a=(0,1)，b=(1,0)得：a·b=0，|a+b|=2，|a|=1，|b|=1，
故f(a·b)=0，f(|a+b|)=2，f(|a|)=1，f(|b|)=1，所以F=2−1．分
（2）（i）若a=zb(z>0)，a·b=z|b|·|b|，|a+b|=(1+z)|b|，|a|=z|b|．
不妨令x=z|b|，y=|b|，则a·b=xy，|a+b|=x+y，|a|=x，|b|=y，
故F≥0等价于f(xy)+f(x+y)≥f(x)f(y)，
当f(x)=ex时，exy+ex+y≥exy成立，所以f(x)=ex为向量a，b的相关函数；分
（ii）由（i）知当x≥0，y≥0时，有f(xy)+f(x+y)≥f(x)f(y)，则y=f(x)为向量a，b的相
关函数.故f(x)=mex+n为向量a，b的相关函数，
由x≥0，y≥0时，mex+n+mex+y+n≥(mex+n)(mey+n)恒成立．
化简得：mex+(m−m2)ex+y−mn(ex+ey)+2n−n2≥0．①
先寻找m，n满足的必要条件，
令y=0，对任意的x≥0都有m−m2−mn≥0，
由于m>0，得00，n(2−n)>0，故②成立．
综上，A=(m,n)∣00,n>0．17分
（其他方法酌情给分）题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
D
B
B
C
D
C
题号
9
10
11
答案
AD
ABD
ACD