2025-2026学年下学期湘豫联盟高二数学2026年6月联考试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期湘豫联盟高二数学2026年6月联考试卷含答案，共6页。试卷主要包含了本试卷共6页， 已知抛物线 C，6x+t^，相关系数为r等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 A=x∣320,b>0)的右焦点为F，坐标原点为O，以线段OF为直径的圆与C的一条渐近线交于异于O的另一点A。若|OA|=3|AF|，则C的离心率为 。
14. 在三棱锥P−ABC中，侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且1PA+1PB+1PC=1。若D为空间内一点，且PD=1，PD→=λ(PA→+PB→+PC→)(λ>0)，则DA→·DB→+DB→·DC→+DC→·DA→的最大值为 。
附：柯西不等式：(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2，其中a,b,c,x,y,z∈R，当且仅当ax=by=cz（约定：若分母为0，则对应的分子也为0）时等号成立。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
为深入落实科教兴国战略，提升中学生航天科学素养，某地市教育局联合航天科技馆开展“航天科普进校园”系列研学实践活动，研学参与者均参加科创竞赛。为了解研学活动参与时长与学生科创竞赛获奖的关联性，从参与本系列研学活动的学生中随机抽取100名，统计他们的研学累计参与时长（规定：累计参与时长≥6课时为长时研学，b>0) 的离心率为 22，且与直线 x+y−6=0 有且只有一个公共点。
（1）求C的标准方程；
(2)设一动直线l不经过坐标原点O，与C交于M，N两点，且OM⊥ON。
（i）证明：点O到直线l的距离为定值；
(ii)求△OMN面积的最大值。
19.（本小题满分17分）
已知函数 f(x)=xex−a(lnx+x+1)，其中 a∈ℝ，e为自然对数的底数。
（1）当 a=1 时，求曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程；
（2）当 a>0 时，证明：f(x)≥−alna；
（3）若对任意 x>0，不等式 f(x)≥0 恒成立，求实数a的取值范围。
6月高二数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C 因为集合 A=32,52，解不等式 x2−5x+6≤0，得 2≤x≤3，所以 B=[2,3]。所以 A∩B=2,52。故选C。
2.A 因为 (1+2i)z=3+i，则 z=3+i1+2i=(3+i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=5−5i5=1−i，所以 z 的共轭复数 z¯=1+i。故选A。
3.B 因为 f'(x)=csx−(x−1)sinx+ex，所以 f'(0)=cs0−(0−1)×sin0+e0=2。故选B。
4.C 由抛物线 C:y2=2px(p>0)，知 Fp2,0。设 M(x0,y0)，由 M 到 y 轴的距离为3，得 x0=3。直线 l 与 y 轴交于点 N，设 N(0,n)，则 NF→=p2,−n，FM→=3−p2,y0。又 NF→=2FM→，则 p2=2×3−p2，解得 p=4，所以 C 的标准方程为 y2=8x。故选C。
5.A 因为 f(x) 为偶函数，f(x+3)=−f(x)，所以 f(3)=f(0+3)=−f(0)，f(π)=f(π−3+3)=−f(π−3)，f(2)=f(−1+3)=−f(−1)=−f(1)。因为 00，令g'(x)=ex−1−2a=0，得x=1+ln2a，当x>1+ln2a时，g'(x)>0，g(x)单调递增；当x0，则h'(x)=ex+ax2>0，所以h(x)在(0,+∞)上单调递增。6分
当x→0+时，h(x)→−∞；当x→+∞时，h(x)→+∞，
因此存在唯一的x0>0，使得h(x0)=0，即ex0=ax0，整理得a=x0ex0。7分
当00，f(x)单调递增。9分
因此f(x)在x=x0处取得唯一极小值，也是最小值f(x0)。
a=x0ex0两边取自然对数，得lna=lnx0+x0。
将ex0=ax0与lna=lnx0+x0代入f(x0)，10分
得f(x0)=x0ex0−a(lnx0+x0+1)=a−a(lna+1)=−alna，
因此f(x)⩾f(x0)=-alna，不等式得证。12分
方法二（同构法）：
由题知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
对f(x)变形，得f(x)=elnx+x-a(lnx+x+1)。6分
令t=lnx+x，因为x>0时，t=lnx+x单调递增，值域为R，
所以f(x)可转化为g(t)=et-a(t+1)，t∈R。8分
对g(t)求导得g'(t)=et-a，令g'(t)=0，得t=lna。9分
当t0，g(t)单调递增。11分
因此 g(t) 的最小值为 g(lna)=elna−a(lna+1)=−alna，
即 f(x)=g(t)≥−alna，不等式得证. …………………………………………
（3）对任意 x>0，f(x)≥0 恒成立，分三种情况讨论：
若 a0，由（2）的结论，知 f(x) 在 (0,+∞) 上的最小值为 f(x0)=−（此处原题可能有遗漏，需按实际图片为准）
f(x)≥0 恒成立等价于最小值大于等于0，即 f(x)min=−alna≥0。
因为 a>0，所以 −lna≥0，即 lna≤0，得 a≤1。
又 a>0，得 0