2025-2026学年下学期浙江杭州二中高一数学2026年6月期末统测模拟一试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期浙江杭州二中高一数学2026年6月期末统测模拟一试卷含答案，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1、已知复数z满足i·z=3−i，则z= （ ）
A. 1−3iB. −1+3i
C. 1−3iD. 1+3i
2、记∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=45°，a=3，c=2，则b= （ ）
A. 2B. 5
C. 17D. 21
3、在∆OAB中，AD→=2DB→，记OA→=a，OB→=b，则OD→= （ ）
A. 13a+23bB. 23a+13b
C. 13a−23bD. 23a−13b
4、一个袋中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，从袋中不放回地随机摸出2个球，则这2个球颜色相同的概率为 （ ）
A. 14B. 13
C. 12D. 34
5、设α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题为真命题的是 （ ）
A. 若m∥α，α∥β，则m∥β
B. 若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
C. 若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n⊥β
D. 若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n
6、一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，有放回地随机选取两张标签，记事件A=“两张标签标号之积大于15”，事件B=“第一张标签标号小于3”，则 （ ）
A. P(A)=325
B. P(B)=35
C. A与B互斥
D. A与B相互独立
7、在三棱台ABC−A1B1C1中，平面ABC⊥平面ACC1A1，∆ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形，且AC=2A1C1=2AA1=2CC1，则二面角B−AC1−C的正切值为 （ ）
A. 55B. 12
C. 255D. 2
8、若不等式x+xy+3xyz≤k(x+y+z)对任意正实数x，y，z恒成立，则实数k的最小值为（ ）.
A. 1B. 12
C. 43D. 2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题所给的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.
9、气象台预报杭州市5月份气候适宜，温度波动幅度较小，比较适合户外运动，其中2024年5月9日至5月15日7天内的当日最高温度 （单位℃） 分别为：24，28，23，25，26，26，29，则以下说法正确的是 （ ）
A. 该组数据的极差为6B. 该组数据的众数为26
C. 该组数据的中位数为25.5D. 该组数据的第70百分位数为26
10、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P是边BC上的一个动点，点M是边AC的中点，且(2b−c)csA=acsC，则 （ ）
A. A=π3
B. 若△ABC的面积为3，则AB→·AC→=2
C. 若b=1，c=2，AP平分∠BAC，则AP=33
D. 若b=1，c=2，当∠APM最大时，CP=22
11、如图，已知正八面体S−ABCD−T(围成八面体的八个三角形均为等边三角形)的棱长为2，其中四边形ABCD为正方形，其棱切球(与正八面体的各条棱都相切)的球心为O，则以下结论正确的是 （ ）
A. 点O到平面CDT的距离等于1
B. 点O到直线CT的距离等于1
C. 球O在正八面体外部的体积小于43−8276π
D. 球O在正八面体外部的面积大于836−26π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12、若复数z=(1+i)·(2−i)，则|z|= .
13、记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acsB=bsinA=2，则a= .
14、已知函数f(x)=lnx2+x+ax+b(x+1)3(a≠0,b∈R)，f(x)+f(−x−2)= ；f(2024)+f(2025)+f(−2026)+f(−2027)−1a+b2的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明步骤或者演算过程.
15、已知向量a，b满足|a|=1，b=(1,3).
（1）若a∥b，求a的坐标；
（2）若(8a−b)⊥(a−b)，求a与b的夹角θ的余弦值.
16、如图，平面四边形ABCD中，∆BCD是边长为2的等边三角形，且AD=23，∠ADB=90°，E为AB的中点，将∆CBD沿BD翻折至∆PBD.
（1）证明：BD⊥PE；
（2）若AP=25，求直线EP与平面PBD所成角的余弦值.
17、随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分成绩成如图所示的频率分布直方图．
（1）求直方图中x的值，并估计评分数据的上四分位数；
（2）若采用分层随机抽样的方法从评分在[60,70)，[80,90)的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率．
某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.
18、记∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2。
（1） 若A=45°，b=6，求B；
（2） 若D是BC的中点，且AD=3，∠ABC=2∠DAC，求c；
（3） 若sin(A−B)=14，C=30°，求∆ABC的面积。
19、已知函数f(x)=x2−4x−acsπx2
（1） 若a=−1，判断函数f(x)在[0,1]上的单调性（无需证明），并求f(x)在[0,1]上的值域；
（2） 若关于x的方程f(x)=a−4恰有三个不等实根x1，x2，x3，且x10，所以θ为锐角，
则csθ=PA→·PM→|PA→||PM→|=x2+12x2+1·x2+14=x4+x2+14(x2+1)(x2+14)
=x4+x2+14x4+54x2+14=x4+54x2+14−x2x4+54x2+14=1−x2x4+54x2+14
=1−1x2+14x2+54，即csθ=1−1x2+14x2+54
因为θ∈0,π2，所以y=csθ在0,π2上单调递减，
所以csθ越小θ值越大，
因为csθ=1−1x2+14x2+54≥1−12x2·14x2+54=53，
当且仅当x2=14x2，因为x∈[0,3]，所以当x=22时等号成
所以当∠APM最大时，CP=22，D正确.
故选：ABD
11、如图，已知正八面体S−ABCD−T（围成八面体的八个三角形均为等边三角形）的棱长为2，其中四边形ABCD为正方形，其棱切球（与正八面体的各条棱都相切）的球心为O，则以下结论正确的是（ ）
A. 点O到平面CDT的距离等于1
B. 点O到直线CT的距离等于1
C. 球O在正八面体外部的体积小于43−8276π
D. 球O在正八面体外部的面积大于836−26π
【答案】BCD
对于A，由对称性可知棱切球球心O就是正八面体的中心，
而BO=12BD=2，
所以OA=OB=OC=OD=OS=OT=2。
设点O到平面CDT的距离为r，则有
13OT·12OC·OD=VO−CDT=13r·S∆CDT=13r·34×22=33r，
故r=33，OT·12OC·OD=332·122·2=63，故A错误；
对于B，由于TA=TB=TC=TD=2，故T在平面ABCD上的投影就是正方形ABCD的中心，
故OT⊥平面ABCD，而OC在平面ABCD内，故OC⊥OT。
又因为OC=OT=2，知点O到直线CT的距离h=2S∆OCTCT=OC·OTCT=2·22=1，故B正确；
对于C，根据上面的分析，球O的半径R等于点O到直线CT的距离，即R=1。
从而平面CDT截棱切球所得圆的半径d=R2−r2=1−23=33，设这个圆为圆P。
设球O的体积为V，而以O为顶点、圆P为底面的圆锥的体积为V1，
则棱切球在正八面体内部的体积大于8V1。
从而球O在正八面体外部的体积小于
V−8V1=43πR3−8·13πd2r=43π−8·627π=43−8627π，故C正确；
对于D，球O在正八面体外部的面积等于正八面体外8个球冠的表面积.
而对于一个球冠而言，由其顶点和底面可以确定一个圆锥，而该圆锥的侧面积一定小于球冠的表面积.
从而，每个球冠的表面积都大于由该球冠顶点和底面圆确定的圆锥的侧面积.
该圆锥的底面半径d=>33，高H=R−r=1−>63，故母线长l=d2+H2=>2−263.
所以每个球冠的表面积都大于该圆锥的侧面积πdl=>33·2−263π=136−26π.
所以8个球冠的表面积之和大于>836−26π，故D正确.
故选：BCD
关键点点睛：本题的关键在于使用恰当的方式对球冠的表面积和体积进行估计.
三、填空题：本题共\（3\）小题，每小题\（5\）分，共\（15\）分.
12、若复数z=(1+i)·(2−i)，则|z|= .
【答案】10
∵z=(1+i)(2−i)，
∴展开得z=2−i+2i−i2=2+i+1=3+i.
∴|z|=32+12=10.
13、设∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acsB=bsinA=2，则a= .
【答案】5
由正弦边角关系及已知有2sinAcsB=sinBsinA，又A，B均为三角形内角，
所以2csB=sinB，即tanB=2，2acsB=2>0，易知csB>0，
所以csB=>15，则2a×>15 =2⇒a=5.
故答案为：5
14、已知函数f(x)=lnx2+x+ax+b(x+1)3(a≠0,b∈R)，f(x)+f(−x−2)= ；f(2024)+f(2025)+f(−2026)+f(−2027)−1a+b2的最小值是 .
【答案】−2a；4
由>x2+x>0，得x(x+2)>0，解得x0.
所以函数f(x)=lnx2+x+ax+b(x+1)3(a≠0,b∈R)的定义域为(−∞,−2)∪(0,+∞).
f(−x−2)=ln−x−2−x+a(−x−2)+b(−x−2+1)3=lnx+2x−ax−2a−b(x+1)3.
所以f(x)+f(−x−2)=lnx2+x·x+2x−2a=−2a.
所以f(2024)+f(−2026)=f(2024)+f(−2024−2)=−2a，f(2025)+f(−2027)=f(2025)+f(−2025−2)=−2a.
所以f(2024)+f(2025)+f(−2026)+f(−2027)=[f(2024)+f(−2026)]+[f(2025)+f(−2027)]=−4a.
因为4a与1a同号，
所以f(2024)+f(2025)+f(−2026)+f(−2027)−1a=−4a−1a=4|a|+1a⩾24|a|·1a=4，
当且仅当|4a|=1a，即|a|=12，即a=±12时，等号成立.
因为b2⩾0，所以当且仅当a=±12，b=0时，
f(2024)+f(2025)+f(−2026)+f(−2027)−1a+b2取得最小值，最小值是4.
故答案为：①−2a；②4.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明步骤或者演算过程.
15、已知向量a，b满足|a|=1，b=(1,3).
（1）若a∥b，求a的坐标；
（2）若(8a−b)⊥(a−b)，求a与b的夹角θ的余弦值.
【答案】（1）a=12,32或a=−12,−32； （2）23.
（1）设a=(x,y)，因为a∥b，所以3x=y，
因为|a|=1，所以x2+y2=1，解得x=12或x=−12，
所以a=12,32或a=−12,−32.
（2）因为(8a−b)⊥(a−b)，所以(8a−b)·(a−b)=0，
所以8a2−9a·b+b2=0，代入得，8−9×2×csθ+4=0，
所以csθ=23，所以a与b的夹角θ的余弦值为23.
16、如图，平面四边形ABCD中，∆BCD是边长为2的等边三角形，且AD=23，∠ADB=90°，E为AB的中点，将∆CBD沿BD翻折至∆PBD.
（1）证明：BD⊥PE；
（2）若AP=25，求直线EP与平面PBD所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）63.
（1）如图，取BD的中点O，连接PO，OE，
因为∆BCD为等边三角形，所以PO⊥BD，
因为∠ADB=90°，所以BD⊥DA，
又因为O，E分别是BD，BA的中点，所以OE∥DA，所以BD⊥OE，
因为PO∩OE=O，PO，OE⊂平面POE所以BD⊥平面POE，
因为PE⊂平面POE，所以BD⊥PE。
（2）在∆ABD中，AD=23，BD=2，BD⊥DA，
所以AB=(23)2+22=4，
在∆ABP中，BP=2，AB=4，AP=25，
由BP2+BA2=AP2可得BP⊥BA，
在Rt∆PBE中，BP=2，BE=2，则PE=22，
因为BD⊥平面POE，BD⊂平面PBD，
所以平面POE⊥平面PBD，
又因为平面POE∩平面PBD=PO，
所以∠EPO为直线EP与平面PBD所成角，
在∆EPO中，PE=22，PO=32×2=3，OE=12AD=3，
所以cs∠EPO=(22)2+(3)2−(3)22×22×3=63，
所以直线EP与平面PBD所成角的余弦值为63。
17、随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地。为更好地提升旅游品质，该市文旅100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分成绩成如图所示的频率分布直方图。
（1）求直方图中x的值，并估计评分数据的上四分位数；
（2）若采用分层随机抽样的方法从评分在[60,70)，[80,90)的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率。
某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分 （满分100分），
根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.
【答案】（1）x=0.030，上四分位数为93.75；（2）12
（1）∵频率分布直方图中各组频率之和为1，组距为10，
∴10×(0.005+0.010+0.015+x+0.040)=1，
化简得0.7+10x=1，∴x=0.030.
计算各组累计频率：
评分在[50,60)的频率为10×0.005=0.05，累计频率为0.05；
评分在[60,70)的频率为10×0.010=0.1，累计频率为0.15；
评分在[70,80)的频率为10×0.015=0.15，累计频率为0.3；
评分在[80,90)的频率为10×0.030=0.3，累计频率为0.6；
评分在[90,100]的频率为10×0.040=0.4，累计频率为1.
∵ 上四分位数即第75百分位数，对应累计频率为0.75，且0.6